Campo vectorial hamiltoniano

En matemáticas y física , un campo vectorial hamiltoniano en una variedad simpléctica es un campo vectorial definido para cualquier función de energía o hamiltoniano . Nombrado en honor al físico y matemático Sir William Rowan Hamilton , un campo vectorial hamiltoniano es una manifestación geométrica de las ecuaciones de Hamilton en mecánica clásica . Las curvas integrales de un campo vectorial hamiltoniano representan soluciones a las ecuaciones de movimiento en la forma hamiltoniana. Los difeomorfismos de una variedad simpléctica que surgen del flujo de un campo vectorial hamiltoniano se conocen como transformaciones canónicas en física y simplectomorfismos (hamiltonianos) en matemáticas. ^[1]

Los campos vectoriales hamiltonianos se pueden definir de manera más general en una variedad de Poisson arbitraria . El corchete de Lie de dos campos vectoriales hamiltonianos correspondientes a las funciones f y g en la variedad es en sí mismo un campo vectorial hamiltoniano, con el hamiltoniano dado por el corchete de Poisson de f y g .

Definición

Supóngase que ( M , ω ) es una variedad simpléctica . Como la forma simpléctica ω no es degenerada, establece un isomorfismo lineal a lo largo de las fibras

${\displaystyle \omega :TM\to T^{*}M,}$

entre el fibrado tangente TM y el fibrado cotangente T*M , con la inversa

${\displaystyle \Omega :T^{*}M\to TM,\quad \Omega =\omega ^{-1}.}$

Por lo tanto, las formas uno en una variedad simpléctica M pueden identificarse con campos vectoriales y cada función diferenciable H : M → R determina un único campo vectorial X _H , llamado campo vectorial hamiltoniano con el hamiltoniano H , definiendo para cada campo vectorial Y en M ,

${\displaystyle \mathrm {d} H(Y)=\omega (X_{H},Y).}$

Nota : Algunos autores definen el campo vectorial hamiltoniano con el signo opuesto. Hay que tener en cuenta las distintas convenciones que se utilizan en la literatura física y matemática.

Ejemplos

Supóngase que M es una variedad simpléctica de 2 n dimensiones. Entonces, localmente, se pueden elegir coordenadas canónicas ( q ¹ , ..., q ⁿ , p ₁ , ..., p _n ) en M , en las que la forma simpléctica se expresa como: ^[2] ${\displaystyle \omega =\sum _{i}\mathrm {d} q^{i}\wedge \mathrm {d} p_{i},}$

donde d denota la derivada exterior y ∧ denota el producto exterior . Entonces el campo vectorial hamiltoniano con el hamiltoniano H toma la forma: ^[1] ${\displaystyle \mathrm {X} _{H}=\left({\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\right)=\Omega \,\mathrm {d} H,}$

donde Ω es una matriz cuadrada de 2 n × 2 n

${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}},}$

y

${\displaystyle \mathrm {d} H={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\\{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\end{bmatrix}}.}$

La matriz Ω se denota frecuentemente con J .

Supongamos que M = R ^{2 n} es el espacio vectorial simpléctico de 2 n dimensiones con coordenadas canónicas (globales).

• Si entonces ${\displaystyle H=p_{i}}$ ${\displaystyle X_{H}=\partial /\partial q^{i};}$
• Si entonces ${\displaystyle H=q_{i}}$ ${\displaystyle X_{H}=-\partial /\partial p^{i};}$
• Si entonces ${\displaystyle H=1/2\sum (p_{i})^{2}}$ ${\displaystyle X_{H}=\sum p_{i}\partial /\partial q^{i};}$
• Si entonces ${\displaystyle H=1/2\sum a_{ij}q^{i}q^{j},a_{ij}=a_{ji}}$ ${\displaystyle X_{H}=-\sum a_{ij}q_{i}\partial /\partial p^{j}.}$

Propiedades

• La asignación f ↦ X _f es lineal , de modo que la suma de dos funciones hamiltonianas se transforma en la suma de los campos vectoriales hamiltonianos correspondientes.
• Supóngase que ( q ¹ , ..., q ⁿ , p ₁ , ..., p _n ) son coordenadas canónicas en M (ver arriba). Entonces una curva γ( t ) = (q(t),p(t)) es una curva integral del campo vectorial hamiltoniano X _H si y sólo si es una solución de las ecuaciones de Hamilton : ^[1] ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}.}$

• El hamiltoniano H es constante a lo largo de las curvas integrales, porque . Es decir, H (γ( t )) es en realidad independiente de t . Esta propiedad corresponde a la conservación de la energía en la mecánica hamiltoniana . ${\displaystyle \langle dH,{\dot {\gamma }}\rangle =\omega (X_{H}(\gamma ),X_{H}(\gamma ))=0}$
• En términos más generales, si dos funciones F y H tienen un corchete de Poisson cero (véase más abajo), entonces F es constante a lo largo de las curvas integrales de H y, de manera similar, H es constante a lo largo de las curvas integrales de F. Este hecho es el principio matemático abstracto detrás del teorema de Noether . ^{[nb 1]}
• La forma simpléctica ω se conserva mediante el flujo hamiltoniano. De manera equivalente, la derivada de Lie ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}\omega =0.}$

Soporte de Poisson

La noción de un campo vectorial hamiltoniano conduce a una operación bilineal antisimétrica sobre las funciones diferenciables en una variedad simpléctica M , el corchete de Poisson , definido por la fórmula

${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f})=dg(X_{f})={\mathcal {L}}_{X_{f}}g}$

donde denota la derivada de Lie a lo largo de un campo vectorial X . Además, se puede comprobar que se cumple la siguiente identidad: ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ ${\displaystyle X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}],}$

donde el lado derecho representa el corchete de Lie de los campos vectoriales hamiltonianos con hamiltonianos f y g . Como consecuencia (una prueba en el corchete de Poisson ), el corchete de Poisson satisface la identidad de Jacobi : ^[1] ${\displaystyle \{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0,}$

lo que significa que el espacio vectorial de funciones diferenciables sobre M , dotado del corchete de Poisson, tiene la estructura de un álgebra de Lie sobre R , y la asignación f ↦ X _f es un homomorfismo de álgebra de Lie , cuyo núcleo consiste en las funciones localmente constantes (funciones constantes si M está conexo).

Observaciones

1. Véase Lee (2003, Capítulo 18) para una declaración y prueba muy concisa del teorema de Noether.

Notas

1. Lee 2003, Capítulo 18.
2. Lee 2003, Capítulo 12.

Obras citadas

• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. ISBN 978-080530102-1.Véase la sección 3.2 .
• Arnol'd, VI (1997). Métodos matemáticos de la mecánica clásica . Berlín, etc.: Springer. ISBN 0-387-96890-3.
• Frankel, Theodore (1997). La geometría de la física . Cambridge University Press. ISBN 0-521-38753-1.
• Lee, JM (2003), Introducción a las variedades suaves , Springer Graduate Texts in Mathematics, vol. 218, ISBN 0-387-95448-1
• McDuff, Dusa ; Salamon, D. (1998). Introducción a la topología simpléctica . Oxford Mathematical Monographs. ISBN 0-19-850451-9.

Enlaces externos

• Campo vectorial hamiltoniano en nLab