Dificultad

En matemáticas , una diferencia ( / dəˈfaɪəˌtiː / ) es un objeto geométrico que cumple el mismo papel en la teoría moderna de ecuaciones diferenciales parciales que las variedades algebraicas para las ecuaciones algebraicas , es decir, codificar el espacio de soluciones de una manera más conceptual. El término fue acuñado en 1984 por Alexandre Mikhailovich Vinogradov como acrónimo de variedad diferencial . [ ^1]

Definición intuitiva

En geometría algebraica los principales objetos de estudio ( variedades ) modelan el espacio de soluciones de un sistema de ecuaciones algebraicas (es decir, el lugar geométrico cero de un conjunto de polinomios ), junto con todas sus "consecuencias algebraicas". Esto significa que, al aplicar operaciones algebraicas a este conjunto (por ejemplo, sumando esos polinomios entre sí o multiplicándolos por cualquier otro polinomio) se obtendrá el mismo lugar geométrico cero. En otras palabras, se puede considerar realmente el lugar geométrico cero del ideal algebraico generado por el conjunto inicial de polinomios.

Al trabajar con ecuaciones diferenciales, además de aplicar operaciones algebraicas como las descritas anteriormente, también se tiene la opción de derivar las ecuaciones iniciales, obteniendo nuevas restricciones diferenciales. Por lo tanto, el análogo diferencial de una variedad debería ser el espacio de soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales, junto con todas sus "consecuencias diferenciales". En lugar de considerar el lugar geométrico cero de un ideal algebraico, es necesario trabajar con un ideal diferencial .

Una dificultad elemental consistirá, por tanto, en la prolongación infinita de una ecuación diferencial , junto con una estructura extra proporcionada por una distribución especial . Las dificultades elementales desempeñan el mismo papel en la teoría de ecuaciones diferenciales que las variedades algebraicas afines en la teoría de ecuaciones algebraicas. En consecuencia, al igual que las variedades o esquemas se componen de variedades afines irreducibles o esquemas afines , se define una dificultad (no elemental) como un objeto que localmente se parece a una dificultad elemental. ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$

Definición formal

La definición formal de una dificultad, que se basa en el enfoque geométrico de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones, requiere las nociones de chorros de subvariedades, prolongaciones y distribución de Cartan, que se recuerdan a continuación.

Espacios de chorro de subvariedades

Por ejemplo, para uno se recuperan solo los puntos en y para uno se recupera el Grassmanniano de subespacios -dimensionales de . De manera más general, todas las proyecciones son haces de fibras . ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle TE}$ ${\displaystyle J^{k}(E)\to J^{k-1}E}$

Como caso particular, cuando tiene una estructura de variedad fibrada sobre una variedad -dimensional , se pueden considerar subvariedades de dadas por los grafos de secciones locales de . Entonces la noción de chorro de subvariedades se reduce a la noción estándar de chorro de secciones, y el fibrado de chorros resulta ser un subconjunto abierto y denso de . ^[3] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle J^{k}(\pi )}$ ${\displaystyle J^{k}(E,m)}$

Prolongaciones de subvariedades

La prolongación -jet de una subvariedad es ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M\subseteq E}$

$${\displaystyle j^{k}(M):M\rightarrow J^{k}(E,m),\quad p\mapsto [M]_{p}^{k}}$$

El mapa es una incrustación suave y su imagen , llamada prolongación de la subvariedad , es una subvariedad de difeomórfica a . ${\displaystyle j^{k}(M)}$ ${\displaystyle M^{k}:={\text{im}}(j^{k}(M))}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle M}$

Distribución de Cartan en espacios de chorro

Un espacio de la forma , donde es cualquier subvariedad de cuya prolongación contiene el punto , se llama -plano (o plano de chorro, o plano de Cartan) en . La distribución de Cartan en el espacio de chorro es la distribución definida por donde es la extensión de todos los -planos en . ^[4] ${\displaystyle T_{\theta }(M^{k})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \theta \in J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq T(J^{k}(E,m))}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}:J^{k}(E,m)\rightarrow TJ^{k}(E,m),\qquad \theta \mapsto {\mathcal {C}}_{\theta }\subset T_{\theta }(J^{k}(E,m))}$$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\theta }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta \in J^{k}(E,m)}$

Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial de orden en la variedad es una subvariedad ; una solución se define como una subvariedad -dimensional tal que . Cuando es una variedad fibrosa sobre , se recupera la noción de ecuaciones diferenciales parciales sobre fibrados jets y sus soluciones, que proporcionan una forma libre de coordenadas para describir las nociones análogas del análisis matemático . Mientras que los fibrados jets son suficientes para tratar con muchas ecuaciones que surgen en geometría, los espacios jets de subvariedades proporcionan una mayor generalidad, utilizada para abordar varias EDP impuestas a subvariedades de una variedad dada, como subvariedades lagrangianas y superficies mínimas . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle S\subset {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle S^{k}\subseteq {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

Al igual que en el caso del fibrado jet, la distribución de Cartan es importante en el enfoque algebro-geométrico de las ecuaciones diferenciales porque permite codificar soluciones en términos puramente geométricos. De hecho, una subvariedad es una solución si y solo si es una variedad integral para , es decir, para todo . ${\displaystyle S\subset {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle T_{\theta }S\subset {\mathcal {C}}_{\theta }}$ ${\displaystyle \theta \in S}$

También se puede mirar la distribución de Cartan de una EDP de manera más intrínseca, definiendo En este sentido, el par codifica la información sobre las soluciones de la ecuación diferencial . ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}):=\{{\mathcal {C}}_{\theta }\cap T_{\theta }({\mathcal {E}})~|~\theta \in {\mathcal {E}}\}}$$ ${\displaystyle ({\mathcal {E}},{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}))}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Prolongaciones de ecuaciones diferenciales parciales

Dada una ecuación diferencial de orden , su prolongación -ésima se define como donde tanto y se consideran subvariedades incrustadas de , de modo que su intersección está bien definida. Sin embargo, dicha intersección no es necesariamente una variedad nuevamente, por lo tanto, puede no ser una ecuación de orden . Por lo tanto, uno generalmente requiere ser "lo suficientemente bueno" de modo que al menos su primera prolongación sea de hecho una subvariedad de . ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{l}(E,m)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}:=J^{k}({\mathcal {E}},m)\cap J^{k+l}(E,m)\subseteq J^{k+l}(E,m)}$$ ${\displaystyle J^{k}({\mathcal {E}},m)}$ ${\displaystyle J^{k+l}(E,m)}$ ${\displaystyle J^{k}(J^{l}(E,m),m)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}}$ ${\displaystyle k+l}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle J^{k+1}(E,m)}$

A continuación supondremos que la EDP es formalmente integrable , es decir, todas las prolongaciones son variedades suaves y todas las proyecciones son inmersiones sobreyectivas suaves. Nótese que una versión adecuada del teorema de prolongación de Cartan-Kuranishi garantiza que, bajo supuestos de regularidad menor, comprobar la suavidad de un número finito de prolongaciones es suficiente. Entonces, el límite inverso de la secuencia extiende la definición de prolongación al caso en que tiende a infinito, y el espacio tiene la estructura de una variedad de dimensión profinita . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}\to {\mathcal {E}}^{k-1}}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {E}}^{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$

Definición de una dificultad

Una diferencia elemental es un par donde es una ecuación diferencial de orden -ésimo en alguna variedad, su prolongación infinita y su distribución de Cartan. Nótese que, a diferencia del caso finito, se puede demostrar que la distribución de Cartan es -dimensional e involutiva . Sin embargo, debido a la dimensionalidad infinita de la variedad ambiente, el teorema de Frobenius no se cumple, por lo tanto no es integrable . ${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$

Una dificultad es una tripleta , que consta de ${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$

• una variedad (generalmente de dimensión infinita) ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$
• El álgebra de sus funciones suaves ${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {O}})}$
• una distribución de dimensión finita , ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {O}})}$

tal que es localmente de la forma , donde es una dificultad elemental y denota el álgebra de funciones suaves en . Aquí localmente significa una localización adecuada con respecto a la topología de Zariski correspondiente al álgebra . ${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$ ${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {F}}({\mathcal {E}}^{\infty }),{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$ ${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {O}})}$

La dimensión de se llama dimensión de la diferencia y se denota por , con D mayúscula (para distinguirla de la dimensión de como variedad). ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle \mathrm {Dim} ({\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Morfismos de diffieties

Un morfismo entre dos dificultades y consiste en una función suave cuyo empuje hacia adelante preserva la distribución de Cartan, es decir, tal que, para cada punto , se tiene . ${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$ ${\displaystyle ({\mathcal {O}}',{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}'),{\mathcal {C}}({\mathcal {O'}}))}$ ${\displaystyle \Phi :{\mathcal {O}}\rightarrow {\mathcal {O}}'}$ ${\displaystyle \theta \in {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle d_{\theta }\Phi ({\mathcal {C}}_{\theta })\subseteq {\mathcal {C}}_{\Phi (\theta )}}$

Las diferencias junto con sus morfismos definen la categoría de ecuaciones diferenciales . ^[3]

Aplicaciones

Secuencia de Vinogradov

La secuencia espectral de Vinogradov ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ (o, para abreviar, secuencia de Vinogradov ) es una secuencia espectral asociada a una dificultad, que puede utilizarse para investigar ciertas propiedades del espacio de solución formal de una ecuación diferencial explotando su distribución de Cartan . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Dada una dificultad , considere el álgebra de formas diferenciales sobre ${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle \Omega ({\mathcal {O}}):=\sum _{i\geq 0}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})}$

y el complejo de Rham correspondiente :

${\displaystyle C^{\infty }({\mathcal {O}})\longrightarrow \Omega ^{1}({\mathcal {O}})\longrightarrow \Omega ^{2}({\mathcal {O}})\longrightarrow \cdots }$

Sus grupos de cohomología contienen cierta información estructural sobre la EDP; sin embargo, debido al lema de Poincaré , todos se anulan localmente. Para extraer mucha más información, incluso local, es necesario tener en cuenta la distribución de Cartan e introducir una secuencia más sofisticada. Para ello, supongamos que ${\displaystyle H^{i}({\mathcal {O}}):={\text{ker}}({\text{d}}_{i})/{\text{im}}({\text{d}}_{i-1})}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega ({\mathcal {O}})=\sum _{i\geq 0}{\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})\subseteq \Omega ({\mathcal {O}})}$

sea ​​el submódulo de las formas diferenciales sobre cuya restricción a la distribución se desvanece, es decir ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega ^{p}({\mathcal {O}}):=\{w\in \Omega ^{p}({\mathcal {O}})\mid w(X_{1},\cdots ,X_{p})=0\quad \forall ~X_{1},\ldots ,X_{p}\in {\mathcal {C}}({\mathcal {O}})\}.}$

Tenga en cuenta que en realidad es un ideal diferencial ya que es estable con respecto al diferencial de De Rham, es decir . ${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})\subseteq \Omega ^{i}({\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle {\text{d}}({\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}}))\subset {\mathcal {C}}\Omega ^{i+1}({\mathcal {O}})}$

Ahora sea su potencia -ésima, es decir, el subespacio lineal de generado por . Entonces se obtiene una filtración ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}\Omega ({\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega }$ ${\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k},~w_{i}\in {\mathcal {C}}\Omega }$

${\displaystyle \Omega ({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}\Omega ({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}^{2}\Omega ({\mathcal {O}})\supset \cdots }$

y como todos los ideales son estables, esta filtración determina completamente la siguiente secuencia espectral : ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}\Omega }$

${\displaystyle {\mathcal {C}}E({\mathcal {O}})=\{E_{r}^{p,q},{\text{d}}_{r}^{p,q}\}\qquad {\text{where}}\qquad E_{0}^{p,q}:={\frac {{\mathcal {C}}^{p}\Omega ^{p+q}({\mathcal {O}})}{{\mathcal {C}}^{p+1}\Omega ^{p+q}({\mathcal {O}})}},\qquad {\text{and}}\qquad E_{r+1}^{p,q}:=H(E_{r}^{p,q},d_{r}^{p,q}).}$

La filtración anterior es finita en cada grado, es decir para cada ${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle \Omega ^{k}({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}^{1}\Omega ^{k}({\mathcal {O}})\supset \cdots \supset {\mathcal {C}}^{k+1}\Omega ^{k}({\mathcal {O}})=0,}$

de modo que la secuencia espectral converge a la cohomología de De Rham de la diferencia. Por lo tanto, se pueden analizar los términos de la secuencia espectral orden por orden para recuperar información sobre la EDP original. Por ejemplo: ^[7] ${\displaystyle H({\mathcal {O}})}$

• ${\displaystyle E_{1}^{0,n}}$corresponde a funciones de acción limitadas por la EDP . En particular, para , la ecuación de Euler-Lagrange correspondiente es . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\in E_{1}^{0,n}}$ ${\displaystyle {\text{d}}_{1}^{0,n}{\mathcal {L}}=0}$
• ${\displaystyle E_{1}^{0,n-1}}$corresponde a las leyes de conservación para soluciones de . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$
• ${\displaystyle E_{2}}$se interpreta como clases características de bordismos de soluciones de . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Muchos términos de orden superior aún no tienen interpretación.

Bicomplejo variacional

Como caso particular, partiendo de una variedad fibrosa y su fibrado de chorros en lugar del espacio de chorros , en lugar de la secuencia espectral se obtiene el bicomplejo variacional ligeramente menos general . Más precisamente, cualquier bicomplejo determina dos secuencias espectrales: una de las dos secuencias espectrales determinadas por el bicomplejo variacional es exactamente la secuencia espectral de Vinogradov. Sin embargo, el bicomplejo variacional se desarrolló independientemente de la secuencia de Vinogradov. ^{[8] [9]} ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle J^{k}(\pi )}$ ${\displaystyle J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

De manera similar a los términos de la secuencia espectral, a muchos términos del bicomplejo variacional se les puede dar una interpretación física en la teoría de campos clásica : por ejemplo, se obtienen clases de cohomología correspondientes a funcionales de acción, corrientes conservadas, cargas de calibre, etc. ^[10]

Cálculo secundario

Vinogradov desarrolló una teoría, conocida como cálculo secundario , para formalizar en términos cohomológicos la idea de un cálculo diferencial en el espacio de soluciones de un sistema dado de EDP (es decir, el espacio de variedades integrales de una dificultad dada). ^{[11] [12] [13] [3]}

En otras palabras, el cálculo secundario proporciona sustitutos para funciones, campos vectoriales, formas diferenciales, operadores diferenciales, etc., en un espacio (genéricamente) muy singular donde estos objetos no pueden definirse de la manera habitual (suave) en el espacio de solución. Además, el espacio de estos nuevos objetos está naturalmente dotado de las mismas estructuras algebraicas del espacio de los objetos originales. ^[14]

Más precisamente, considere el complejo de De Rham horizontal de una dife- rencia, que puede verse como el complejo de De Rham de hojas a hojas de la distribución involutiva o, equivalentemente, el complejo algebroide de Lie del algebroide de Lie . Entonces, el complejo se convierte naturalmente en un álgebra de DG conmutativa junto con un diferencial adecuado . Luego, posiblemente tensando con el fibrado normal , su cohomología se usa para definir los siguientes "objetos secundarios": ${\displaystyle {\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}):=\Gamma (\wedge ^{\bullet }{\mathcal {C(O)}}^{*})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C(O)}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C(O)}}}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle {\overline {d}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}:=T{\mathcal {O}}/{\mathcal {C(O)}}\to {\mathcal {O}}}$

• Las funciones secundarias son elementos de la cohomología , que naturalmente es un álgebra DG conmutativa (en realidad es la primera página de la secuencia -espectral discutida anteriormente); ${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}})=H^{\bullet }({\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}),{\overline {d}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• Los campos vectoriales secundarios son elementos de la cohomología , que naturalmente es un álgebra de Lie; además, forma un álgebra de Lie-Rinehart graduada junto con ; ${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}},{\mathcal {V}})=H^{\bullet }({\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}\otimes {\mathcal {V}}),{\overline {d}})}$ ${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}})}$
• Las formas diferenciales secundarias ${\displaystyle p}$ son elementos de la cohomología , que es naturalmente un álgebra DG conmutativa. ${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}},\wedge ^{p}{\mathcal {V}}^{*})=H^{\bullet }({\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}\otimes \wedge ^{p}{\mathcal {V}}^{*}),{\overline {d}})}$

El cálculo secundario también puede relacionarse con el espacio de fases covariante , es decir, el espacio de soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas a una teoría de campos lagrangianos . ^[15]

Véase también

• Cálculo secundario y física cohomológica
• Ecuaciones diferenciales parciales sobre haces de jets
• Ideal diferencial
• Cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas

Otra forma de generalizar ideas de la geometría algebraica es la geometría algebraica diferencial .

Referencias

1. Vinogradov, AM (marzo de 1984). "Simetrías locales y leyes de conservación" . Acta Applicandae Mathematicae . 2 (1): 21–78. doi :10.1007/BF01405491. ISSN  0167-8019. S2CID  121860845.
2. Saunders, DJ (1989). La geometría de los paquetes de jets. Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Cambridge: Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511526411. ISBN 978-0-521-36948-0.
3. Vinogradov, AM (2001). Análisis cohomológico de ecuaciones diferenciales parciales y cálculo secundario. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2922-X.OCLC 47296188  .
4. Krasil'shchik, IS; Lychagin, VV; Vinogradov, AM (1986). Geometría de espacios de chorro y ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Adv. Stud. Contemp. Math., NY Vol. 1. Nueva York, etc.: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-2-88124-051-5.
5. Güneysu, Batu; Pflaum, Markus J. (10 de enero de 2017). "La estructura de variedad dimensional profinita de espacios de solución formal de ecuaciones diferenciales parciales formalmente integrables". SIGMA. Simetría, integrabilidad y geometría: métodos y aplicaciones . 13 : 003. arXiv : 1308.1005 . Bibcode :2017SIGMA..13..003G. doi :10.3842/SIGMA.2017.003. S2CID  15871902.
6. Vinogradov, AM (1978). "Una secuencia espectral asociada con una ecuación diferencial no lineal y fundamentos algebro-geométricos de la teoría de campos de Lagrange con restricciones". Soviet Math. Dokl. (en ruso). 19 : 144-148 – vía Math-Net.Ru.
7. Simetrías y leyes de conservación para ecuaciones diferenciales de física matemática. AV Bocharov, IS Krasilʹshchik, AM Vinogradov. Providence, RI: American Mathematical Society. 1999. ISBN 978-1-4704-4596-6.OCLC 1031947580  .{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
8. Tulczyjew, WM (1980). García, PL; Pérez-Rendón, A.; Souriau, JM (eds.). "La resolución de Euler-Lagrange" . Métodos geométricos diferenciales en física matemática . Apuntes de clase en matemáticas. 836. Berlín, Heidelberg: Springer: 22–48. doi :10.1007/BFb0089725. ISBN . 978-3-540-38405-2.
9. Tsujishita, Toru (1982). "Sobre bicomplejos de variación asociados a ecuaciones diferenciales". Osaka Journal of Mathematics . 19 (2): 311–363. ISSN  0030-6126.
10. "Bicomplejo variacional en nLab". ncatlab.org . Consultado el 11 de diciembre de 2021 .
11. Vinogradov, AM (30 de abril de 1984). "La secuencia b-espectral, el formalismo lagrangiano y las leyes de conservación. I. La teoría lineal". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 100 (1): 1–40. doi :10.1016/0022-247X(84)90071-4.
12. Vinogradov, AM (30 de abril de 1984). "La secuencia b-espectral, el formalismo lagrangiano y las leyes de conservación. II. La teoría no lineal" . Revista de análisis matemático y aplicaciones . 100 (1): 41–129. doi :10.1016/0022-247X(84)90072-6. ISSN  0022-247X.
13. Henneaux, Marc; Krasil′shchik, Joseph; Vinogradov, Alexandre, eds. (1998). Cálculo secundario y física cohomológica. Matemáticas contemporáneas. Vol. 219. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. doi :10.1090/conm/219. ISBN 978-0-8218-0828-3.
14. Vitagliano, Luca (2014). "Sobre el álgebra de Lie–Rinehart de homotopía fuerte de una foliación". Communications in Contemporary Mathematics . 16 (6): 1450007. arXiv : 1204.2467 . doi :10.1142/S0219199714500072. ISSN  0219-1997. S2CID  119704524.
15. Vitagliano, Luca (1 de abril de 2009). "Cálculo secundario y el espacio de fases covariante". Revista de geometría y física . 59 (4): 426–447. arXiv : 0809.4164 . Código Bibliográfico :2009JGP....59..426V. doi :10.1016/j.geomphys.2008.12.001. ISSN  0393-0440. S2CID  21787052.

Enlaces externos

• El Instituto Diffiiety (congelado desde 2010)
• El Instituto Levi-Civita (sucesor del sitio mencionado anteriormente)
• Geometría de ecuaciones diferenciales
• Geometría diferencial y ecuaciones diferenciales parciales