Ideal diferencial

En la teoría de formas diferenciales , un ideal diferencial I es un ideal algebraico en el anillo de formas diferenciales suaves en una variedad suave , en otras palabras, un ideal graduado en el sentido de la teoría de anillos , que está además cerrado bajo la diferenciación exterior d , lo que significa que para cualquier forma α en I , la derivada exterior d α también está en I.

En la teoría del álgebra diferencial , un ideal diferencial I en un anillo diferencial R es un ideal que se asigna a sí mismo mediante cada operador diferencial.

Sistemas diferenciales exteriores y ecuaciones diferenciales parciales

Un sistema diferencial exterior consta de un colector liso y un diferencial ideal. ${\displaystyle M}$

${\displaystyle I\subset \Omega ^{*}(M)}$.

Una variedad integral de un sistema diferencial exterior consiste en una subvariedad que tiene la propiedad de que el retroceso de todas las formas diferenciales contenidas en ella se desvanece de manera idéntica. ${\displaystyle (M,I)}$ ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle I}$

Se puede expresar cualquier sistema de ecuaciones diferenciales parciales como un sistema diferencial exterior con condición de independencia. Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de orden k para aplicaciones , dado por ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle F^{r}\left(x,u,{\frac {\partial ^{|I|}u}{\partial x^{I}}}\right)=0,\quad 1\leq |I|\leq k}$.

La gráfica del chorro de cualquier solución de este sistema de ecuaciones diferenciales parciales es una subvariedad del espacio del chorro , y es una variedad integral del sistema de contacto en el fibrado del chorro. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (u^{a},p_{i}^{a},\dots ,p_{I}^{a})=(u^{a}(x),{\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{i}}},\dots ,{\frac {\partial ^{|I|}u}{\partial x^{I}}})_{1\leq |I|\leq k}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle du^{a}-p_{i}^{a}dx^{i},\dots ,dp_{I}^{a}-p_{Ij}^{p}dx^{j}{}_{1\leq |I|\leq k-1}}$ ${\displaystyle k}$

Esta idea permite analizar las propiedades de las ecuaciones diferenciales parciales con métodos de geometría diferencial. Por ejemplo, podemos aplicar el teorema de Cartan-Kähler a un sistema de ecuaciones diferenciales parciales escribiendo el sistema diferencial externo asociado. Con frecuencia podemos aplicar el método de equivalencia de Cartan a sistemas diferenciales externos para estudiar sus simetrías y sus invariantes de difeomorfismo.

Ideales diferenciales perfectos

Un ideal diferencial es perfecto si tiene la propiedad de que si contiene un elemento entonces contiene cualquier elemento tal que para algún . ${\displaystyle I\,}$ ${\displaystyle a\in I}$ ${\displaystyle b\in I}$ ${\displaystyle b^{n}=a}$ ${\displaystyle n>0\,}$

Referencias

• Robert Bryant , Phillip Griffiths y Lucas Hsu, Toward a geometry of differentiational equations (archivo DVI), en Geometry, Topology, & Physics, Conf. Proc. Lecture Notes Geom. Topology, editado por S.-T. Yau, vol. IV (1995), págs. 1–76, Internat. Press, Cambridge, MA
• Robert Bryant , Shiing-Shen Chern , Robert Gardner , Phillip Griffiths , Hubert Goldschmidt, Sistemas diferenciales exteriores , Springer--Verlag, Heidelberg, 1991.
• Thomas A. Ivey, JM Landsberg, Cartan para principiantes . Geometría diferencial mediante marcos móviles y sistemas diferenciales exteriores. Segunda edición. Estudios de posgrado en matemáticas, 175. American Mathematical Society, Providence, RI, 2016.
• HW Raudenbush, Jr. "Teoría ideal y ecuaciones diferenciales algebraicas", Transactions of the American Mathematical Society , vol. 36, n.º 2 (abril de 1934), págs. 361-368. URL estable:[1] doi :10.1090/S0002-9947-1934-1501748-1
• JF Ritt , Álgebra diferencial , Dover, Nueva York, 1950.