Dificiencia

En matemáticas , una difiety ( / d ə ˈ f aɪ ə ˌ t iː / ) es un objeto geométrico que juega el mismo papel en la teoría moderna de ecuaciones diferenciales parciales que las variedades algebraicas desempeñan para las ecuaciones algebraicas , es decir, codificar el espacio. de soluciones de una manera más conceptual. El término fue acuñado en 1984 por Alexandre Mikhailovich Vinogradov como acrónimo de variedad diferencial . ^[1]

Definición intuitiva

En geometría algebraica los principales objetos de estudio ( variedades ) modelan el espacio de soluciones de un sistema de ecuaciones algebraicas (es decir, el lugar cero de un conjunto de polinomios ), junto con todas sus "consecuencias algebraicas". Esto significa que, al aplicar operaciones algebraicas a este conjunto (por ejemplo, sumar esos polinomios entre sí o multiplicarlos por cualquier otro polinomio) se obtendrá el mismo lugar cero. En otras palabras, en realidad se puede considerar el lugar cero del ideal algebraico generado por el conjunto inicial de polinomios.

Cuando se trata de ecuaciones diferenciales, además de aplicar operaciones algebraicas como las anteriores, también se tiene la opción de diferenciar las ecuaciones iniciales, obteniendo nuevas restricciones diferenciales. Por tanto, el análogo diferencial de una variedad debería ser el espacio de soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales, junto con todas sus "consecuencias diferenciales". Por lo tanto, en lugar de considerar el lugar cero de un ideal algebraico, es necesario trabajar con un ideal diferencial .

Una diferencia elemental consistirá por tanto en la prolongación infinita de una ecuación diferencial , junto con una estructura extra proporcionada por una distribución especial . Las diferencias elementales juegan el mismo papel en la teoría de ecuaciones diferenciales que las variedades algebraicas afines en la teoría de ecuaciones algebraicas. En consecuencia, al igual que las variedades o esquemas se componen de variedades afines irreductibles o esquemas afines , se define una diffiedad (no elemental) como un objeto que localmente parece una difiedad elemental. ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$

Definicion formal

La definición formal de una diferencia, que se basa en el enfoque geométrico de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones, requiere las nociones de chorros de subvariedades, prolongaciones y distribución de Cartan, que se recuerdan a continuación.

Espacios en chorro de subvariedades.

Por ejemplo, uno recupera solo puntos en y otro recupera el Grassmanniano de subespacios -dimensionales de . De manera más general, todas las proyecciones son haces de fibras . ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle TE}$ ${\displaystyle J^{k}(E)\to J^{k-1}E}$

Como caso particular, cuando se tiene una estructura de variedad fibrosa sobre una variedad -dimensional , se pueden considerar subvariedades de dadas por las gráficas de secciones locales de . Luego, la noción de chorro de subvariedades se reduce a la noción estándar de chorro de secciones, y el haz de chorros resulta ser un subconjunto abierto y denso de . ^[3] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle J^{k}(\pi )}$ ${\displaystyle J^{k}(E,m)}$

Prolongaciones de subvariedades

La prolongación en chorro de una subvariedad es ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M\subseteq E}$

$${\displaystyle j^{k}(M):M\rightarrow J^{k}(E,m),\quad p\mapsto [M]_{p}^{k}}$$

El mapa es una incrustación suave y su imagen , llamada prolongación de la subvariedad , es una subvariedad de a difeomorfa . ${\displaystyle j^{k}(M)}$ ${\displaystyle M^{k}:={\text{im}}(j^{k}(M))}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle M}$

Distribución de Cartan en espacios jet.

Un espacio de la forma , donde hay cualquier subvariedad cuya prolongación contiene el punto , se llama plano (o avión a reacción, o plano de Cartan) en . La distribución de Cartan en el espacio del jet es la distribución definida por ${\displaystyle T_{\theta }(M^{k})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \theta \in J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq T(J^{k}(E,m))}$

$${\displaystyle {\mathcal {C}}:J^{k}(E,m)\rightarrow TJ^{k}(E,m),\qquad \theta \mapsto {\mathcal {C}}_{\theta }\subset T_{\theta }(J^{k}(E,m))}$$

^[4] ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\theta }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta \in J^{k}(E,m)}$

Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial de orden en la variedad es una subvariedad ; una solución se define como una subvariedad -dimensional tal que . Cuando se termina una variedad fibrosa , se recupera la noción de ecuaciones diferenciales parciales en haces de chorros y sus soluciones, que proporcionan una forma sin coordenadas de describir nociones análogas del análisis matemático . Si bien los haces de chorros son suficientes para abordar muchas ecuaciones que surgen en geometría, los espacios de chorros de subvariedades proporcionan una mayor generalidad, y se utilizan para abordar varias PDE impuestas a subvariedades de una variedad determinada, como las subvariedades lagrangianas y las superficies mínimas . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle S\subset {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle S^{k}\subseteq {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

Como en el caso del haz de chorros, la distribución de Cartan es importante en el enfoque algebrogeométrico de las ecuaciones diferenciales porque permite codificar soluciones en términos puramente geométricos. De hecho, una subvariedad es una solución si y sólo si es una variedad integral para , es decir, para todos . ${\displaystyle S\subset {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle T_{\theta }S\subset {\mathcal {C}}_{\theta }}$ ${\displaystyle \theta \in S}$

También se puede observar la distribución de Cartan de una PDE de manera más intrínseca, definiendo ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$

$${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}):=\{{\mathcal {C}}_{\theta }\cap T_{\theta }({\mathcal {E}})~|~\theta \in {\mathcal {E}}\}}$$

${\displaystyle ({\mathcal {E}},{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}))}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Prolongaciones de PDE

Dada una ecuación diferencial de orden , su -ésima prolongación se define como ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{l}(E,m)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}:=J^{k}({\mathcal {E}},m)\cap J^{k+l}(E,m)\subseteq J^{k+l}(E,m)}$$

${\displaystyle J^{k}({\mathcal {E}},m)}$ ${\displaystyle J^{k+l}(E,m)}$ ${\displaystyle J^{k}(J^{l}(E,m),m)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}}$ ${\displaystyle k+l}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle J^{k+1}(E,m)}$

A continuación asumiremos que la PDE es formalmente integrable , es decir, todas las prolongaciones son variedades suaves y todas las proyecciones son inmersiones sobreyectivas suaves. Tenga en cuenta que una versión adecuada del teorema de prolongación de Cartan-Kuranishi garantiza que, bajo supuestos de regularidad menores, es suficiente comprobar la suavidad de un número finito de prolongaciones. Entonces, el límite inverso de la secuencia extiende la definición de prolongación al caso en que va al infinito y el espacio tiene la estructura de una variedad de dimensión finita . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}\to {\mathcal {E}}^{k-1}}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {E}}^{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$

Definición de dificultad

Una diferencia elemental es un par donde hay una ecuación diferencial de orden -ésimo en alguna variedad, su prolongación infinita y su distribución de Cartan. Tenga en cuenta que, a diferencia del caso finito, se puede demostrar que la distribución de Cartan es -dimensional e involutiva . Sin embargo, debido a la dimensión infinita de la variedad ambiental, el teorema de Frobenius no se cumple y, por lo tanto, no es integrable. ${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$

Una difiety es una tripleta , que consta de ${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$

• una variedad (generalmente de dimensión infinita) ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$
• el álgebra de sus funciones suaves ${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {O}})}$
• una distribución de dimensión finita , ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {O}})}$

tal que es localmente de la forma , donde es una diferencia elemental y denota el álgebra de funciones suaves en . Aquí localmente significa una localización adecuada con respecto a la topología de Zariski correspondiente al álgebra . ${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$ ${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {F}}({\mathcal {E}}^{\infty }),{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$ ${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {O}})}$

La dimensión de se llama dimensión de la diferencia y se denota por , con D mayúscula (para distinguirla de la dimensión de como variedad). ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle \mathrm {Dim} ({\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Morfismos de diferencias

Un morfismo entre dos diferencias y consiste en un mapa suave cuyo avance preserva la distribución de Cartan, es decir, tal que, para cada punto , uno tiene . ${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$ ${\displaystyle ({\mathcal {O}}',{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}'),{\mathcal {C}}({\mathcal {O'}}))}$ ${\displaystyle \Phi :{\mathcal {O}}\rightarrow {\mathcal {O}}'}$ ${\displaystyle \theta \in {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle d_{\theta }\Phi ({\mathcal {C}}_{\theta })\subseteq {\mathcal {C}}_{\Phi (\theta )}}$

Las dificultades junto con sus morfismos definen la categoría de ecuaciones diferenciales . ^[3]

Aplicaciones

Secuencia de Vinogradov

La secuencia espectral de Vinogradov ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ (o, para abreviar, secuencia de Vinogradov ) es una secuencia espectral asociada a una diferencia, que puede usarse para investigar ciertas propiedades del espacio de solución formal de una ecuación diferencial explotando su distribución de Cartan . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Dada una diferencia , considere el álgebra de formas diferenciales sobre ${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle \Omega ({\mathcal {O}}):=\sum _{i\geq 0}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})}$

y el correspondiente complejo de Rham :

${\displaystyle C^{\infty }({\mathcal {O}})\longrightarrow \Omega ^{1}({\mathcal {O}})\longrightarrow \Omega ^{2}({\mathcal {O}})\longrightarrow \cdots }$

Sus grupos de cohomología contienen cierta información estructural sobre la PDE; sin embargo, debido al Lema de Poincaré , todos desaparecen localmente. Para extraer mucha más información, incluso local, es necesario tener en cuenta la distribución de Cartan e introducir una secuencia más sofisticada. Para ello, dejemos ${\displaystyle H^{i}({\mathcal {O}}):={\text{ker}}({\text{d}}_{i})/{\text{im}}({\text{d}}_{i-1})}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega ({\mathcal {O}})=\sum _{i\geq 0}{\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})\subseteq \Omega ({\mathcal {O}})}$

ser el submódulo de formas diferenciales sobre cuya restricción a la distribución desaparece, es decir ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega ^{p}({\mathcal {O}}):=\{w\in \Omega ^{p}({\mathcal {O}})\mid w(X_{1},\cdots ,X_{p})=0\quad \forall ~X_{1},\ldots ,X_{p}\in {\mathcal {C}}({\mathcal {O}})\}.}$

Tenga en cuenta que en realidad es un ideal diferencial ya que es estable frente al diferencial de De Rham, es decir . ${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})\subseteq \Omega ^{i}({\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle {\text{d}}({\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}}))\subset {\mathcal {C}}\Omega ^{i+1}({\mathcal {O}})}$

Ahora sea su -ésima potencia, es decir, el subespacio lineal de generado por . Luego se obtiene una filtración. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}\Omega ({\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega }$ ${\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k},~w_{i}\in {\mathcal {C}}\Omega }$

${\displaystyle \Omega ({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}\Omega ({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}^{2}\Omega ({\mathcal {O}})\supset \cdots }$

y como todos los ideales son estables, esta filtración determina completamente la siguiente secuencia espectral : ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}\Omega }$

${\displaystyle {\mathcal {C}}E({\mathcal {O}})=\{E_{r}^{p,q},{\text{d}}_{r}^{p,q}\}\qquad {\text{where}}\qquad E_{0}^{p,q}:={\frac {{\mathcal {C}}^{p}\Omega ^{p+q}({\mathcal {O}})}{{\mathcal {C}}^{p+1}\Omega ^{p+q}({\mathcal {O}})}},\qquad {\text{and}}\qquad E_{r+1}^{p,q}:=H(E_{r}^{p,q},d_{r}^{p,q}).}$

La filtración anterior es finita en cada grado, es decir, para cada ${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle \Omega ^{k}({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}^{1}\Omega ^{k}({\mathcal {O}})\supset \cdots \supset {\mathcal {C}}^{k+1}\Omega ^{k}({\mathcal {O}})=0,}$

de modo que la secuencia espectral converge a la cohomología de la difiety de De Rham. Por lo tanto, se pueden analizar los términos del orden de la secuencia espectral para recuperar información sobre la PDE original. Por ejemplo: ^[7] ${\displaystyle H({\mathcal {O}})}$

• ${\displaystyle E_{1}^{0,n}}$Corresponde a funcionales de acción restringidos por la PDE . En particular, para , la ecuación de Euler-Lagrange correspondiente es . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\in E_{1}^{0,n}}$ ${\displaystyle {\text{d}}_{1}^{0,n}{\mathcal {L}}=0}$
• ${\displaystyle E_{1}^{0,n-1}}$corresponde a leyes de conservación para soluciones de . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$
• ${\displaystyle E_{2}}$Se interpreta como clases características de bordismos de soluciones de . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Muchos términos de orden superior aún no tienen interpretación.

bicomplejo variacional

Como caso particular, comenzando con una variedad de fibras y su haz de chorros en lugar del espacio de chorros , en lugar de la secuencia espectral se obtiene el bicomplejo variacional ligeramente menos general . Más precisamente, cualquier bicomplejo determina dos secuencias espectrales: una de las dos secuencias espectrales determinadas por el bicomplejo variacional es exactamente la secuencia espectral de Vinogradov. Sin embargo, el bicomplejo variacional se desarrolló independientemente de la secuencia de Vinogradov. ^{[8] [9]} ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle J^{k}(\pi )}$ ${\displaystyle J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

De manera similar a los términos de la secuencia espectral, a muchos términos del bicomplejo variacional se les puede dar una interpretación física en la teoría de campos clásica : por ejemplo, se obtienen clases de cohomología correspondientes a funcionales de acción, corrientes conservadas, cargas de calibre, etc. ^[10]

calculo secundario

Vinogradov desarrolló una teoría, conocida como cálculo secundario , para formalizar en términos cohomológicos la idea de un cálculo diferencial en el espacio de soluciones de un sistema dado de PDE (es decir, el espacio de variedades integrales de una diferencia dada). ^{[11] [12] [13] [3]}

En otras palabras, el cálculo secundario proporciona sustitutos para funciones, campos vectoriales, formas diferenciales, operadores diferenciales, etc., en un espacio (genéricamente) muy singular donde estos objetos no pueden definirse de la forma habitual (suave) en el espacio de solución. Además, el espacio de estos nuevos objetos está naturalmente dotado de las mismas estructuras algebraicas del espacio de los objetos originales. ^[14]

Más precisamente, considere el complejo de De Rham horizontal de una diffiedad, que puede verse como el complejo de De Rham en forma de hoja de la distribución involutiva o, de manera equivalente, el complejo algebroide de Lie del algebroide de Lie . Entonces el complejo se convierte naturalmente en un álgebra DG conmutativa junto con un diferencial adecuado . Luego, posiblemente tensorizando con el paquete normal , su cohomología se utiliza para definir los siguientes "objetos secundarios": ${\displaystyle {\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}):=\Gamma (\wedge ^{\bullet }{\mathcal {C(O)}}^{*})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C(O)}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C(O)}}}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle {\overline {d}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}:=T{\mathcal {O}}/{\mathcal {C(O)}}\to {\mathcal {O}}}$

• las funciones secundarias son elementos de la cohomología , que es naturalmente un álgebra DG conmutativa (en realidad es la primera página de la secuencia espectral analizada anteriormente); ${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}})=H^{\bullet }({\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}),{\overline {d}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• Los campos vectoriales secundarios son elementos de la cohomología , que es naturalmente un álgebra de Lie; además, forma un álgebra de Lie-Rinehart graduada junto con ; ${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}},{\mathcal {V}})=H^{\bullet }({\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}\otimes {\mathcal {V}}),{\overline {d}})}$ ${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}})}$
• Las formas diferenciales secundarias ${\displaystyle p}$ son elementos de la cohomología , que es naturalmente un álgebra DG conmutativa. ${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}},\wedge ^{p}{\mathcal {V}}^{*})=H^{\bullet }({\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}\otimes \wedge ^{p}{\mathcal {V}}^{*}),{\overline {d}})}$

El cálculo secundario también puede estar relacionado con el espacio de fases covariante , es decir, el espacio de solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas a una teoría de campos lagrangiana . ^[15]

Ver también

• Cálculo secundario y física cohomológica.
• Ecuaciones diferenciales parciales en haces Jet
• ideal diferencial
• Cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas

Otra forma de generalizar ideas de la geometría algebraica es la geometría algebraica diferencial .

Referencias

1. Vinogradov, AM (marzo de 1984). "Simetrías locales y leyes de conservación" . Acta Applicandae Mathematicae . 2 (1): 21–78. doi :10.1007/BF01405491. ISSN  0167-8019. S2CID  121860845.
2. Saunders, DJ (1989). La geometría de los paquetes Jet. Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/cbo9780511526411. ISBN 978-0-521-36948-0.
3. Vinogradov, AM (2001). Análisis cohomológico de ecuaciones diferenciales parciales y cálculo secundario. Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 0-8218-2922-X. OCLC  47296188.
4. Krasil'shchik, ES; Lychagin, VV; Vinogradov, AM (1986). Geometría de espacios en chorro y ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Adv. Semental. Contemporáneo. Matemáticas, Nueva York vol. 1. Nueva York, etc.: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-2-88124-051-5.
5. Güneysu, Batu; Pflaum, Markus J. (10 de enero de 2017). "La estructura múltiple dimensional finita de espacios de solución formal de PDE formalmente integrables". SIGMA. Simetría, Integrabilidad y Geometría: Métodos y Aplicaciones . 13 : 003. arXiv : 1308.1005 . Código Bib : 2017SIGMA..13..003G. doi :10.3842/SIGMA.2017.003. S2CID  15871902.
6. Vinogradov, AM (1978). "Una secuencia espectral asociada a una ecuación diferencial no lineal y fundamentos álgebro-geométricos de la teoría de campos lagrangiana con restricciones". Matemáticas soviéticas. Dokl. (en ruso). 19 : 144–148 - vía Math-Net.Ru.
7. Simetrías y leyes de conservación de ecuaciones diferenciales de física matemática. AV Bocharov, IS Krasilʹshchik, AM Vinogradov. Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. 1999.ISBN​ 978-1-4704-4596-6. OCLC  1031947580.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
8. Tulczyjew, WM (1980). García, PL; Pérez-Rendón, A.; Souriau, JM (eds.). "La resolución Euler-Lagrange" . Métodos Geométricos Diferenciales en Física Matemática . Apuntes de conferencias de matemáticas. 836 . Berlín, Heidelberg: Springer: 22–48. doi :10.1007/BFb0089725. ISBN 978-3-540-38405-2.
9. Tsujishita, Toru (1982). "Sobre bicomplejos de variación asociados a ecuaciones diferenciales". Revista de Matemáticas de Osaka . 19 (2): 311–363. ISSN  0030-6126.
10. "bicomplejo variacional en nLab". ncatlab.org . Consultado el 11 de diciembre de 2021 .
11. Vinogradov, AM (30 de abril de 1984). "La secuencia b-espectral, formalismo lagrangiano y leyes de conservación. I. La teoría lineal". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 100 (1): 1–40. doi :10.1016/0022-247X(84)90071-4.
12. Vinogradov, AM (30 de abril de 1984). "La secuencia b-espectral, formalismo lagrangiano y leyes de conservación. II. La teoría no lineal" . Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 100 (1): 41-129. doi :10.1016/0022-247X(84)90072-6. ISSN  0022-247X.
13. Henneaux, Marc; Krasil′shchik, José; Vinogradov, Alexandre, eds. (1998). Cálculo Secundario y Física Cohomológica. Matemáticas Contemporáneas. vol. 219. Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense. doi :10.1090/conm/219. ISBN 978-0-8218-0828-3.
14. Vitagliano, Luca (2014). "Sobre el álgebra de una foliación de Lie-Rinehart de homotopía fuerte". Comunicaciones en Matemática Contemporánea . 16 (6): 1450007. arXiv : 1204.2467 . doi :10.1142/S0219199714500072. ISSN  0219-1997. S2CID  119704524.
15. Vitagliano, Luca (1 de abril de 2009). "Cálculo secundario y espacio de fases covariante". Revista de Geometría y Física . 59 (4): 426–447. arXiv : 0809.4164 . Código Bib : 2009JGP....59..426V. doi :10.1016/j.geomphys.2008.12.001. ISSN  0393-0440. S2CID  21787052.

enlaces externos

• El Instituto Difiety (congelado desde 2010)
• El Instituto Levi-Civita (sucesor del sitio anterior)
• Geometría de ecuaciones diferenciales
• Geometría diferencial y PDE