Lema de Poincaré

Condición matemática

En matemáticas, el lema de Poincaré establece una condición suficiente para que una forma diferencial cerrada sea exacta (mientras que una forma exacta es necesariamente cerrada). Precisamente, establece que toda p -forma cerrada en una bola abierta en R ⁿ es exacta para p con 1 ≤ p ≤ n . ^[1] El lema fue introducido por Henri Poincaré en 1886. ^{[2] [3]}

Especialmente en cálculo , el lema de Poincaré también dice que toda 1-forma cerrada en un subconjunto abierto simplemente conexo en es exacta. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En el lenguaje de la cohomología , el lema de Poincaré dice que el k -ésimo grupo de cohomología de de Rham de un subconjunto abierto contráctil de una variedad M (por ejemplo, ) se anula para . En particular, implica que el complejo de de Rham produce una resolución del haz constante en M . La cohomología singular de un espacio contráctil se anula en grado positivo, pero el lema de Poincaré no se sigue de esto, ya que el hecho de que la cohomología singular de una variedad se pueda calcular como la cohomología de de Rham de ella, es decir, el teorema de de Rham , se basa en el lema de Poincaré. Sin embargo, significa que es suficiente probar el lema de Poincaré para bolas abiertas; la versión para variedades contráctiles se sigue entonces de la consideración topológica. ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{M}}$

El lema de Poincaré es también un caso especial de la invariancia de homotopía de la cohomología de De Rham ; de hecho, es común establecer el lema mostrando la invariancia de homotopía o al menos una versión de ella.

Pruebas

Una prueba estándar del lema de Poincaré utiliza la fórmula de invariancia de homotopía (véanse las pruebas a continuación, así como la Integración a lo largo de las fibras#Ejemplo ). ^{[4] [5] [6] [7]} La ​​forma local del operador de homotopía se describe en Edelen (2005) y la conexión del lema con la forma de Maurer-Cartan se explica en Sharpe (1997). ^{[8] [9]}

Prueba directa

El lema de Poincaré se puede demostrar mediante la integración a lo largo de las fibras . ^{[10] [11]} (Este enfoque es una generalización directa de la construcción de una función primitiva mediante la integración en cálculo).

Probaremos el lema para un subconjunto abierto que tiene forma de estrella o de cono sobre ; es decir, si está en , entonces está en para . Este caso en particular cubre el caso de la bola abierta, ya que se puede suponer que una bola abierta está centrada en el origen sin pérdida de generalidad. ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle tx}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$

El truco es considerar formas diferenciales en (usamos para la coordenada en ). Primero defina el operador (llamado integración de fibra ) para k -formas en por ${\displaystyle U\times [0,1]\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \pi _{*}}$ ${\displaystyle U\times [0,1]}$

${\displaystyle \pi _{*}\left(\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k-1}}f_{i}dt\wedge dx^{i}+\sum _{j_{1}<\cdots <j_{k}}g_{j}dx^{j}\right)=\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k-1}}\left(\int _{0}^{1}f_{i}(\cdot ,t)\,dt\right)\,dx^{i}}$

donde , y de manera similar para y . Ahora, para , ya que , utilizando la diferenciación bajo el signo integral , tenemos: ${\displaystyle dx^{i}=dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}}$ ${\displaystyle f_{i}=f_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle dx^{j}}$ ${\displaystyle g_{j}}$ ${\displaystyle \alpha =f\,dt\wedge dx^{i}}$ ${\displaystyle d\alpha =-\sum _{l}{\frac {\partial f}{\partial x_{l}}}dt\wedge dx_{l}\wedge dx^{i}}$

${\displaystyle \pi _{*}(d\alpha )=-d(\pi _{*}\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d(\pi _{*}\alpha )}$

donde denotan las restricciones de a los hiperplanos y son cero ya que es cero allí. Si , entonces un cálculo similar da ${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle t=0,t=1}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle \alpha =f\,dx^{j}}$

${\displaystyle \pi _{*}(d\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d(\pi _{*}\alpha )}$.

Por lo tanto, la fórmula anterior es válida para cualquier forma en . Finalmente, sea y luego haga . Entonces, con la notación , obtenemos: para cualquier forma en , ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle U\times [0,1]}$ ${\displaystyle h(x,t)=tx}$ ${\displaystyle J=\pi _{*}\circ h^{*}}$ ${\displaystyle h_{t}=h(\cdot ,t)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle h_{1}^{*}\omega -h_{0}^{*}\omega =Jd\omega +dJ\omega ,}$

la fórmula conocida como fórmula de homotopía. El operador se llama operador de homotopía (también llamado homotopía de cadena ). Ahora bien, si es cerrado, . Por otro lado, y , esto último porque no hay una forma superior distinta de cero en un punto. Por lo tanto, ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle Jd\omega =0}$ ${\displaystyle h_{1}^{*}\omega =\omega }$ ${\displaystyle h_{0}^{*}\omega =0}$

${\displaystyle \omega =dJ\omega ,}$

lo que prueba el lema de Poincaré.

La misma prueba muestra de hecho el lema de Poincaré para cualquier subconjunto abierto contráctil U de una variedad. De hecho, dado tal U , tenemos la homotopía con la identidad y un punto. Aproximando tal , ^{[ aclaración necesaria ]} , podemos suponer que es de hecho suave. La integración de fibra también está definida para . Por lo tanto, se aplica el mismo argumento. ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle h_{1}=}$ ${\displaystyle h_{0}(U)=}$ ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle \pi _{*}}$ ${\displaystyle \pi :U\times [0,1]\to U}$

Demostración mediante derivadas de Lie

La fórmula mágica de Cartan para las derivadas de Lie se puede utilizar para dar una prueba breve del lema de Poincaré. La fórmula establece que la derivada de Lie a lo largo de un campo vectorial se da como: ^[12] ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle L_{\xi }=d\,i(\xi )+i(\xi )d}$

donde denota el producto interior ; es decir, . ${\displaystyle i(\xi )}$ ${\displaystyle i(\xi )\omega =\omega (\xi ,\cdot )}$

Sea una familia suave de aplicaciones suaves para algún subconjunto abierto U de tal que está definido para t en algún intervalo cerrado I y es un difeomorfismo para t en el interior de I . Sea denotado los vectores tangentes a la curva ; es decir, . Para un t fijo en el interior de I , sea . Entonces . Por lo tanto, por la definición de una derivada de Lie, ${\displaystyle f_{t}:U\to U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle \xi _{t}(x)}$ ${\displaystyle f_{t}(x)}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f_{t}(x)=\xi _{t}(f_{t}(x))}$ ${\displaystyle g_{s}=f_{t+s}\circ f_{t}^{-1}}$ ${\displaystyle g_{0}=\operatorname {id} ,\,{\frac {d}{ds}}g_{s}|_{s=0}=\xi _{t}}$

${\displaystyle (L_{\xi _{t}}\omega )(f_{t}(x))={\frac {d}{ds}}g_{s}^{*}\omega (f_{t}(x))|_{s=0}={\frac {d}{ds}}f_{t+s}^{*}\omega (x)|_{s=0}={\frac {d}{dt}}f_{t}^{*}\omega (x)}$.

Eso es,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f_{t}^{*}\omega =f_{t}^{*}L_{\xi _{t}}\omega .}$

Supongamos . Luego, integrando ambos lados de lo anterior y luego usando la fórmula de Cartan y la diferenciación bajo el signo integral , obtenemos: para , ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle 0<t_{0}<t_{1}<1}$

${\displaystyle f_{t_{1}}^{*}\omega -f_{t_{0}}^{*}\omega =d\int _{t_{0}}^{t_{1}}f_{t}^{*}i(\xi _{t})\omega \,dt+\int _{t_{0}}^{t_{1}}f_{t}^{*}i(\xi _{t})d\omega \,dt}$

donde la integración significa la integración de cada coeficiente en forma diferencial. Si , entonces tenemos: ${\displaystyle t_{0},t_{1}\to 0,1}$

${\displaystyle f_{1}^{*}\omega -f_{0}^{*}\omega =dJ\omega +Jd\omega }$

con la notación ${\displaystyle J\omega =\int _{0}^{1}f_{t}^{*}i(\xi _{t})\omega \,dt.}$

Ahora, supongamos que es una bola abierta con centro ; entonces podemos tomar . Entonces la fórmula anterior se convierte en: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f_{t}(x)=t(x-x_{0})+x_{0}}$

${\displaystyle \omega =dJ\omega +Jd\omega }$,

lo que demuestra el lema de Poincaré cuando está cerrado. ${\displaystyle \omega }$

Prueba en el caso bidimensional

En dos dimensiones, el lema de Poincaré se puede demostrar directamente para 1-formas y 2-formas cerradas de la siguiente manera. ^[13]

Si ω = p dx + q dy es una 1-forma cerrada en ( a , b ) × ( c , d ) , entonces p _y = q _x . Si ω = df entonces p = f _x y q = f _y . Establezca

${\displaystyle g(x,y)=\int _{a}^{x}p(t,y)\,dt,}$

de modo que g _x = p . Entonces h = f − g debe satisfacer h _x = 0 y h _y = q − g _y . El lado derecho aquí es independiente de x ya que su derivada parcial con respecto a x es 0. Por lo tanto

${\displaystyle h(x,y)=\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds-g(a,y)=\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds,}$

y por lo tanto

${\displaystyle f(x,y)=\int _{a}^{x}p(t,y)\,dt+\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds.}$

De manera similar, si Ω = r dx ∧ dy entonces Ω = d ( a dx + b dy ) con b _x − a _y = r . Por lo tanto, una solución está dada por a = 0 y

${\displaystyle b(x,y)=\int _{a}^{x}r(t,y)\,dt.}$

Implicación para la cohomología de De Rham

Por definición, el k -ésimo grupo de cohomología de De Rham de un subconjunto abierto U de una variedad M se define como el espacio vectorial cociente ${\displaystyle \operatorname {H} _{dR}^{k}(U)}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{dR}^{k}(U)=\{{\textrm {closed}}\,k{\text{-forms}}\,{\textrm {on}}\,U\}/\{{\textrm {exact}}\,k{\text{-forms}}\,{\textrm {on}}\,U\}.}$

Por lo tanto, la conclusión del lema de Poincaré es precisamente que para . Ahora bien, las formas diferenciales determinan un complejo de cocadenas llamado complejo de De Rham: ${\displaystyle \operatorname {H} _{dR}^{k}(U)=0}$ ${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle \Omega ^{*}:0\to \Omega ^{0}{\overset {d^{0}}{\to }}\Omega ^{1}{\overset {d^{1}}{\to }}\cdots \to \Omega ^{n}\to 0}$

donde n = la dimensión de M y denota el haz de k -formas diferenciales; es decir, consta de k -formas en U para cada subconjunto abierto U de M. Entonces da lugar al complejo (el complejo aumentado) ${\displaystyle \Omega ^{k}}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(U)}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {R} _{M}{\overset {\epsilon }{\to }}\Omega ^{0}{\overset {d^{0}}{\to }}\Omega ^{1}{\overset {d^{1}}{\to }}\cdots \to \Omega ^{n}\to 0}$

donde es el haz constante con valores en ; es decir, es el haz de funciones reales localmente constantes y la inclusión. ${\displaystyle \mathbb {R} _{M}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \epsilon }$

El núcleo de es , ya que las funciones suaves con derivadas cero son localmente constantes. Además, una secuencia de haces es exacta si y solo si lo es localmente. El lema de Poincaré dice, por tanto, que el resto de la secuencia también es exacta (ya que una variedad es localmente difeomorfa a un subconjunto abierto de y, por tanto, cada punto tiene una bola abierta como vecindad). En el lenguaje del álgebra homológica , significa que el complejo de De Rham determina una resolución del haz constante . Esto implica entonces el teorema de De Rham ; es decir, la cohomología de De Rham de una variedad coincide con la cohomología singular de la misma (en resumen, porque la cohomología singular puede considerarse como una cohomología de haces). ${\displaystyle d^{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{M}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{M}}$

Una vez conocido el teorema de De Rham, la conclusión del lema de Poincaré puede obtenerse de forma puramente topológica. Por ejemplo, implica una versión del lema de Poincaré para conjuntos abiertos contráctiles o simplemente conexos (véase §Caso simplemente conexo).

Caso de conexión sencilla

Especialmente en cálculo , el lema de Poincaré se enuncia para un subconjunto abierto simplemente conexo . En ese caso, el lema dice que cada 1-forma cerrada en U es exacta. Esta versión se puede ver usando topología algebraica de la siguiente manera. El teorema racional de Hurewicz (o más bien el análogo real de este) dice que dado que U es simplemente conexo. Dado que es un cuerpo, la k -ésima cohomología es el espacio vectorial dual de la k -ésima homología . En particular, Por el teorema de de Rham (que se desprende del lema de Poincaré para bolas abiertas), es el mismo que el primer grupo de cohomología de de Rham (véase §Implicación para la cohomología de de Rham). Por lo tanto, cada 1-forma cerrada en U es exacta. ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(U;\mathbb {R} )=0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{k}(U;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(U;\mathbb {R} )=0.}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(U;\mathbb {R} )}$

Lema de Poincaré con soporte compacto

Existe una versión del lema de Poincaré para formas diferenciales con soporte compacto: ^[14]

Lema  —  Si es una forma cerrada con soporte compacto en y si , entonces existe una forma compactamente soportada en tal que . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p<n}$ ${\displaystyle (p-1)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d\psi =\omega }$

El retroceso a lo largo de una función apropiada preserva los soportes compactos; por lo tanto, se lleva a cabo la misma prueba que la habitual. ^[15]

Análogo de geometría compleja

En variedades complejas , el uso de los operadores de Dolbeault y para formas diferenciales complejas , que refinan la derivada exterior por la fórmula , conducen a la noción de formas diferenciales -cerradas y -exactas. El resultado de exactitud local para tales formas cerradas se conoce como el lema de Dolbeault-Grothendieck (o lema de -Poincaré); cf. § Sobre formas diferenciales polinómicas. Es importante destacar que la geometría del dominio en el que una forma diferencial -cerrada es -exacta es más restringida que para el lema de Poincaré, ya que la prueba del lema de Dolbeault-Grothendieck se cumple en un polidisco (un producto de discos en el plano complejo, en el que se puede aplicar la fórmula integral multidimensional de Cauchy ) y existen contraejemplos para el lema incluso en dominios contráctiles. ^{[Nota 1]} El lema de -Poincaré se cumple en mayor generalidad para dominios pseudoconvexos . ^[16] ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Utilizando tanto el lema de Poincaré como el lema de Poincaré, se puede demostrar un lema de Poincaré local refinado, que es válido en dominios en los que ambos lemas mencionados son aplicables. Este lema establece que las formas diferenciales complejas cerradas son en realidad localmente exactas (en lugar de simplemente o -exactas, como lo implican los lemas anteriores). ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Lema de Poincaré relativo

El lema de Poincaré relativo generaliza el lema de Poincaré desde un punto a una subvariedad (o algún subconjunto localmente cerrado más general ). Dice: sea V una subvariedad de una variedad M y U un entorno tubular de V . Si es una k -forma cerrada en U , k ≥ 1, que se anula en V , entonces existe una ( k -1)-forma en U tal que y se anula en V . ^[17] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle d\eta =\sigma }$ ${\displaystyle \eta }$

El lema de Poincaré relativo se puede demostrar de la misma manera que el lema de Poincaré original. En efecto, como U es un entorno tubular, hay una retracción suave de deformación fuerte desde U hasta V ; es decir, hay una homotopía suave desde la proyección hasta la identidad tal que es la identidad en V . Entonces tenemos la fórmula de homotopía en U : ${\displaystyle h_{t}:U\to U}$ ${\displaystyle U\to V}$ ${\displaystyle h_{t}}$

${\displaystyle h_{1}^{*}-h_{0}^{*}=dJ+Jd}$

donde es el operador de homotopía dado por las derivadas de Lie o la integración a lo largo de las fibras . Ahora, y entonces . Como y , obtenemos ; tomamos . Que se anula en V se deduce de la definición de J y del hecho . (Por lo tanto, la prueba en realidad se cumple si U no es un entorno tubular pero si U se retrae por deformación a V con homotopía relativa a V .) ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle h_{0}(U)\subset V}$ ${\displaystyle h_{0}^{*}\sigma =0}$ ${\displaystyle d\sigma =0}$ ${\displaystyle h_{1}^{*}\sigma =\sigma }$ ${\displaystyle \sigma =dJ\sigma }$ ${\displaystyle \eta =J\sigma }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle h_{t}(V)\subset V}$ ${\displaystyle \square }$

Sobre formas diferenciales polinómicas

En característica cero, el siguiente lema de Poincaré se cumple para formas diferenciales polinomiales . ^[18]

Sea k un cuerpo de característica cero, el anillo de polinomios y el espacio vectorial con base escrito como . Entonces sea la p -ésima potencia exterior de sobre . Entonces la sucesión de espacios vectoriales ${\displaystyle R=k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ ${\displaystyle dx_{1},\dots ,dx_{n}}$ ${\displaystyle \Omega ^{p}=\wedge ^{p}\Omega ^{1}}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle 0\to k\to \Omega ^{0}{\overset {d}{\to }}\Omega ^{1}{\overset {d}{\to }}\cdots \to 0}$

es exacta, donde la diferencial se define de la forma habitual; es decir, la linealidad y ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d(f\,dx_{i_{i}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{p}})=\sum _{j}{\frac {\partial f}{dx_{j}}}dx_{j}\wedge dx_{i_{i}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{p}}.}$

Esta versión del lema se ve mediante un argumento de tipo cálculo. Primero, observe que , claramente. Por lo tanto, solo necesitamos verificar la exactitud en . Sea una forma -. Luego escribimos ${\displaystyle \ker(d:R\to \Omega ^{1})=k}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \omega =\omega _{0}\wedge dx_{1}+\omega _{1}}$

donde los no involucran . Defina la integración en por la linealidad y ${\displaystyle \omega _{i}}$ ${\displaystyle dx_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle \int x_{1}^{r}\,dx_{1}={\frac {x_{1}^{r+1}}{r+1}},}$

que está bien definido por el supuesto de carácter cero. Entonces sea

${\displaystyle \eta =\int \omega _{0}\,dx_{1}}$

donde la integración se aplica a cada coeficiente en . Claramente, el teorema fundamental del cálculo se cumple en nuestra configuración formal y, por lo tanto, obtenemos: ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle d\eta =\omega _{0}\wedge \,dx_{1}+\sigma }$

donde no implica . Por lo tanto, no implica . Reemplazando por , podemos suponer que no implica . Del supuesto , se deduce fácilmente que cada coeficiente en es independiente de ; es decir, es una forma diferencial polinómica en las variables . Por lo tanto, hemos terminado por inducción. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle dx_{1}}$ ${\displaystyle \omega -d\eta }$ ${\displaystyle dx_{1}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega -d\eta }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle dx_{1}}$ ${\displaystyle d\omega =0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x_{2},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle \square }$

Observación: Con la misma prueba, los mismos resultados se mantienen cuando es el anillo de series de potencias formales o el anillo de gérmenes de funciones holomorfas . ^[19] Una prueba adecuadamente modificada también muestra el lema de -Poincaré; es decir, el uso del teorema fundamental del cálculo se reemplaza por la fórmula integral de Cauchy . ^[20] ${\displaystyle R=k[\![x_{1},\dots ,x_{n}]\!]}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Sobre espacios singulares

El lema de Poincaré generalmente falla para espacios singulares. Por ejemplo, si se consideran formas diferenciales algebraicas en una variedad algebraica compleja (en la topología de Zariski), el lema no es válido para esas formas diferenciales. ^[21] Una manera de resolver esto es usar formas formales y la cohomología de De Rham algebraica resultante puede calcular una cohomología singular. ^[22]

Sin embargo, las variantes del lema probablemente todavía se cumplen para algunos espacios singulares (la formulación precisa y la prueba dependen de las definiciones de tales espacios y de las formas diferenciales no suaves en ellos). Por ejemplo, Kontsevich y Soibelman afirman que el lema se cumple para ciertas variantes de diferentes formas (llamadas formas PA) en sus espacios algebraicos por partes . ^[23]

La invariancia de homotopía falla para la cohomología de intersección ; en particular, el lema de Poincaré falla para dicha cohomología.

Nota

1. Para contraejemplos sobre dominios contráctiles que tienen una primera cohomología de Dolbeault que no desaparece, consulte la publicación https://mathoverflow.net/a/59554.

Notas

1. Warner 1983, págs. 155-156
2. Ciliberto, Ciro (2013). "Henri Poincaré y la geometría algebraica". Letra Matemática . 1 (1–2): 23–31. doi : 10.1007/s40329-013-0003-3 . S2CID  122614329.
3. Poincaré, H. (1886). "Sur les résidus des integrales doubles". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences . 102 : 202-204.
4. Lee (2012), Tu (2011) y Bott & Tu (1982).
5. Lee, John M. (2012). Introducción a las variedades suaves (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4419-9982-5.OCLC 808682771  .
6. Tu, Loring W. (2011). Introducción a las variedades (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4419-7400-6.OCLC 682907530  .
7. Bott, Raoul; Tu, Loring W. (1982). Formas diferenciales en topología algebraica. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 82. Nueva York, NY: Springer New York. doi :10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3.
8. Edelen, Dominic GB (2005). Cálculo exterior aplicado (edición revisada). Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 0-486-43871-6.OCLC 56347718  .
9. Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa de Erlangen de Klein. Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.OCLC 34356972  .
10. Conlon 2001, § 8.3.
11. https://www.math.brown.edu/reschwar/M114/notes7.pdf
12. Warner 1983, págs. 69-72
13. Napier y Ramachandran 2011, págs. 443-444
14. Conlon 2001, Corolario 8.3.17.
15. Conlon 2001, Ejercicio 8.3.19.
16. Aeppli, A. (1965). "Sobre la estructura de cohomología de las variedades de Stein". Actas de la Conferencia sobre análisis complejo . págs. 58-70. doi :10.1007/978-3-642-48016-4_7. ISBN . 978-3-642-48018-8.
17. Domitrz, W.; Janeczko, S.; Zhitomirskii, M. (2004). "Lema de Poincaré relativo, contractibilidad, cuasi-homogeneidad y campos vectoriales tangentes a una variedad singular § 2. Lema de Poincaré relativo y contractibilidad". Illinois Journal of Mathematics . 48 (3). doi : 10.1215/IJM/1258131054 . S2CID  51762845.
18. Hartshorne 1975, Cap. II., Proposición 7.1.
19. Hartshorne 1975, Cap. II., Observación después de la Proposición 7.1.
20. Teorema 2.3.3. en Hörmander, Lars (1990) [1966], Introducción al análisis complejo en varias variables (3.ª ed.), North Holland, ISBN 978-1-493-30273-4
21. Illusie 2012, § 1.
22. Hartshorne 1975, Cap. IV., Teorema 1.1.
23. Kontsevich, Maxim; Soibelman, Yan (2000). "Deformaciones de álgebras sobre operadas y la conjetura de Deligne". Conferencia Moshé Flato 1999: Cuantización, deformaciones y simetrías I. pp. 255–307. arXiv : math/0001151 . ISBN. 9780792365402.

Referencias

• Hartshorne, Robin (1975). "Sobre la cohomología de rham de variedades algebraicas". Publicaciones Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 45 (1): 6–99. doi :10.1007/BF02684298. ISSN  1618-1913.
• Illusie, Luc (2012), En torno al lema de Poincaré, según Beilinson (PDF) (notas de la charla)
• Napier, Terrence; Ramachandran, Mohan (2011), Introducción a las superficies de Riemann , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4693-6
• Conlon, Lawrence (2001). Variedades diferenciables (2.ª ed.). Springer. doi :10.1007/978-0-8176-4767-4. ISBN 978-0-8176-4766-7.
• Warner, Frank W. (1983), Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 94, Springer, ISBN 0-387-90894-3

Lectura adicional

• "Lema de Poincaré", ncatlab.org
• https://mathoverflow.net/questions/287385/p-adic-poincaré-lemma