En matemáticas , un grupo de chorros es una generalización del grupo lineal general que se aplica a los polinomios de Taylor en lugar de a los vectores en un punto. Un grupo de chorros es un grupo de chorros que describe cómo se transforma un polinomio de Taylor bajo cambios de sistemas de coordenadas (o, equivalentemente, difeomorfismos ).
El grupo de chorros de orden k G n k consiste en chorros de difeomorfismos suaves φ: R n → R n tales que φ(0)=0. [1]
La siguiente es una definición más precisa del grupo jet.
Sea k ≥ 2. La diferencial de una función f: R k → R puede interpretarse como una sección del fibrado cotangente de R K dado por df: R k → T* R k . De manera similar, las derivadas de orden hasta m son secciones del fibrado jet J m ( R k ) = R k × W , donde
Aquí R * es el espacio vectorial dual de R , y S i denota la i -ésima potencia simétrica . Una función suave f: R k → R tiene una prolongación j m f : R k → J m ( R k ) definida en cada punto p ∈ R k al colocar los i -ésimos parciales de f en p en el componente S i (( R *) k ) de W .
Consideremos un punto . Existe un polinomio único f p en k variables y de orden m tal que p está en la imagen de j m f p . Es decir, . Los datos diferenciales x′ pueden transferirse para que se encuentren sobre otro punto y ∈ R n como j m f p (y) , los parciales de f p sobre y .
Proporcionar a J m ( R n ) una estructura de grupo tomando
Con esta estructura de grupo, J m ( R n ) es un grupo de Carnot de clase m + 1.
Debido a las propiedades de los jets bajo la composición de funciones , G n k es un grupo de Lie . El grupo de jets es un producto semidirecto del grupo lineal general y un grupo de Lie nilpotente conexo y simplemente conexo . De hecho, también es un grupo algebraico , ya que la composición involucra solo operaciones polinómicas.
