función sobreyectiva

En matemáticas , una función sobreyectiva (también conocida como sobreyección , o sobre función / ˈ ɒ n . t uː / ) es una función $f$ tal que, para cada elemento $y$ del codominio de la función , existe al menos un elemento $x$ en el codominio de la función. dominio tal que $f (x) = y$ . En otras palabras, para una función $f : X \to Y$ , el codominio $Y$ es la imagen del dominio $X$ de la función . ^[1]^[2] No es necesario que $x$ sea único ; la función $f$ puede asignar uno o más elementos de $X$ al mismo elemento de $Y.$

El término sobreyectivo y los términos relacionados inyectivo y biyectivo fueron introducidos por Nicolas Bourbaki , ^[3]^{[4] un grupo de}matemáticos principalmente franceses del siglo XX que, bajo este seudónimo, escribieron una serie de libros que presentaban una exposición de las matemáticas avanzadas modernas. a partir de 1935. La palabra francesa sur significa encima o por encima , y se relaciona con el hecho de que la imagen del dominio de una función sobreyectiva cubre completamente el codominio de la función.

Cualquier función induce una sobreyección restringiendo su codominio a la imagen de su dominio. Toda función sobreyectiva tiene una inversa derecha suponiendo el axioma de elección , y toda función con una inversa derecha es necesariamente una sobreyección. La composición de funciones sobreyectivas es siempre sobreyectiva. Cualquier función se puede descomponer en una sobreyección y una inyección.

Definición

Una función sobreyectiva es una función cuya imagen es igual a su codominio . De manera equivalente, una función con dominio y codominio es sobreyectiva si para cada uno existe al menos uno con . ^[1] Las sobrejecciones a veces se indican con una flecha de dos puntas hacia la derecha ( U+ 21A0 ↠ FLECHA DE DOS PUNTAS HACIA LA DERECHA ), ^[5] como en . $f$ $X$ $Y$ $y$ $Y$ $x$ $X$ $f(x)=y$ $f\colon X\twoheadrightarrow Y$

Simbólicamente,

Si , entonces se dice que es sobreyectivo si

f\colon X\rightarrow Y

f

\forall y\in Y,\,\exists x\in X,\;\;f(x)=y

. ^[2]^[6]

Ejemplos

**Una función no** sobreyectiva del dominio X al codominio Y. El óvalo amarillo más pequeño dentro de Y es la imagen (también llamada rango ) de f . Esta función no es sobreyectiva, porque la imagen no ocupa todo el codominio. En otras palabras, Y se colorea en un proceso de dos pasos: primero, para cada x en X , el punto f ( x ) se colorea de amarillo; En segundo lugar, el resto de los puntos de Y , que no son amarillos, están coloreados en azul. La función f sería sobreyectiva sólo si no hubiera puntos azules.

Para cualquier conjunto X , la función de identidad id _X en X es sobreyectiva.
La función $f : Z \to {0, 1}$ definida por f ( n ) = n mod 2 (es decir, los enteros pares se asignan a 0 y los enteros impares a 1) es sobreyectiva.
La función $f : R \to R$ definida por f ( x ) = 2 x + 1 es sobreyectiva (e incluso biyectiva ), porque para cada número real y , tenemos una x tal que f ( x ) = y : una x tan apropiada es ( y − 1)/2.
La función $f : R \to R$ definida por f ( x ) = x ³ − 3 x es sobreyectiva, porque la preimagen de cualquier número real y es el conjunto solución de la ecuación polinómica cúbica x ³ − 3 x − y = 0 , y todo polinomio cúbico con coeficientes reales tiene al menos una raíz real. Sin embargo, esta función no es inyectiva (y por tanto no biyectiva ), ya que, por ejemplo, la preimagen de y = 2 es { x = −1, x = 2}. (De hecho, la imagen previa de esta función para cada y , −2 ≤ y ≤ 2 tiene más de un elemento).
La función $g : R \to R$ definida por g ( x ) = x ² no es sobreyectiva, ya que no existe un número real x tal que x ² = −1 . Sin embargo, la función $g : R \to R \geq0$ definida por $g (x) = x 2$ (con el codominio restringido) es sobreyectiva, ya que por cada y en el codominio real no negativo Y , hay al menos una x en el dominio real X tal que x ² = y .
La función logaritmo natural $ln : (0, +\infty) \to R$ es sobreyectiva e incluso biyectiva (mapeo del conjunto de números reales positivos al conjunto de todos los números reales). Su inversa, la función exponencial , si se define con el conjunto de los números reales como dominio y codominio, no es sobreyectiva (ya que su rango es el conjunto de los números reales positivos).
La matriz exponencial no es sobreyectiva cuando se la ve como un mapa del espacio de todas las matrices n × n hacia sí misma. Sin embargo, generalmente se define como un mapa desde el espacio de todas las matrices n × n hasta el grupo lineal general de grado n (es decir, el grupo de todas las matrices invertibles n × n ). Según esta definición, la matriz exponencial es sobreyectiva para matrices complejas, aunque todavía no es sobreyectiva para matrices reales.
La proyección de un producto cartesiano $A \times B$ a uno de sus factores es sobreyectiva, a menos que el otro factor esté vacío.
En un videojuego 3D, los vectores se proyectan sobre una pantalla plana 2D mediante una función sobreyectiva.

Propiedades

Una función es biyectiva si y sólo si es a la vez sobreyectiva e inyectiva .

Si (como se hace a menudo) una función se identifica con su gráfica , entonces la sobreyectividad no es una propiedad de la función en sí, sino más bien una propiedad del mapeo . ^[7] Es decir, la función junto con su codominio. A diferencia de la inyectividad, la sobreyectividad no se puede leer únicamente en la gráfica de la función.

Sobreyecciones como funciones invertibles por la derecha.

Se dice que la función g : Y → X es una inversa derecha de la función f : X → Y si f ( g ( y )) = y para cada y en Y ( g puede deshacerse con f ). En otras palabras, g es una inversa derecha de f si la composición f o g de g y f en ese orden es la función identidad en el dominio Y de g . La función g no necesita ser una inversa completa de f porque la composición en el otro orden, g de f , puede no ser la función identidad en el dominio X de f . En otras palabras, f puede deshacer o " revertir " g , pero no necesariamente puede ser revertido por él.

Toda función con inversa derecha es necesariamente una sobreyección. La proposición de que toda función sobreyectiva tiene una inversa derecha equivale al axioma de elección .

Si f : X → Y es sobreyectiva y B es un subconjunto de Y , entonces f ( f ⁻¹ ( B )) = B . Por lo tanto, B puede recuperarse de su preimagen f ⁻¹ ( B ) .

Por ejemplo, en la primera ilustración de la galería, hay alguna función g tal que g ( C ) = 4. También hay alguna función f tal que f (4) = C . No importa que g no sea único (también funcionaría si g ( C ) es igual a 3); sólo importa que f "invierta" g .

Sobreyecciones como epimorfismos

Una función f : X → Y es sobreyectiva si y solo si es canceladora por la derecha : ^[8] dada cualquier función g , h : Y → Z , siempre que g o f = h o f , entonces g = h . Esta propiedad se formula en términos de funciones y su composición y puede generalizarse a la noción más general de morfismos de una categoría y su composición. Los morfismos canceladores por derecha se denominan epimorfismos . En concreto, las funciones sobreyectivas son precisamente los epimorfismos en la categoría de conjuntos . El prefijo epi se deriva de la preposición griega ἐπί que significa sobre , encima , sobre .

Cualquier morfismo con un inverso derecho es un epimorfismo, pero lo contrario no es cierto en general. Una g inversa derecha de un morfismo f se llama sección de f . Un morfismo con inversa derecha se llama epimorfismo dividido .

Surjecciones como relaciones binarias

Cualquier función con dominio X y codominio Y puede verse como una relación binaria total izquierda y única derecha entre X e Y identificándola con su gráfico de función . Una función sobreyectiva con dominio X y codominio Y es entonces una relación binaria entre X e Y que es única por la derecha y total por la izquierda y total por la derecha .

Cardinalidad del dominio de una sobreyección

La cardinalidad del dominio de una función sobreyectiva es mayor o igual a la cardinalidad de su codominio: Si f : X → Y es una función sobreyectiva, entonces X tiene al menos tantos elementos como Y , en el sentido de números cardinales . (La prueba apela al axioma de elección para demostrar que existe una función g : Y → X que satisface f ( g ( y )) = y para todo y en Y. Se ve fácilmente que g es inyectivo, por lo que la definición formal de | Y | ≤ | X | se cumple.)

Específicamente, si tanto X como Y son finitos con el mismo número de elementos, entonces f : X → Y es sobreyectiva si y solo si f es inyectiva .

Dados dos conjuntos X e Y , la notación X ≤ ^* Y se usa para decir que X está vacío o que hay una sobreyección de Y sobre X. Utilizando el axioma de elección se puede demostrar que X ≤ ^* Y e Y ≤ ^* X juntos implican que | Y | = | X |, una variante del teorema de Schröder-Bernstein .

Composición y descomposición

La composición de funciones sobreyectivas es siempre sobreyectiva: si f y g son ambas sobreyectivas, y el codominio de g es igual al dominio de f , entonces f o g es sobreyectiva. A la inversa, si f o g es sobreyectiva, entonces f es sobreyectiva (pero g , la función aplicada primero, no tiene por qué serlo). Estas propiedades se generalizan desde sobrejecciones en la categoría de conjuntos hasta cualquier epimorfismo en cualquier categoría .

Cualquier función se puede descomponer en una sobreyección y una inyección : Para cualquier función h : X → Z existe una sobreyección f : X → Y y una inyección g : Y → Z tal que h = g de f . Para ver esto, defina Y como el conjunto de preimágenes h ⁻¹ ( z ) donde z está en h ( X ) . Estas preimágenes son disjuntas y tienen partición X . Entonces f lleva cada x al elemento de Y que lo contiene, y g lleva cada elemento de Y al punto en Z al que h envía sus puntos. Entonces f es sobreyectiva ya que es un mapa de proyección, y g es inyectiva por definición.

Sobreyección inducida y biyección inducida.

Cualquier función induce una sobreyección restringiendo su codominio a su rango. Cualquier función sobreyectiva induce una biyección definida en un cociente de su dominio al colapsar todos los argumentos asignados a una imagen fija determinada. Más precisamente, cada sobreyección f : A → B puede factorizarse como una proyección seguida de una biyección de la siguiente manera. Sean A /~ las clases de equivalencia de A bajo la siguiente relación de equivalencia : x ~ y si y sólo si f ( x ) = f ( y ). De manera equivalente, A /~ es el conjunto de todas las preimágenes bajo f . Sea P (~) : A → A /~ el mapa de proyección que envía cada x en A a su clase de equivalencia [ x ] _~ , y sea f _P : A /~ → B la función bien definida dada por f _P ([ x ] _~ ) = f ( x ). Entonces f = f _P o P (~).

El conjunto de sobrejecciones.

Dados $A$ y $B$ fijos , se puede formar el conjunto de sobrejecciones $A ↠ B.$ La cardinalidad de este conjunto es uno de los doce aspectos de la Doce Vías de Rota , y viene dada por , donde denota un número de Stirling del segundo tipo . ${\textstyle |B|!{\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}}}$ ${\textstyle {\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}}}$

Galería

Una función sobreyectiva no inyectiva (sobreyección, no biyección)
Una función sobreyectiva inyectiva (biyección)
Una función inyectiva no sobreyectiva (inyección, no biyección)
Una función no inyectiva y no sobreyectiva (ni una biyección)

Composición sobreyectiva: la primera función no tiene por qué ser sobreyectiva.
Funciones no sobreyectivas en el plano cartesiano. Aunque algunas partes de la función son sobreyectivas, donde los elementos y en Y tienen un valor x en X tal que y = f ( x ), algunas partes no lo son. Izquierda: Hay y ₀ en Y , pero no hay x ₀ en X tal que y ₀ = f ( x ₀ ). Derecha: Hay y ₁ , y ₂ e y ₃ en Y , pero no hay x ₁ , x ₂ y x ₃ en X tales que y ₁ = f ( x ₁ ), y ₂ = f ( x ₂ ), y y ₃ = f ( x ₃ ).
Interpretación de funciones sobreyectivas en el plano cartesiano, definida por el mapeo f : X → Y , donde y = f ( x ), X = dominio de la función, Y = rango de la función. Cada elemento del rango se asigna a un elemento del dominio, mediante la regla f . Puede haber varios elementos de dominio que se asignan al mismo elemento de rango. Es decir, cada y en Y se asigna a partir de un elemento x en X , más de un x se puede asignar al mismo y . Izquierda: solo se muestra un dominio que hace que f sea sobreyectivo. Derecha: se muestran dos posibles dominios X ₁ y X _{2 .}

Ver también

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la Suryectividad .

Busque sobreyectiva , sobreyección o sobre en Wikcionario, el diccionario gratuito.

Referencias

^ ab "Inyectiva, Suryectiva y Biyectiva". www.mathsisfun.com . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
^ ab "Biyección, inyección y sobreyección | Wiki brillante de matemáticas y ciencias". brillante.org . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
^ Miller, Jeff, "Inyección, sobreyección y biyección", primeros usos de algunas de las palabras de matemáticas, trípode.
^ Mashaal, Maurice (2006). Bourbaki. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 106.ISBN _ 978-0-8218-3967-6.
^ "Flechas - Unicode" (PDF) . Consultado el 11 de mayo de 2013 .
^ Farlow, SJ "Inyecciones, sobreyecciones y biyecciones" (PDF) . math.umaine.edu . Consultado el 6 de diciembre de 2019 .
^ TM Apóstol (1981). Análisis matemático . Addison-Wesley. pag. 35.
^ Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, el análisis categorial de la lógica (edición revisada). Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-45026-1. Consultado el 25 de noviembre de 2009 .

Otras lecturas

Bourbaki, N. (2004) [1968]. Teoría de Conjuntos. Elementos de Matemáticas . vol. 1. Saltador. doi :10.1007/978-3-642-59309-3. ISBN 978-3-540-22525-6. LCCN 2004110815.