Paquete de chorro

En topología diferencial , el fibrado en chorro es una construcción que crea un nuevo fibrado liso a partir de un fibrado liso dado. Permite escribir ecuaciones diferenciales en secciones de un fibrado en forma invariante. Los chorros también pueden considerarse versiones libres de coordenadas de las expansiones de Taylor .

Históricamente, los fibrados jet se atribuyen a Charles Ehresmann , y fueron un avance en el método ( prolongación ) de Élie Cartan , de tratar geométricamente con derivadas superiores , imponiendo condiciones de forma diferencial en variables formales recién introducidas. Los fibrados jet a veces se denominan sprays , aunque los sprays suelen referirse más específicamente al campo vectorial asociado inducido en el fibrado correspondiente (por ejemplo, el spray geodésico en las variedades de Finsler ).

Desde principios de la década de 1980, los haces jet han aparecido como una forma concisa de describir fenómenos asociados con las derivadas de mapas, particularmente aquellos asociados con el cálculo de variaciones . ^[1] En consecuencia, ahora se reconoce al haz jet como el dominio correcto para una teoría de campo covariante geométrica y se realiza mucho trabajo en formulaciones relativistas generales de campos utilizando este enfoque.

Chorros

Supóngase que M es una variedad m -dimensional y que ( E , π, M ) es un fibrado . Para p ∈ M , sea Γ(p) el conjunto de todas las secciones locales cuyo dominio contiene a p . Sea ⁠ ⁠ un multiíndice (una m -tupla de enteros no negativos, no necesariamente en orden ascendente), entonces definamos: ${\displaystyle I=(I(1),I(2),...,I(m))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|I|&:=\sum _{i=1}^{m}I(i)\\{\frac {\partial ^{|I|}}{\partial x^{I}}}&:=\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)^{I(i)}.\end{aligned}}}$

Defina las secciones locales σ, η ∈ Γ(p) para que tengan el mismo chorro r en p si

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\eta ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p},\quad 0\leq |I|\leq r.}$

La relación de que dos mapas tienen el mismo chorro r es una relación de equivalencia . Un chorro r es una clase de equivalencia bajo esta relación, y el chorro r con σ representativo se denota . El entero r también se denomina orden del chorro, p es su fuente y σ( p ) es su destino . ${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma }$

Colectores de chorro

La variedad de chorros r -ésima de π es el conjunto

${\displaystyle J^{r}(\pi )=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma \in \Gamma (p)\right\}.}$

Podemos definir las proyecciones π _r y π _{r ,0} llamadas proyecciones de origen y destino respectivamente, por

${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r}:J^{r}(\pi )\to M\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto p\end{cases}},\qquad {\begin{cases}\pi _{r,0}:J^{r}(\pi )\to E\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto \sigma (p)\end{cases}}}$

Si 1 ≤ k ≤ r , entonces la proyección del k -jet es la función π _r,k definida por

${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r,k}:J^{r}(\pi )\to J^{k}(\pi )\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto j_{p}^{k}\sigma \end{cases}}}$

De esta definición se desprende claramente que π _r = π o π _{r ,0} y que si 0 ≤ m ≤ k , entonces π _r,m = π _k,m o π _r,k . Es convencional considerar π _r,r como la función identidad en J  ^r ( π ) e identificar J  ⁰ ( π ) con E .

Las funciones π _r,k , π _{r ,0} y π _r son inmersiones sobreyectivas suaves .

Un sistema de coordenadas en E generará un sistema de coordenadas en J  ^r ( π ). Sea ( U , u ) un gráfico de coordenadas adaptado en E , donde u = ( x ⁱ , u ^α ). El gráfico de coordenadas inducido ( U ^r , u ^r ) en J  ^r ( π ) se define por

${\displaystyle {\begin{aligned}U^{r}&=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma (p)\in U\right\}\\u^{r}&=\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right)\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{i}\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=x^{i}(p)\\u^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=u^{\alpha }(\sigma (p))\end{aligned}}}$

y las funciones conocidas como coordenadas derivadas : ${\displaystyle n\left({\binom {m+r}{r}}-1\right)}$

${\displaystyle {\begin{cases}u_{I}^{\alpha }:U^{k}\to \mathbf {R} \\u_{I}^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}\end{cases}}}$

Dado un atlas de cartas adaptadas ( U , u ) en E , la colección correspondiente de cartas ( U  ^r , u  ^r ) es un atlas C ^∞ de dimensión finita en J  ^r ( π ).

Paquetes de chorro

Dado que el atlas de cada uno define una variedad, las tripletas y todas definen variedades fibradas. En particular, si es un fibrado fibroso, la tripleta define el r -ésimo fibrado de chorro de π . ${\displaystyle J^{r}(\pi )}$ ${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r,k},J^{k}(\pi ))}$ ${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r,0},E)}$ ${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)}$ ${\displaystyle (E,\pi ,M)}$ ${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)}$

Si W ⊂ M es una subvariedad abierta, entonces

${\displaystyle J^{r}\left(\pi |_{\pi ^{-1}(W)}\right)\cong \pi _{r}^{-1}(W).\,}$

Si p ∈ M , entonces la fibra se denota . ${\displaystyle \pi _{r}^{-1}(p)\,}$ ${\displaystyle J_{p}^{r}(\pi )}$

Sea σ una sección local de π con dominio W ⊂ M . La prolongación del jet r -ésimo de σ es la función definida por ${\displaystyle j^{r}\sigma :W\rightarrow J^{r}(\pi )}$

${\displaystyle (j^{r}\sigma )(p)=j_{p}^{r}\sigma .\,}$

Tenga en cuenta que , por lo que en realidad es una sección. En coordenadas locales, se da por ${\displaystyle \pi _{r}\circ j^{r}\sigma =\mathbb {id} _{W}}$ ${\displaystyle j^{r}\sigma }$ ${\displaystyle j^{r}\sigma }$

${\displaystyle \left(\sigma ^{\alpha },{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right)\qquad 1\leq |I|\leq r.\,}$

Nos identificamos con . ${\displaystyle j^{0}\sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

Perspectiva algebro-geométrica

Se presenta una construcción motivada independientemente del conjunto de secciones . ${\displaystyle \Gamma J^{k}\left(\pi _{TM}\right)}$

Considérese una función diagonal , donde la variedad lisa es un espacio anillado localmente por para cada abierto . Sea el haz ideal de , equivalentemente sea el haz de gérmenes lisos que se desvanecen en para todo . El retroceso del haz cociente de a por es el haz de k-jets. ^[2] ${\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \Delta _{n}(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \Delta _{n}(M)}$ ${\displaystyle 0<n\leq k}$ ${\displaystyle {\Delta _{n}}^{*}\left({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{n+1}\right)}$ ${\textstyle \prod _{i=1}^{n+1}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta _{n}}$

El límite directo de la secuencia de inyecciones dada por las inclusiones canónicas de haces, da lugar al haz de chorro infinito . Obsérvese que por la construcción del límite directo se trata de un anillo filtrado. ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{n+1}\hookrightarrow {\mathcal {I}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{\infty }(TM)}$

Ejemplo

Si π es el fibrado trivial ( M × R , pr ₁ , M ), entonces existe un difeomorfismo canónico entre el primer fibrado jet y T*M × R . Para construir este difeomorfismo, para cada σ en escriba . ${\displaystyle J^{1}(\pi )}$ ${\displaystyle \Gamma _{M}(\pi )}$ ${\displaystyle {\bar {\sigma }}=pr_{2}\circ \sigma \in C^{\infty }(M)\,}$

Entonces, siempre que p ∈ M

${\displaystyle j_{p}^{1}\sigma =\left\{\psi :\psi \in \Gamma _{p}(\pi );{\bar {\psi }}(p)={\bar {\sigma }}(p);d{\bar {\psi }}_{p}=d{\bar {\sigma }}_{p}\right\}.\,}$

En consecuencia, el mapeo

${\displaystyle {\begin{cases}J^{1}(\pi )\to T^{*}M\times \mathbf {R} \\j_{p}^{1}\sigma \mapsto \left(d{\bar {\sigma }}_{p},{\bar {\sigma }}(p)\right)\end{cases}}}$

está bien definida y es claramente inyectiva . Escribiéndola en coordenadas se ve que es un difeomorfismo, porque si (x ⁱ , u) son coordenadas en M × R , donde u = id _R es la coordenada identidad, entonces las coordenadas derivadas u _i en J ¹ (π) corresponden a las coordenadas ∂ _i en T*M .

Del mismo modo, si π es el fibrado trivial ( R × M , pr ₁ , R ), entonces existe un difeomorfismo canónico entre y R × TM . ${\displaystyle J^{1}(\pi )}$

Estructura de contacto

El espacio J ^r (π) lleva una distribución natural , es decir, un subfibrado del fibrado tangente TJ ^r (π)), llamada distribución de Cartan . La distribución de Cartan está abarcada por todos los planos tangentes a los grafos de secciones holonómicas; es decir, secciones de la forma j ^r φ para φ una sección de π.

El aniquilador de la distribución de Cartan es un espacio de formas uno diferenciales llamadas formas de contacto , en J ^r (π). El espacio de formas uno diferenciales en J ^r (π) se denota por y el espacio de formas de contacto se denota por . Una forma uno es una forma de contacto siempre que su pullback a lo largo de cada prolongación sea cero. En otras palabras, es una forma de contacto si y solo si ${\displaystyle \Lambda ^{1}J^{r}(\pi )}$ ${\displaystyle \Lambda _{C}^{r}\pi }$ ${\displaystyle \theta \in \Lambda ^{1}J^{r}\pi }$

${\displaystyle \left(j^{r+1}\sigma \right)^{*}\theta =0}$

para todas las secciones locales σ de π sobre M .

La distribución de Cartan es la principal estructura geométrica en espacios de jets y juega un papel importante en la teoría geométrica de ecuaciones diferenciales parciales . Las distribuciones de Cartan son completamente no integrables. En particular, no son involutivas . La dimensión de la distribución de Cartan crece con el orden del espacio de jets. Sin embargo, en el espacio de jets infinitos J ^∞ la distribución de Cartan se vuelve involutiva y de dimensión finita: su dimensión coincide con la dimensión de la variedad base M.

Ejemplo

Considérese el caso (E, π, M) , donde E ≃ R ² y M ≃ R . Entonces, (J ¹ (π), π, M) define el primer haz de chorros, y puede estar coordinado por (x, u, u ₁ ) , donde

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=x(p)=x\\u\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}=\sigma '(x)\end{aligned}}}$

para todo p ∈ M y σ en Γ _p (π). Una 1-forma general en J ¹ (π) toma la forma

${\displaystyle \theta =a(x,u,u_{1})dx+b(x,u,u_{1})du+c(x,u,u_{1})du_{1}\,}$

Una sección σ en Γ _p (π) tiene una primera prolongación

${\displaystyle j^{1}\sigma =(u,u_{1})=\left(\sigma (p),\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}\right).}$

Por lo tanto, (j ¹ σ)*θ se puede calcular como

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{1}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma (x))+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma '(x))\\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)dx+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)dx\\&=[a(x,\sigma (x),\sigma '(x))+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)]dx\end{aligned}}}$

Esto se anulará para todas las secciones σ si y solo si c = 0 y a = − bσ′(x) . Por lo tanto, θ = b(x, u, u ₁ )θ ₀ debe ser necesariamente un múltiplo de la forma de contacto básica θ ₀ = du − u ₁ dx . Procediendo al segundo espacio de chorro J ² (π) con coordenada adicional u ₂ , tal que

${\displaystyle u_{2}(j_{p}^{2}\sigma )=\left.{\frac {\partial ^{2}\sigma }{\partial x^{2}}}\right|_{p}=\sigma ''(x)\,}$

Una 1-forma general tiene la construcción

${\displaystyle \theta =a(x,u,u_{1},u_{2})dx+b(x,u,u_{1},u_{2})du+c(x,u,u_{1},u_{2})du_{1}+e(x,u,u_{1},u_{2})du_{2}\,}$

Este es un formulario de contacto si y solo si

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(j_{p}^{2}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{2}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma (x))+{}\\&\qquad \qquad c(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma '(x))+e(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma ''(x))\\&=adx+b\sigma '(x)dx+c\sigma ''(x)dx+e\sigma '''(x)dx\\&=[a+b\sigma '(x)+c\sigma ''(x)+e\sigma '''(x)]dx\\&=0\end{aligned}}}$

lo que implica que e = 0 y a = − bσ′(x) − cσ′′(x) . Por lo tanto, θ es una forma de contacto si y solo si

${\displaystyle \theta =b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{0}+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{1},}$

donde θ ₁ = du ₁ − u ₂ dx es la siguiente forma de contacto básica (Note que aquí estamos identificando la forma θ ₀ con su retroceso a J ² (π) ). ${\displaystyle \left(\pi _{2,1}\right)^{*}\theta _{0}}$

En general, siempre que x, u ∈ R , una forma de contacto en J ^r+1 (π) se puede escribir como una combinación lineal de las formas de contacto básicas

${\displaystyle \theta _{k}=du_{k}-u_{k+1}dx\qquad k=0,\ldots ,r-1\,}$

dónde

${\displaystyle u_{k}\left(j^{k}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{k}\sigma }{\partial x^{k}}}\right|_{p}.}$

Argumentos similares conducen a una caracterización completa de todas las formas de contacto.

En coordenadas locales, cada forma de contacto en J ^r+1 (π) se puede escribir como una combinación lineal

${\displaystyle \theta =\sum _{|I|=0}^{r}P_{\alpha }^{I}\theta _{I}^{\alpha }}$

con coeficientes suaves de las formas de contacto básicas ${\displaystyle P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })}$

${\displaystyle \theta _{I}^{\alpha }=du_{I}^{\alpha }-u_{I,i}^{\alpha }dx^{i}\,}$

|I| se conoce como el orden de la forma de contacto . Nótese que las formas de contacto en J ^r+1 (π) tienen órdenes como máximo r . Las formas de contacto proporcionan una caracterización de aquellas secciones locales de π _r+1 que son prolongaciones de secciones de π. ${\displaystyle \theta _{i}^{\alpha }}$

Sea ψ ∈ Γ _W ( π _r+1 ), entonces ψ = j ^r+1 σ donde σ ∈ Γ _W (π) si y solo si ${\displaystyle \psi ^{*}(\theta |_{W})=0,\forall \theta \in \Lambda _{C}^{1}\pi _{r+1,r}.\,}$

Campos vectoriales

Un campo vectorial general en el espacio total E , coordinado por , es ${\displaystyle (x,u)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,}$

${\displaystyle V\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.\,}$

Un campo vectorial se llama horizontal , lo que significa que todos los coeficientes verticales se desvanecen, si = 0. ${\displaystyle \phi ^{\alpha }}$

Un campo vectorial se llama vertical , lo que significa que todos los coeficientes horizontales se desvanecen, si ρ ⁱ = 0.

Para (x, u) fijo , identificamos

${\displaystyle V_{(x,u)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,}$

que tiene coordenadas (x, u, ρ ⁱ , φ ^α ) , con un elemento en la fibra T _xu E de TE sobre (x, u) en E , llamado vector tangente en TE . Una sección

${\displaystyle {\begin{cases}\psi :E\to TE\\(x,u)\mapsto \psi (x,u)=V\end{cases}}}$

se llama campo vectorial en E con

${\displaystyle V=\rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}}$

y ψ en Γ(TE) .

El haz de chorros J ^r (π) está coordinado por . Para (x, u, w) fijos , identifique ${\displaystyle (x,u,w)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha },w_{i}^{\alpha }\right)\,}$

${\displaystyle V_{(x,u,w)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} V^{i}(x,u,w){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+V^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+V_{i}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i}^{\alpha }}}+V_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }}}+\cdots +V_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}}}$

que tiene coordenadas

${\displaystyle \left(x,u,w,v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }\right),}$

con un elemento en la fibra de TJ ^r (π) sobre (x, u, w) ∈ J ^r (π) , llamado vector tangente en TJ ^r (π) . Aquí, ${\displaystyle T_{xuw}(J^{r}\pi )}$

${\displaystyle v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\ldots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}$

son funciones de valor real en J ^r (π) . Una sección

${\displaystyle {\begin{cases}\Psi :J^{r}(\pi )\to TJ^{r}(\pi )\\(x,u,w)\mapsto \Psi (u,w)=V\end{cases}}}$

es un campo vectorial en J ^r (π) , y decimos ${\displaystyle \Psi \in \Gamma (T\left(J^{r}\pi \right)).}$

Ecuaciones diferenciales parciales

Sea (E, π, M) un haz de fibras. Una ecuación diferencial parcial de orden r en π es una subvariedad cerrada embebida S de la variedad de chorros J ^r (π) . Una solución es una sección local σ ∈ Γ _W (π) que satisface , para todo p en M . ${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma \in S}$

Consideremos un ejemplo de una ecuación diferencial parcial de primer orden.

Ejemplo

Sea π el fibrado trivial ( R ² × R , pr ₁ , R ² ) con coordenadas globales ( x ¹ , x ² , u ¹ ). Entonces la función F  : J ¹ (π) → R definida por

${\displaystyle F=u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}}$

da lugar a la ecuación diferencial

${\displaystyle S=\left\{j_{p}^{1}\sigma \in J^{1}\pi \ :\ \left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)=0\right\}}$

que se puede escribir

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial x^{1}}}{\frac {\partial \sigma }{\partial x^{2}}}-2x^{2}\sigma =0.}$

El particular

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma :\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {R} \\\sigma (p_{1},p_{2})=\left(p^{1},p^{2},p^{1}(p^{2})^{2}\right)\end{cases}}}$

tiene primera prolongación dada por

${\displaystyle j^{1}\sigma \left(p_{1},p_{2}\right)=\left(p^{1},p^{2},p^{1}\left(p^{2}\right)^{2},\left(p^{2}\right)^{2},2p^{1}p^{2}\right)}$

y es una solución de esta ecuación diferencial, porque

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u_{1}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u_{2}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)-2x^{2}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)\\&=\left(p^{2}\right)^{2}\cdot 2p^{1}p^{2}-2\cdot p^{2}\cdot p^{1}\left(p^{2}\right)^{2}\\&=2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}-2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}\\&=0\end{aligned}}}$

y así para cada p ∈ R ² . ${\displaystyle j_{p}^{1}\sigma \in S}$

Prolongación del chorro

Un difeomorfismo local ψ  : J ^r ( π ) → J ^r ( π ) define una transformación de contacto de orden r si conserva el ideal de contacto, lo que significa que si θ es cualquier forma de contacto en J ^r ( π ), entonces ψ*θ también es una forma de contacto.

El flujo generado por un campo vectorial V ^r en el espacio de chorro J ^r (π) forma un grupo de un parámetro de transformaciones de contacto si y solo si la derivada de Lie de cualquier forma de contacto θ preserva el ideal de contacto. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}(\theta )}$

Comencemos con el caso de primer orden. Consideremos un campo vectorial general V ¹ en J ¹ ( π ), dado por

${\displaystyle V^{1}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\chi _{i}^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}.}$

Aplicamos ahora las formas de contacto básicas y desarrollamos la derivada exterior de las funciones en términos de sus coordenadas para obtener: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}}$ ${\displaystyle \theta _{0}^{\alpha }=du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(\theta _{0}^{\alpha }\right)&={\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i}\right)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du^{\alpha }-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{i}^{\alpha }\right)dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx^{i}\right)\\&=d\left(V^{1}u^{\alpha }\right)-V^{1}u_{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\left(V^{1}x^{i}\right)\\&=d\phi ^{\alpha }-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\rho ^{i}\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial x^{m}}}dx^{m}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u_{m}^{k}}}du_{m}^{k}\right]\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{l}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}\right]\\&=\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}-u_{l}^{\alpha }\left({\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}\right)-\chi _{i}^{\alpha }\right]dx^{i}+\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}\right]du_{i}^{k}+\left({\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\right)\theta ^{k}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, V ¹ determina una transformación de contacto si y sólo si los coeficientes de dx ⁱ y en la fórmula se anulan. Los últimos requisitos implican las condiciones de contacto ${\displaystyle du_{i}^{k}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}=0}$

Los requisitos anteriores proporcionan fórmulas explícitas para los coeficientes de los términos de la primera derivada en V ¹ :

${\displaystyle \chi _{i}^{\alpha }={\widehat {D}}_{i}\phi ^{\alpha }-u_{l}^{\alpha }\left({\widehat {D}}_{i}\rho ^{l}\right)}$

dónde

${\displaystyle {\widehat {D}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+u_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial u^{k}}}}$

denota el truncamiento de orden cero de la derivada total D _i .

Por lo tanto, las condiciones de contacto prescriben de manera única la prolongación de cualquier punto o campo vectorial de contacto. Es decir, si satisface estas ecuaciones, V ^r se denomina la r -ésima prolongación de V a un campo vectorial en J ^r (π) . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}}$

Estos resultados se entienden mejor cuando se aplican a un ejemplo particular. Por lo tanto, examinemos lo siguiente.

Ejemplo

Considérese el caso (E, π, M) , donde E ≅ R ² y M ≃ R . Entonces, (J ¹ (π), π, E) define el primer haz de chorros, y puede estar coordinado por (x, u, u ₁ ) , donde

${\displaystyle {\begin{aligned}x(j_{p}^{1}\sigma )&=x(p)=x\\u(j_{p}^{1}\sigma )&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}(j_{p}^{1}\sigma )&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}={\dot {\sigma }}(x)\end{aligned}}}$

para todo p ∈ M y σ en Γ _p ( π ). Una forma de contacto en J ¹ (π) tiene la forma

${\displaystyle \theta =du-u_{1}dx}$

Consideremos un vector V en E , que tiene la forma

${\displaystyle V=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}}$

Entonces, la primera prolongación de este campo vectorial a J ¹ (π) es

${\displaystyle {\begin{aligned}V^{1}&=V+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\end{aligned}}}$

Si ahora tomamos la derivada de Lie de la forma de contacto con respecto a este campo vectorial prolongado, obtenemos ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta ),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta )&={\mathcal {L}}_{V^{1}}(du-u_{1}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{1}\right)dx-u_{1}\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx\right)\\&=d\left(V^{1}u\right)-V^{1}u_{1}dx-u_{1}d\left(V^{1}x\right)\\&=dx-\rho (x,u,u_{1})dx+u_{1}du\\&=(1-\rho (x,u,u_{1}))dx+u_{1}du\\&=[1-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}(\theta +u_{1}dx)&&du=\theta +u_{1}dx\\&=[1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}\theta \end{aligned}}}$

Por lo tanto, para preservar el ideal de contacto, requerimos

${\displaystyle 1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})=0\quad \Leftrightarrow \quad \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}.}$

Y entonces la primera prolongación de V a un campo vectorial en J ¹ (π) es

${\displaystyle V^{1}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}.}$

Calculemos también la segunda prolongación de V a un campo vectorial en J ² (π) . Tenemos como coordenadas en J ² (π) . Por lo tanto, el vector prolongado tiene la forma ${\displaystyle \{x,u,u_{1},u_{2}\}}$

${\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.}$

Los formularios de contacto son

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=du-u_{1}dx\\\theta _{1}&=du_{1}-u_{2}dx\end{aligned}}}$

Para preservar el contacto ideal, requerimos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta )&=0\\{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&=0\end{aligned}}}$

Ahora bien, θ no tiene dependencia de u ₂ . Por lo tanto, de esta ecuación tomaremos la fórmula para ρ , que necesariamente será el mismo resultado que encontramos para V ¹ . Por lo tanto, el problema es análogo a prolongar el campo vectorial V ¹ a J ² (π). Es decir, podemos generar la prolongación r -ésima de un campo vectorial aplicando recursivamente la derivada de Lie de las formas de contacto con respecto a los campos vectoriales prolongados, r veces. Por lo tanto, tenemos

${\displaystyle \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}}$

y entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}&=V^{1}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la derivada de Lie de la segunda forma de contacto con respecto a V ² es

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&={\mathcal {L}}_{V^{2}}(du_{1}-u_{2}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{2}}du_{1}-\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}u_{2}\right)dx-u_{2}\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}dx\right)\\&=d(V^{2}u_{1})-V^{2}u_{2}dx-u_{2}d(V^{2}x)\\&=d(1+u_{1}u_{1})-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du&=\theta +u_{1}dx\\&=2u_{1}(\theta _{1}+u_{2}dx)-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du_{1}&=\theta _{1}+u_{2}dx\\&=[3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})]dx+u_{2}\theta +2u_{1}\theta _{1}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, para preservar el contacto ideal, requerimos ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})}$

${\displaystyle 3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})=0\quad \Leftrightarrow \quad \phi (x,u,u_{1},u_{2})=3u_{1}u_{2}.}$

Y entonces la segunda prolongación de V a un campo vectorial en J ² (π) es

${\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+3u_{1}u_{2}{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.}$

Nótese que la primera prolongación de V se puede recuperar omitiendo los términos de la segunda derivada en V ² , o proyectando nuevamente a J ¹ (π) .

Espacios de chorro infinitos

El límite inverso de la secuencia de proyecciones da lugar al espacio de chorro infinito J ^∞ (π) . Un punto es la clase de equivalencia de las secciones de π que tienen el mismo chorro k en p que σ para todos los valores de k . La proyección natural π _∞ se traduce en p . ${\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}$ ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$ ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$

Simplemente pensando en términos de coordenadas, J ^∞ (π) parece ser un objeto geométrico de dimensión infinita. De hecho, la forma más simple de introducir una estructura diferenciable en J ^∞ (π) , sin depender de gráficos diferenciables, está dada por el cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas . Dual a la secuencia de proyecciones de variedades es la secuencia de inyecciones de álgebras conmutativas. Denotemos simplemente por . Tomemos ahora el límite directo de la s. Será un álgebra conmutativa, que puede asumirse como el álgebra de funciones suaves sobre el objeto geométrico J ^∞ (π) . Obsérvese que , al nacer como un límite directo, lleva una estructura adicional: es un álgebra conmutativa filtrada. ${\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}$ ${\displaystyle \pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(J^{k}(\pi ))}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$

En términos generales, un elemento concreto siempre pertenecerá a algún , por lo que es una función suave en la variedad de dimensión finita J ^k (π) en el sentido habitual. ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {F}}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$

Ecuaciones en derivadas parciales infinitamente prolongadas

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de orden k E ⊆ J ^k (π) , la colección I(E) de funciones suaves que se desvanecen en E en J ^∞ (π) es un ideal en el álgebra y, por lo tanto, también en el límite directo . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$

Mejoramos I(E) sumando todas las posibles composiciones de derivadas totales aplicadas a todos sus elementos. De esta manera obtenemos un nuevo ideal I que ahora queda cerrado bajo la operación de tomar derivada total. La subvariedad E _(∞) de J ^∞ ​​(π) recortada por I se llama prolongación infinita de E . ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$

Geométricamente, E _(∞) es la variedad de soluciones formales de E . Se puede ver fácilmente que un punto de E _(∞) está representado por una sección σ cuyo gráfico del k -jet es tangente a E en el punto con un orden de tangencia arbitrariamente alto. ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$ ${\displaystyle j_{p}^{k}(\sigma )}$

Analíticamente, si E está dada por φ = 0, una solución formal puede entenderse como el conjunto de coeficientes de Taylor de una sección σ en un punto p que hacen desvanecer la serie de Taylor de en el punto p . ${\displaystyle \varphi \circ j^{k}(\sigma )}$

Lo más importante es que las propiedades de cierre de I implican que E _(∞) es tangente a la estructura de contacto de orden infinito en J ^∞ (π) , de modo que al restringir a E _(∞) se obtiene la dificultad y se puede estudiar la secuencia de Vinogradov (C-espectral) asociada . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (E_{(\infty )},{\mathcal {C}}|_{E_{(\infty )}})}$

Observación

En este artículo se han definido chorros de secciones locales de un fibrado, pero es posible definir chorros de funciones f: M → N , donde M y N son variedades; el chorro de f corresponde entonces simplemente al chorro de la sección

función _f : M → M × N

g _f (p) = (p, f(p))

( gr _f se conoce como el gráfico de la función f ) del fibrado trivial ( M × N , π ₁ , M ). Sin embargo, esta restricción no simplifica la teoría, ya que la trivialidad global de π no implica la trivialidad global de π ₁ .

Véase también

• Grupo de jet
• Jet (matemáticas)
• Sistema lagrangiano
• Bicomplejo variacional

Referencias

1. Krupka, Demeter (2015). Introducción a la geometría variacional global. Atlantis Press. ISBN 978-94-6239-073-7.
2. Vakil, Ravi (25 de agosto de 1998). "Guía para principiantes sobre haces de chorro desde el punto de vista de la geometría algebraica" (PDF) . Consultado el 25 de junio de 2017 .

Lectura adicional

• Ehresmann, C., "Introducción a la teoría de las estructuras infinitésimales et des pseudo-groupes de Lie". Geometrie Differentielle, Colloq. Enterrar. del Centro Nacional. de la Recherche Scientifique, Estrasburgo, 1953, 97-127.
• Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Operaciones naturales en geometría diferencial. Springer-Verlag: Berlín Heidelberg, 1993. ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .  
• Saunders, DJ, "La geometría de los haces de chorro", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7 
• Krasil'shchik, IS, Vinogradov, AM, [et al.], "Simetrías y leyes de conservación para ecuaciones diferenciales de física matemática", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X . 
• Olver, PJ , "Equivalencia, invariantes y simetría", Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1