En matemáticas , un grupo algebraico lineal es un subgrupo del grupo de matrices invertibles (bajo multiplicación de matrices ) que se define mediante ecuaciones polinómicas . Un ejemplo es el grupo ortogonal , definido por la relación donde es la transpuesta de .
Muchos grupos de Lie pueden verse como grupos algebraicos lineales sobre el campo de números reales o complejos . (Por ejemplo, todo grupo de Lie compacto puede considerarse como un grupo algebraico lineal sobre R (necesariamente R -anisotrópico y reductivo), al igual que muchos grupos no compactos, como el grupo de Lie simple SL( n , R ) .) Los grupos de Lie simples Fueron clasificados por Wilhelm Killing y Élie Cartan en las décadas de 1880 y 1890. En aquella época no se hacía especial hincapié en el hecho de que la estructura de los grupos puede definirse mediante polinomios, es decir, que se trata de grupos algebraicos. Los fundadores de la teoría de grupos algebraicos incluyen a Maurer , Chevalley y Kolchin (1948). En la década de 1950, Armand Borel construyó gran parte de la teoría de grupos algebraicos tal como existe hoy.
Uno de los primeros usos de la teoría fue definir los grupos de Chevalley .
Para un entero positivo , el grupo lineal general sobre un campo , que consta de todas las matrices invertibles, es un grupo algebraico lineal sobre . Contiene los subgrupos
que consta de matrices de la forma, resp.,
El grupo es un ejemplo de un grupo algebraico lineal unipotente , el grupo es un ejemplo de un grupo algebraico soluble llamado subgrupo de Borel . Es una consecuencia del teorema de Lie-Kolchin que cualquier subgrupo conectado y solucionable de se conjuga en . Cualquier subgrupo unipotente se puede conjugar en .
Otro subgrupo algebraico es el grupo lineal especial de matrices con determinante 1.
El grupo se llama grupo multiplicativo y normalmente se denota por . El grupo de puntos es el grupo multiplicativo de elementos distintos de cero del campo . El grupo aditivo , cuyos puntos son isomorfos al grupo aditivo de , también se puede expresar como un grupo matricial, por ejemplo como el subgrupo en :
Estos dos ejemplos básicos de grupos algebraicos lineales conmutativos, los grupos multiplicativos y aditivos, se comportan de manera muy diferente en términos de sus representaciones lineales (como grupos algebraicos). Toda representación del grupo multiplicativo es una suma directa de representaciones irreducibles . (Todas sus representaciones irreducibles tienen dimensión 1, de la forma de un número entero ). Por el contrario, la única representación irreducible del grupo aditivo es la representación trivial. Entonces, cada representación de (como la representación bidimensional anterior) es una extensión iterada de representaciones triviales, no una suma directa (a menos que la representación sea trivial). La teoría de la estructura de grupos algebraicos lineales analiza cualquier grupo algebraico lineal en términos de estos dos grupos básicos y sus generalizaciones, tori y grupos unipotentes, como se analiza a continuación.
Para un campo algebraicamente cerrado k , gran parte de la estructura de una variedad algebraica X sobre k está codificada en su conjunto X ( k ) de k - puntos racionales , lo que permite una definición elemental de un grupo algebraico lineal. Primero, defina una función del grupo abstracto GL ( n , k ) a k para que sea regular si se puede escribir como un polinomio en las entradas de una matriz A de n × n y en 1/det( A ), donde det es el determinante . Entonces un grupo algebraico lineal G sobre un campo algebraicamente cerrado k es un subgrupo G ( k ) del grupo abstracto GL ( n , k ) para algún número natural n tal que G ( k ) se define por la desaparición de algún conjunto de números regulares. funciones.
Para un campo arbitrario k , las variedades algebraicas sobre k se definen como un caso especial de esquemas sobre k . En ese lenguaje, un grupo algebraico lineal G sobre un campo k es un esquema de subgrupo cerrado suave de GL ( n ) sobre k para algún número natural n . En particular, G se define por la desaparición de algún conjunto de funciones regulares en GL ( n ) sobre k , y estas funciones deben tener la propiedad de que para cada k - álgebra conmutativa R , G ( R ) es un subgrupo del grupo abstracto GL ( norte , R ). (Así, un grupo algebraico G sobre k no es sólo el grupo abstracto G ( k ), sino más bien toda la familia de grupos G ( R ) para k -álgebras conmutativas R ; esta es la filosofía de describir un esquema por su funtor de puntos .)
En cualquiera de los idiomas, se tiene la noción de homomorfismo de grupos algebraicos lineales. Por ejemplo, cuando k es algebraicamente cerrado, un homomorfismo de G ⊂ GL ( m ) a H ⊂ GL ( n ) es un homomorfismo de grupos abstractos G ( k ) → H ( k ) que se define mediante funciones regulares en G . Esto convierte a los grupos algebraicos lineales sobre k en una categoría . En particular, esto define lo que significa que dos grupos algebraicos lineales sean isomorfos .
En el lenguaje de los esquemas, un grupo algebraico lineal G sobre un campo k es en particular un esquema de grupo sobre k , es decir, un esquema sobre k junto con un k -punto 1 ∈ G ( k ) y morfismos.
sobre k que satisfacen los axiomas habituales para la multiplicación y aplicaciones inversas en un grupo (asociatividad, identidad, inversas). Un grupo algebraico lineal también es suave y de tipo finito sobre k , y es afín (como esquema). Por el contrario, cada esquema de grupo afín G de tipo finito sobre un campo k tiene una representación fiel en GL ( n ) sobre k para algún n . [1] Un ejemplo es la incorporación del grupo aditivo G a en GL (2), como se mencionó anteriormente. Como resultado, uno puede pensar en los grupos algebraicos lineales como grupos matriciales o, de manera más abstracta, como esquemas de grupos afines suaves sobre un campo. (Algunos autores utilizan "grupo algebraico lineal" para referirse a cualquier esquema de grupo afín de tipo finito sobre un campo).
Para una comprensión completa de los grupos algebraicos lineales, hay que considerar esquemas de grupos más generales (no suaves). Por ejemplo, sea k un cuerpo algebraicamente cerrado de característica p > 0. Entonces el homomorfismo f : G m → G m definido por x ↦ x p induce un isomorfismo de grupos abstractos k * → k *, pero f no es un isomorfismo de grupos algebraicos (porque x 1/ p no es una función regular). En el lenguaje de los esquemas de grupo, hay una razón más clara por la que f no es un isomorfismo: f es sobreyectiva, pero tiene un núcleo no trivial , a saber, el esquema de grupo μ p de p ésimas raíces de la unidad. Esta cuestión no surge en la característica cero. De hecho, todo esquema de grupo de tipo finito sobre un campo k de característica cero es suave sobre k . [2] Un esquema de grupo de tipo finito sobre cualquier campo k es suave sobre k si y solo si se reduce geométricamente , lo que significa que el cambio de base se reduce , donde es una clausura algebraica de k . [3]
Dado que un esquema afín X está determinado por su anillo O ( X ) de funciones regulares, un esquema de grupo afín G sobre un campo k está determinado por el anillo O ( G ) con su estructura de álgebra de Hopf (proveniente de la multiplicación e inversa mapas en G ). Esto da una equivalencia de categorías (flechas invertidas) entre esquemas de grupos afines sobre k y álgebras conmutativas de Hopf sobre k . Por ejemplo, el álgebra de Hopf correspondiente al grupo multiplicativo G m = GL (1) es el anillo polinómico de Laurent k [ x , x −1 ], con comultiplicación dada por
Para un grupo algebraico lineal G sobre un campo k , el componente identidad G o (el componente conectado que contiene el punto 1) es un subgrupo normal de índice finito . Entonces hay una extensión de grupo.
donde F es un grupo algebraico finito. (Para k algebraicamente cerrado, F puede identificarse con un grupo finito abstracto). Debido a esto, el estudio de grupos algebraicos se centra principalmente en grupos conectados.
Varias nociones de la teoría abstracta de grupos se pueden extender a grupos algebraicos lineales. Es sencillo definir lo que significa que un grupo algebraico lineal sea conmutativo , nilpotente o solucionable , por analogía con las definiciones de la teoría abstracta de grupos. Por ejemplo, un grupo algebraico lineal tiene solución si tiene una serie de composición de subgrupos algebraicos lineales tales que los grupos cocientes sean conmutativos. Además, el normalizador , el centro y el centralizador de un subgrupo cerrado H de un grupo algebraico lineal G se consideran naturalmente esquemas de subgrupo cerrado de G. Si son suaves sobre k , entonces son grupos algebraicos lineales como se definió anteriormente.
Uno puede preguntarse hasta qué punto las propiedades de un grupo algebraico lineal conectado G sobre un campo k están determinadas por el grupo abstracto G ( k ). Un resultado útil en esta dirección es que si el campo k es perfecto (por ejemplo, de característica cero), o si G es reductivo (como se define a continuación), entonces G es uniracional sobre k . Por tanto, si además k es infinito, el grupo G ( k ) es denso de Zariski en G. [4] Por ejemplo, bajo los supuestos mencionados, G es conmutativo, nilpotente o solucionable si y sólo si G ( k ) tiene la propiedad correspondiente.
El supuesto de conectividad no puede omitirse en estos resultados. Por ejemplo, sea G el grupo μ 3 ⊂ GL (1) de raíces cúbicas de la unidad sobre los números racionales Q . Entonces G es un grupo algebraico lineal sobre Q para el cual G ( Q ) = 1 no es denso de Zariski en G , porque es un grupo de orden 3.
Sobre un campo algebraicamente cerrado, hay un resultado más sólido acerca de los grupos algebraicos como variedades algebraicas: cada grupo algebraico lineal conectado sobre un campo algebraicamente cerrado es una variedad racional . [5]
El álgebra de Lie de un grupo algebraico G se puede definir de varias formas equivalentes: como el espacio tangente T 1 ( G ) en el elemento identidad 1 ∈ G ( k ), o como el espacio de derivaciones invariantes por la izquierda . Si k es algebraicamente cerrado, una derivación D : O ( G ) → O ( G ) sobre k del anillo de coordenadas de G es invariante a la izquierda si
para cada x en G ( k ), donde λ x : O ( G ) → O ( G ) se induce mediante la multiplicación por la izquierda por x . Para un campo arbitrario k , la invariancia por la izquierda de una derivación se define como una igualdad análoga de dos aplicaciones lineales O ( G ) → O ( G ) ⊗ O ( G ). [6] El corchete de Lie de dos derivaciones se define por [ D 1 , D 2 ] = D 1 D 2 − D 2 D 1 .
El paso de G a es, pues, un proceso de diferenciación . Para un elemento x ∈ G ( k ), la derivada en 1 ∈ G ( k ) del mapa de conjugación G → G , g ↦ xgx −1 , es un automorfismo de , dando la representación adjunta :
Sobre un campo de característica cero, un subgrupo conectado H de un grupo algebraico lineal G está determinado únicamente por su álgebra de Lie . [7] Pero no todas las subálgebras de Lie corresponden a un subgrupo algebraico de G , como se ve en el ejemplo del toro G = ( G m ) 2 sobre C . En característica positiva, puede haber muchos subgrupos conectados diferentes de un grupo G con la misma álgebra de Lie (nuevamente, el toro G = ( G m ) 2 proporciona ejemplos). Por estas razones, aunque el álgebra de Lie de un grupo algebraico es importante, la teoría de la estructura de grupos algebraicos requiere herramientas más globales.
Para un campo algebraicamente cerrado k , una matriz g en GL ( n , k ) se llama semisimple si es diagonalizable y unipotente si la matriz g − 1 es nilpotente . De manera equivalente, g es unipotente si todos los valores propios de g son iguales a 1. La forma canónica de Jordan para matrices implica que cada elemento g de GL ( n , k ) puede escribirse únicamente como un producto g = g ss g u tal que g ss es semisimple, g u es unipotente y g ss y g u conmutan entre sí.
Para cualquier campo k , se dice que un elemento g de GL ( n , k ) es semisimple si se vuelve diagonalizable sobre la clausura algebraica de k . Si el campo k es perfecto, entonces las partes semisimple y unipotente de g también se encuentran en GL ( n , k ). Finalmente, para cualquier grupo algebraico lineal G ⊂ GL ( n ) sobre un campo k , defina un punto k de G como semisimple o unipotente si es semisimple o unipotente en GL ( n , k ). (Estas propiedades son , de hecho, independientes de la elección de una representación fiel de G. ) Si el campo k es perfecto, entonces las partes semisimple y unipotente de un punto k de G están automáticamente en G. Es decir (la descomposición de Jordan ): cada elemento g de G ( k ) se puede escribir únicamente como un producto g = g ss g u en G ( k ) tal que g ss es semisimple, g u es unipotente y g ss y viajan entre sí . [8] Esto reduce el problema de describir las clases de conjugación en G ( k ) a los casos semisimples y unipotentes.
Un toro sobre un campo algebraicamente cerrado k significa un grupo isomorfo a ( G m ) n , el producto de n copias del grupo multiplicativo sobre k , para algún número natural n . Para un grupo algebraico lineal G , un toro máximo en G significa un toro en G que no está contenido en ningún toro más grande. Por ejemplo, el grupo de matrices diagonales en GL ( n ) sobre k es un toro máximo en GL ( n ), isomorfo a ( G m ) n . Un resultado básico de la teoría es que dos toros máximos cualesquiera en un grupo G sobre un campo algebraicamente cerrado k están conjugados por algún elemento de G ( k ). [9] El rango de G significa la dimensión de cualquier toro máximo.
Para un campo arbitrario k , un toro T sobre k significa un grupo algebraico lineal sobre k cuyo cambio de base al cierre algebraico de k es isomorfo a ( G m ) n sobre , para algún número natural n . Un toro dividido sobre k significa un grupo isomorfo a ( G m ) n sobre k para algunos n . Un ejemplo de un toro no dividido sobre los números reales R es
con estructura de grupo dada por la fórmula para multiplicar números complejos x + iy . Aquí T es un toro de dimensión 1 sobre R . No está dividido, porque su grupo de puntos reales T ( R ) es el grupo circular , que no es isomorfo ni siquiera como grupo abstracto a G m ( R ) = R *.
Todo punto de un toro sobre un campo k es semisimple. Por el contrario, si G es un grupo algebraico lineal conexo tal que cada elemento de es semisimple, entonces G es un toroide. [10]
Para un grupo algebraico lineal G sobre un campo general k , no se puede esperar que todos los toros máximos en G sobre k estén conjugados por elementos de G ( k ). Por ejemplo, tanto el grupo multiplicativo G m como el grupo circular T anterior aparecen como toros máximos en SL (2) sobre R . Sin embargo, siempre es cierto que dos toros divididos máximos cualesquiera en G sobre k (es decir, toros divididos en G que no están contenidos en un toro dividido más grande ) están conjugados por algún elemento de G ( k ). [11] Como resultado, tiene sentido definir el rango k o rango dividido de un grupo G sobre k como la dimensión de cualquier toro dividido máximo en G sobre k .
Para cualquier toro máximo T en un grupo algebraico lineal G sobre un campo k , Grothendieck demostró que es un toro máximo en . [12] De ello se deduce que dos toros máximos cualesquiera en G sobre un campo k tienen la misma dimensión, aunque no necesitan ser isomórficos.
Sea U n el grupo de matrices triangulares superiores en GL ( n ) con entradas diagonales iguales a 1, sobre un campo k . Un esquema de grupo sobre un campo k (por ejemplo, un grupo algebraico lineal) se llama unipotente si es isomorfo a un esquema de subgrupo cerrado de U n para algún n . Es sencillo comprobar que el grupo U n es nilpotente. Como resultado, todo esquema de grupo unipotente es nilpotente.
Un grupo algebraico lineal G sobre un campo k es unipotente si y sólo si cada elemento de es unipotente. [13]
El grupo B n de matrices triangulares superiores en GL ( n ) es un producto semidirecto
donde T n es el toro diagonal ( G m ) n . De manera más general, cada grupo algebraico lineal conectado que se puede resolver es un producto semidirecto de un toro con un grupo unipotente, T ⋉ U . [14]
Un grupo unipotente conectado suave sobre un campo perfecto k (por ejemplo, un campo algebraicamente cerrado) tiene una serie de composición con todos los grupos cocientes isomorfos al grupo aditivo G a . [15]
Los subgrupos de Borel son importantes para la teoría de la estructura de grupos algebraicos lineales. Para un grupo algebraico lineal G sobre un campo algebraicamente cerrado k , un subgrupo Borel de G significa un subgrupo soluble máximo conectado suave. Por ejemplo, un subgrupo Borel de GL ( n ) es el subgrupo B de matrices triangulares superiores (todas las entradas debajo de la diagonal son cero).
Un resultado básico de la teoría es que dos subgrupos de Borel cualesquiera de un grupo conectado G sobre un campo algebraicamente cerrado k están conjugados por algún elemento de G ( k ). [16] (Una prueba estándar utiliza el teorema del punto fijo de Borel : para un grupo G conectado y solucionable que actúa sobre una variedad adecuada X sobre un campo algebraicamente cerrado k , hay un punto k en X que está fijado por la acción de G .) La conjugación de los subgrupos de Borel en GL ( n ) equivale al teorema de Lie-Kolchin : cada subgrupo de GL ( n ) soluble y conectado suavemente se conjuga con un subgrupo del subgrupo triangular superior en GL ( n ).
Para un campo arbitrario k , un subgrupo Borel B de G se define como un subgrupo sobre k tal que, sobre una clausura algebraica de k , es un subgrupo Borel de . Por lo tanto , G puede tener o no un subgrupo Borel sobre k .
Para un esquema de subgrupo cerrado H de G , el espacio cociente G / H es un esquema cuasiproyectivo suave sobre k . [17] Un subgrupo suave P de un grupo conectado G se llama parabólico si G / P es proyectivo sobre k (o equivalentemente, propio sobre k ). Una propiedad importante de los subgrupos B de Borel es que G / B es una variedad proyectiva, llamada variedad bandera de G. Es decir, los subgrupos de Borel son subgrupos parabólicos. Más precisamente, para k algebraicamente cerrado, los subgrupos de Borel son exactamente los subgrupos parabólicos mínimos de G ; por el contrario, todo subgrupo que contiene un subgrupo Borel es parabólico. [18] Entonces se pueden enumerar todos los subgrupos parabólicos de G (hasta la conjugación por G ( k )) enumerando todos los subgrupos algebraicos lineales de G que contienen un subgrupo Borel fijo. Por ejemplo, los subgrupos P ⊂ GL (3) sobre k que contienen el subgrupo B de Borel de matrices triangulares superiores son el propio B , todo el grupo GL (3) y los subgrupos intermedios.
Las correspondientes variedades proyectivas homogéneas GL (3)/ P son (respectivamente): la variedad bandera de todas las cadenas de subespacios lineales
con V i de dimensión i ; un punto; el espacio proyectivo P 2 de líneas ( subespacios lineales unidimensionales ) en A 3 ; y el espacio proyectivo dual P 2 de planos en A 3 .
Un grupo algebraico lineal conexo G sobre un campo algebraicamente cerrado se llama semisimple si cada subgrupo normal de G con solución suave y conexo es trivial. De manera más general, un grupo algebraico lineal conectado G sobre un campo algebraicamente cerrado se llama reductivo si cada subgrupo normal unipotente conexo suave de G es trivial. [19] (Algunos autores no requieren que los grupos reductivos estén conectados). Un grupo semisimple es reductivo. Un grupo G sobre un campo arbitrario k se llama semisimple o reductivo si es semisimple o reductivo. Por ejemplo, el grupo SL ( n ) de n × n matrices con determinante 1 sobre cualquier campo k es semisimple, mientras que un toro no trivial es reductivo pero no semisimple. Asimismo, GL ( n ) es reductivo pero no semisimple (porque su centro G m es un subgrupo normal no trivial, conectado y solucionable).
Todo grupo de Lie compacto y conectado tiene una complejización , que es un grupo algebraico reductivo complejo. De hecho, esta construcción proporciona una correspondencia uno a uno entre grupos de Lie compactos conectados y grupos reductivos complejos, hasta el isomorfismo. [20]
Un grupo algebraico lineal G sobre un campo k se llama simple (o k - simple ) si es semisimple, no trivial, y todo subgrupo normal conexo suave de G sobre k es trivial o igual a G. [21] (Algunos autores llaman a esta propiedad "casi simple".) Esto difiere ligeramente de la terminología para grupos abstractos, en que un grupo algebraico simple puede tener un centro no trivial (aunque el centro debe ser finito). Por ejemplo, para cualquier número entero n al menos 2 y cualquier campo k , el grupo SL ( n ) sobre k es simple y su centro es el esquema de grupo μ n de n- ésimas raíces de la unidad.
Cada grupo algebraico lineal conexo G sobre un campo perfecto k es (de una manera única) una extensión de un grupo reductor R por un grupo unipotente conexo suave U , llamado radical unipotente de G :
Si k tiene característica cero, entonces se tiene la descomposición de Levi más precisa : cada grupo algebraico lineal conectado G sobre k es un producto semidirecto de un grupo reductor por un grupo unipotente. [22]
Los grupos reductivos incluyen los grupos algebraicos lineales más importantes en la práctica, como los grupos clásicos : GL ( n ), SL ( n ), los grupos ortogonales SO ( n ) y los grupos simplécticos Sp (2 n ). Por otra parte, la definición de grupos reductivos es bastante "negativa" y no está claro que se pueda decir mucho sobre ellos. Sorprendentemente, Claude Chevalley dio una clasificación completa de los grupos reductivos en un campo algebraicamente cerrado: están determinados por datos de raíces . [23] En particular, los grupos simples sobre un campo algebraicamente cerrado k se clasifican (hasta cocientes mediante esquemas de subgrupos centrales finitos) mediante sus diagramas de Dynkin . Llama la atención que esta clasificación sea independiente de la característica de k . Por ejemplo, los grupos de Lie excepcionales G 2 , F 4 , E 6 , E 7 y E 8 pueden definirse en cualquier característica (e incluso como esquemas de grupo sobre Z ). La clasificación de grupos finitos simples dice que la mayoría de los grupos finitos simples surgen como el grupo de k -puntos de un grupo algebraico simple sobre un campo finito k , o como variantes menores de esa construcción.
Todo grupo reductivo sobre un campo es el cociente mediante un esquema de subgrupo central finito del producto de un toro y algunos grupos simples. Por ejemplo,
Para un campo arbitrario k , un grupo reductor G se llama dividido si contiene un toro máximo dividido sobre k (es decir, un toro dividido en G que permanece máximo sobre un cierre algebraico de k ). Por ejemplo, GL ( n ) es un grupo reductivo dividido sobre cualquier campo k . Chevalley demostró que la clasificación de grupos reductivos divididos es la misma en cualquier campo. Por el contrario, la clasificación de grupos reductivos arbitrarios puede resultar difícil, dependiendo del campo base. Por ejemplo, cada forma cuadrática no degenerada q sobre un campo k determina un grupo reductivo SO ( q ), y cada álgebra simple central A sobre k determina un grupo reductivo SL 1 ( A ). Como resultado, el problema de clasificar grupos reductivos sobre k incluye esencialmente el problema de clasificar todas las formas cuadráticas sobre k o todas las álgebras simples centrales sobre k . Estos problemas son fáciles para k algebraicamente cerrados y se entienden para algunos otros campos, como los campos numéricos , pero para campos arbitrarios hay muchas preguntas abiertas.
Una razón de la importancia de los grupos reductivos proviene de la teoría de la representación. Toda representación irreductible de un grupo unipotente es trivial. De manera más general, para cualquier grupo algebraico lineal G escrito como una extensión
con U unipotente y R reductivo, toda representación irreducible de G se factoriza a través de R . [24] Esto centra la atención en la teoría de la representación de grupos reductivos. (Para ser claros, las representaciones consideradas aquí son representaciones de G como un grupo algebraico . Por lo tanto, para un grupo G sobre un campo k , las representaciones están en k espacios vectoriales, y la acción de G está dada por funciones regulares. Es un problema importante pero diferente para clasificar representaciones continuas del grupo G ( R ) para un grupo reductivo real G , o problemas similares en otros campos).
Chevalley demostró que las representaciones irreducibles de un grupo reductivo dividido sobre un campo k son de dimensión finita y están indexadas por pesos dominantes . [25] Esto es lo mismo que sucede en la teoría de representación de grupos de Lie compactos y conectados, o en la teoría de representación de dimensión finita de álgebras de Lie complejas semisimples . Para k de característica cero, todas estas teorías son esencialmente equivalentes. En particular, cada representación de un grupo reductor G sobre un campo de característica cero es una suma directa de representaciones irreducibles, y si G se divide, los caracteres de las representaciones irreducibles vienen dados por la fórmula de caracteres de Weyl . El teorema de Borel-Weil da una construcción geométrica de las representaciones irreducibles de un grupo reductor G en característica cero, como espacios de secciones de haces de líneas sobre la variedad de bandera G / B.
La teoría de la representación de grupos reductivos (distintos de tori) sobre un campo de característica positiva p se comprende menos. En esta situación, una representación no tiene por qué ser una suma directa de representaciones irreductibles. Y aunque las representaciones irreductibles están indexadas por pesos dominantes, las dimensiones y caracteres de las representaciones irreductibles sólo se conocen en algunos casos. Andersen, Jantzen y Soergel (1994) determinaron estos caracteres (probando la conjetura de Lusztig ) cuando la característica p es suficientemente grande en comparación con el número de Coxeter del grupo. Para números primos pequeños p , ni siquiera existe una conjetura precisa.
Una acción de un grupo algebraico lineal G sobre una variedad (o esquema) X sobre un campo k es un morfismo
que satisface los axiomas de una acción grupal . Como en otros tipos de teoría de grupos, es importante estudiar las acciones de los grupos, ya que los grupos surgen naturalmente como simetrías de objetos geométricos.
Parte de la teoría de acciones grupales es la teoría de invariantes geométricas , que tiene como objetivo construir una variedad cociente X / G , describiendo el conjunto de órbitas de un grupo algebraico lineal G sobre X como una variedad algebraica. Surgen varias complicaciones. Por ejemplo, si X es una variedad afín , entonces se puede intentar construir X / G como Spec del anillo de invariantes O ( X ) G. Sin embargo, Masayoshi Nagata demostró que el anillo de invariantes no necesita generarse de forma finita como un k -álgebra (por lo que la especificación del anillo es un esquema pero no una variedad), una respuesta negativa al decimocuarto problema de Hilbert . En la dirección positiva, el anillo de invariantes se genera finitamente si G es reductivo, según el teorema de Haboush , demostrado en característica cero por Hilbert y Nagata.
La teoría de invariantes geométricas implica más sutilezas cuando un grupo reductivo G actúa sobre una variedad proyectiva X. En particular, la teoría define subconjuntos abiertos de puntos "estables" y "semiestables" en X , con el morfismo del cociente sólo definido en el conjunto de puntos semiestables.
Los grupos algebraicos lineales admiten variantes en varias direcciones. Al descartar la existencia del mapa inverso , se obtiene la noción de un monoide algebraico lineal . [26]
Para un grupo algebraico lineal G sobre números reales R , el grupo de puntos reales G ( R ) es un grupo de Lie , esencialmente porque los polinomios reales, que describen la multiplicación en G , son funciones suaves . Asimismo, para un grupo algebraico lineal G sobre C , G ( C ) es un grupo de Lie complejo . Gran parte de la teoría de grupos algebraicos se desarrolló por analogía con los grupos de Lie.
Hay varias razones por las que un grupo de Lie puede no tener la estructura de un grupo algebraico lineal sobre R.
Los grupos algebraicos que no son afines se comportan de manera muy diferente. En particular, un esquema de grupo conectado suave que es una variedad proyectiva sobre un campo se llama variedad abeliana . A diferencia de los grupos algebraicos lineales, toda variedad abeliana es conmutativa. No obstante, las variedades abelianas tienen una rica teoría. Incluso el caso de las curvas elípticas (variedades abelianas de dimensión 1) es fundamental para la teoría de números , con aplicaciones que incluyen la demostración del último teorema de Fermat .
Las representaciones de dimensión finita de un grupo algebraico G , junto con el producto tensorial de las representaciones, forman una categoría tannakiana Rep G. De hecho, las categorías tannakianas con un "functor de fibra" sobre un campo son equivalentes a esquemas de grupos afines. (Cada esquema de grupo afín sobre un campo k es proalgebraico en el sentido de que es un límite inverso de esquemas de grupo afín de tipo finito sobre k . [28] ) Por ejemplo, el grupo de Mumford-Tate y el grupo motívico de Galois son construido utilizando este formalismo. Ciertas propiedades de un grupo (pro)algebraico G se pueden leer en su categoría de representaciones. Por ejemplo, sobre un campo de característica cero, Rep G es una categoría semisimple si y sólo si el componente de identidad de G es pro-reductivo. [29]
