Teorema de Haboush

Cada grupo algebraico semisimple es geométricamente reductivo

En matemáticas, el teorema de Haboush , a menudo todavía denominado conjetura de Mumford , establece que para cualquier grupo algebraico semisimple G sobre un cuerpo K , y para cualquier representación lineal ρ de G sobre un espacio vectorial K V , dado v  ≠ 0 en V que está fijado por la acción de G , existe un polinomio F invariante G sobre V , sin término constante, tal que

F ( v ) ≠ 0.

El polinomio puede tomarse como homogéneo , es decir, un elemento de una potencia simétrica del dual de V , y si la característica es p > 0, el grado del polinomio puede tomarse como una potencia de p . Cuando K tiene característica 0 esto era bien conocido; de hecho, el teorema de Weyl sobre la reducibilidad completa de las representaciones de G implica que F puede incluso tomarse como lineal. La conjetura de Mumford sobre la extensión a la característica prima p fue demostrada por WJ Haboush (1975), aproximadamente una década después de que David Mumford hubiera planteado el problema , en la introducción a la primera edición de su libro Teoría de invariantes geométricos .

Aplicaciones

El teorema de Haboush se puede utilizar para generalizar los resultados de la teoría de invariantes geométricos desde la característica 0, donde ya se conocían, a la característica p > 0. En particular, los resultados anteriores de Nagata junto con el teorema de Haboush muestran que si un grupo reductivo (sobre un cuerpo algebraicamente cerrado) actúa sobre un álgebra finitamente generada, entonces el subálgebra fija también es finitamente generada.

El teorema de Haboush implica que si G es un grupo algebraico reductivo que actúa regularmente sobre una variedad algebraica afín, entonces los conjuntos invariantes cerrados disjuntos X e Y pueden separarse mediante una función invariante f (esto significa que f es 0 en X y 1 en Y ).

CS Seshadri (1977) extendió el teorema de Haboush a grupos reductivos sobre esquemas.

Del trabajo de Nagata (1963), Haboush y Popov se desprende que las siguientes condiciones son equivalentes para un grupo algebraico afín G sobre un cuerpo K :

• G es reductivo (su radical unipotente es trivial).
• Para cualquier vector invariante distinto de cero en una representación racional de G , existe un polinomio homogéneo invariante que no se desvanece en él.
• Para cualquier álgebra K finitamente generada sobre la cual G actúa racionalmente, el álgebra de elementos fijos es finitamente generada.

Prueba

El teorema se demuestra en varios pasos como sigue:

• Podemos suponer que el grupo está definido sobre un campo algebraicamente cerrado K de característica p > 0.
• Los grupos finitos son fáciles de manejar, ya que se puede tomar un producto sobre todos los elementos, por lo que se puede reducir al caso de grupos reductivos conexos (ya que el componente conexo tiene índice finito). Al tomar una extensión central que es inofensiva, también se puede suponer que el grupo G está simplemente conexo .
• Sea A ( G ) el anillo de coordenadas de G . Esta es una representación de G con G actuando por traslaciones izquierdas. Elija un elemento v ′ del dual de V que tenga valor 1 en el vector invariante v . La función V en A ( G ) es enviar w ∈ V al elemento a ∈ A ( G ) con a ( g ) = v ′ ( g ( w )). Esto envía v a 1∈ A ( G ), por lo que podemos suponer que V ⊂ A ( G ) y v =1.
• La estructura de la representación A ( G ) se da de la siguiente manera. Elija un toro máximo T de G y déjelo actuar sobre A ( G ) por traslaciones derechas (de modo que conmute con la acción de G ). Entonces A ( G ) se divide como una suma sobre caracteres λ de T de las subrepresentaciones A ( G ) ^λ de elementos que se transforman de acuerdo con λ. Por lo tanto, podemos suponer que V está contenido en el subespacio T -invariante A ( G ) ^λ de A ( G ).
• La representación A ( G ) ^λ es una unión creciente de subrepresentaciones de la forma E _{λ+ n ρ} ⊗ E _{n ρ} , donde ρ es el vector de Weyl para una elección de raíces simples de T , n es un entero positivo y E _μ es el espacio de secciones del fibrado de líneas sobre G / B correspondiente a un carácter μ de T , donde B es un subgrupo de Borel que contiene a T .
• Si n es suficientemente grande entonces E _{n ρ} tiene dimensión ( n + 1) ^N donde N es el número de raíces positivas. Esto se debe a que en la característica 0 el módulo correspondiente tiene esta dimensión por la fórmula del carácter de Weyl , y para n suficientemente grande como para que el fibrado lineal sobre G / B sea muy amplio , E _{n ρ} tiene la misma dimensión que en la característica 0.
• Si q = p ^r para un entero positivo r , y n = q −1, entonces E _{n ρ} contiene la representación de Steinberg de G ( F _q ) de dimensión q ^N . (Aquí F _q ⊂ K es el cuerpo finito de orden q .) La representación de Steinberg es una representación irreducible de G ( F _q ) y por lo tanto de G ( K ), y para r suficientemente grande tiene la misma dimensión que E _{n ρ} , por lo que hay infinitos valores de n tales que E _{n ρ} es irreducible.
• Si E _{n ρ} es irreducible es isomorfo a su dual, por lo que E _{n ρ} ⊗ E _{n ρ} es isomorfo a End( E _{n ρ} ). Por lo tanto, el subespacio T -invariante A ( G ) ^λ de A ( G ) es una unión creciente de subrepresentaciones de la forma End( E ) para representaciones E (de la forma E _{( q −1)ρ} )). Sin embargo, para representaciones de la forma End( E ) un polinomio invariante que separa 0 y 1 viene dado por el determinante. Esto completa el esbozo de la demostración del teorema de Haboush.

Referencias

• Demazure, Michel (1976), "Démonstration de la conjecture de Mumford (d'après W. Haboush)", Séminaire Bourbaki (1974/1975: Exposés Nos. 453--470), Lecture Notes in Mathematics, vol. 514, Berlín: Springer, págs. 138-144, doi :10.1007/BFb0080063, ISBN 978-3-540-07686-5, Sr.  0444786
• Haboush, WJ (1975), "Los grupos reductivos son geométricamente reductivos", Annals of Mathematics , 102 (1): 67–83, doi :10.2307/1970974, JSTOR  1970974
• Mumford, D.; Fogarty, J.; Kirwan, F. Teoría de la invariante geométrica . Tercera edición. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) (Resultados en matemáticas y áreas afines (2)), 34. Springer-Verlag, Berlín, 1994. xiv+292 págs. MR 1304906 ISBN 3-540-56963-4 
• Nagata, Masayoshi (1963), "Invariantes de un grupo en un anillo afín", Journal of Mathematics of Kyoto University , 3 (3): 369–377, doi : 10.1215/kjm/1250524787 , ISSN  0023-608X, MR  0179268
• Nagata, M.; Miyata, T. (1964). "Nota sobre grupos semirreductivos". Revista de Matemáticas de la Universidad de Kioto . 3 (3): 379–382. doi : 10.1215/kjm/1250524788 .
• Popov, VL (2001) [1994], "Hipótesis de Mumford", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Seshadri, CS (1977). "Reductividad geométrica sobre una base arbitraria". Avances en Matemáticas . 26 (3): 225–274. doi : 10.1016/0001-8708(77)90041-x .