Teorema de Weyl sobre la reducibilidad total

En álgebra, el teorema de Weyl sobre la reducibilidad completa es un resultado fundamental en la teoría de las representaciones del álgebra de Lie (específicamente en la teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples ). Sea un álgebra de Lie semisimple sobre un campo de característica cero. El teorema establece que todo módulo de dimensión finita es semisimple como módulo (es decir, una suma directa de módulos simples). ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El álgebra envolvente es semisimple.

El teorema de Weyl implica (de hecho es equivalente a) que el álgebra envolvente de una representación de dimensión finita es un anillo semisimple de la siguiente manera.

Dada una representación de álgebra de Lie de dimensión finita , sea la subálgebra asociativa del álgebra de endomorfismo de V generada por . El anillo A se llama álgebra envolvente de . Si es semisimple, entonces A es semisimple. ^[2] (Prueba: dado que A es un álgebra de dimensión finita, es un anillo artiniano; en particular, el radical de Jacobson J es nilpotente. Si V es simple, entonces implica que . En general, J mata cada submódulo simple de V ; en particular, J mata a V y por lo tanto J es cero.) A la inversa, si A es semisimple, entonces V es un módulo A semisimple ; es decir, semisimple como un módulo. (Tenga en cuenta que un módulo sobre un anillo semisimple es semisimple ya que un módulo es un cociente de un módulo libre y "semisimple" se conserva bajo las construcciones libre y cociente). ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle A\subset \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle JV\subset V}$ ${\displaystyle JV=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Aplicación: preservación de la descomposición de Jordan.

A continuación se muestra una aplicación típica. ^[3]

Proposición  :  Sea un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un campo de característica cero. ^[a] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

1. Existe un par único de elementos tales que , es semisimple, es nilpotente y . ${\displaystyle x_{s},x_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{s})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{n})}$ ${\displaystyle [x_{s},x_{n}]=0}$
2. Si es una representación de dimensión finita, entonces y , donde denotan la descomposición de Jordan de las partes semisimple y nilpotente del endomorfismo . ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle \pi (x)_{s}=\pi (x_{s})}$ ${\displaystyle \pi (x)_{n}=\pi (x_{n})}$ ${\displaystyle \pi (x)_{s},\pi (x)_{n}}$ ${\displaystyle \pi (x)}$

En resumen, las partes semisimples y nilpotentes de un elemento están bien definidas y se determinan independientemente de una representación fiel de dimensión finita. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Prueba : Primero probamos el caso especial de (i) y (ii) cuando es la inclusión; es decir, es una subálgebra de . Sea la descomposición de Jordan del endomorfismo , donde se encuentran los endomorfismos semisimples y nilpotentes . Ahora, también tiene la descomposición de Jordan, que se puede demostrar (ver Descomposición de Jordan-Chevalley ) que respeta la descomposición de Jordan anterior; es decir, son las partes semisimple y nilpotente de . Como son polinomios entonces, vemos . Por tanto, son derivaciones de . Como es semisimple, podemos encontrar elementos en tal que y de manera similar para . Ahora, sea A el álgebra envolvente de ; es decir, la subálgebra del álgebra del endomorfismo de V generada por . Como se señaló anteriormente, A tiene cero radical de Jacobson. Desde entonces , vemos que hay un elemento nilpotente en el centro de A. Pero, en general, un nilpotente central pertenece al radical de Jacobson; por lo tanto, y así también . Esto prueba el caso especial. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle x=S+N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle s,n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [y,S]=[y,s],y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [y,N-n]=0}$ ${\displaystyle N-n}$ ${\displaystyle N=n}$ ${\displaystyle S=s}$

En general, es semisimple (resp. nilpotente) cuando es semisimple (resp. nilpotente). ^{[ se necesita aclaración ]} Esto da inmediatamente (i) y (ii). ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ ${\displaystyle \square }$

Pruebas

prueba analítica

La prueba original de Weyl (para álgebras de Lie complejas semisimples) era de naturaleza analítica: utilizaba el famoso truco unitario . Específicamente, se puede demostrar que cada álgebra de Lie semisimple compleja es la complejización del álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto simplemente conexo . ^[4] (Si, por ejemplo, , entonces .) Dada una representación de en un espacio vectorial, primero se puede restringir al álgebra de Lie de . Entonces, dado que es simplemente conexo , ^[5] hay una representación asociada de . La integración produce un producto interno que es unitario. ^[6] La reducibilidad completa de es entonces inmediata y los argumentos elementales muestran que la representación original de también es completamente reducible. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle K=\mathrm {SU} (n)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Prueba algebraica 1

Sea una representación de dimensión finita de un álgebra de Lie sobre un campo de característica cero. El teorema es una consecuencia fácil del lema de Whitehead , que dice que es sobreyectivo, donde una aplicación lineal es una derivación si . La prueba se debe esencialmente a Whitehead. ^[7] ${\displaystyle (\pi ,V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V\to \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}},V),v\mapsto \cdot v}$ ${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to V}$ ${\displaystyle f([x,y])=x\cdot f(y)-y\cdot f(x)}$

Sea una subrepresentación. Considere el subespacio vectorial que consta de todos los mapas lineales tales que y . Tiene una estructura de un módulo dada por: for , ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle L_{W}\subset \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle t:V\to V}$ ${\displaystyle t(V)\subset W}$ ${\displaystyle t(W)=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},t\in L_{W}}$

${\displaystyle x\cdot t=[\pi (x),t]}$.

Ahora, elija alguna proyección sobre W y considere dada por . Dado que es una derivación del lema de Whitehead, podemos escribir para algunos . Entonces tenemos ; es decir es -lineal. Además, como t mata , es un idempotente tal que . El núcleo de es entonces una representación complementaria de . ${\displaystyle p:V\to V}$ ${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to L_{W}}$ ${\displaystyle f(x)=[p,\pi (x)]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x\cdot t}$ ${\displaystyle t\in L_{W}}$ ${\displaystyle [\pi (x),p+t]=0,x\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle p+t}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle p+t}$ ${\displaystyle (p+t)(V)=W}$ ${\displaystyle p+t}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \square }$

Véase también el libro de álgebra homológica de Weibel .

Prueba algebraica 2

El lema de Whitehead se demuestra típicamente mediante el elemento cuadrático de Casimir del álgebra envolvente universal , ^[8] y también hay una prueba del teorema que utiliza el elemento de Casimir directamente en lugar del lema de Whitehead.

Dado que el elemento cuadrático de Casimir está en el centro del álgebra envolvente universal, el lema de Schur nos dice que actúa como múltiplo de la identidad en la representación irreducible de mayor peso . Un punto clave es establecer que sea distinto de cero siempre que la representación no sea trivial. Esto se puede hacer mediante un argumento general ^[9] o mediante la fórmula explícita para . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c_{\lambda }}$ ${\displaystyle c_{\lambda }}$

Consideremos un caso muy especial del teorema de la reducibilidad completa: el caso en el que una representación contiene un subespacio no trivial, irreducible e invariante de codimensión uno. Denotemos la acción de on . Dado que no es irreducible, no es necesariamente un múltiplo de la identidad, pero es un operador autoentrelazado para . Entonces la restricción de a es un múltiplo distinto de cero de la identidad. Pero como el cociente es una representación unidimensional (y por tanto trivial) de , la acción de sobre el cociente es trivial. Entonces se deduce fácilmente que debe tener un núcleo distinto de cero, y el núcleo es un subespacio invariante, ya que es un autoentrelazado. El núcleo es entonces un subespacio invariante unidimensional, cuya intersección con es cero. Por tanto, es un complemento invariante de , de modo que se descompone como una suma directa de subespacios irreducibles: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C_{V}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C_{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C_{V}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{V}}$ ${\displaystyle C_{V}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathrm {ker} (V_{C})}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=W\oplus \mathrm {ker} (C_{V})}$.

Aunque esto establece sólo un caso muy especial del resultado deseado, este paso es en realidad el crítico en el argumento general.

Prueba algebraica 3

El teorema se puede deducir de la teoría de los módulos de Verma , que caracteriza un módulo simple como un cociente de un módulo de Verma por un submódulo máximo . ^[10] Este enfoque tiene la ventaja de que puede usarse para debilitar los supuestos de dimensión finita (en álgebra y representación).

Sea una representación de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero. Sea la subálgebra de Borel determinada por la elección de una subálgebra de Cartan y raíces positivas. Dejar . Entonces es un módulo y por lo tanto tiene la descomposición espacial de peso: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}_{+}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V^{0}=\{v\in V|{\mathfrak {n}}_{+}(v)=0\}}$ ${\displaystyle V^{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle V^{0}=\bigoplus _{\lambda \in L}V_{\lambda }^{0}}$

dónde . Para cada uno , seleccione el submódulo generado por y el submódulo generado por . Reclamamos: . Suponer . Según el teorema de Lie , existe un vector de peso en ; por tanto, podemos encontrar un vector de peso tal que para algunos de los generadores de Chevalley . Ahora tiene peso . Dado que está parcialmente ordenado, existe tal que ; es decir, . Pero esto es una contradicción ya que ambos son pesos primitivos (se sabe que los pesos primitivos son incomparables. ^{[ se necesita aclaración ]} ). De manera similar, cada uno es tan simple como un módulo. De hecho, si no es simple, entonces, para algunos , contiene algún vector distinto de cero que no es un vector de mayor peso; De nuevo una contradicción. ^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle L\subset {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda \in L}$ ${\displaystyle 0\neq v_{\lambda }\in V_{\lambda }}$ ${\displaystyle V^{\lambda }\subset V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle v_{\lambda }}$ ${\displaystyle V'\subset V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V^{0}}$ ${\displaystyle V=V'}$ ${\displaystyle V\neq V'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle V/V'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle 0\neq e_{i}(v)\in V'}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}(v)}$ ${\displaystyle \mu +\alpha _{i}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \lambda \in L}$ ${\displaystyle \lambda \geq \mu +\alpha _{i}}$ ${\displaystyle \lambda >\mu }$ ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ ${\displaystyle V^{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mu <\lambda }$ ${\displaystyle V_{\mu }^{0}}$ ${\displaystyle \square }$

enlaces externos

• Una publicación de blog de Akhil Mathew

Referencias

1. Nota editorial: este hecho generalmente se afirma para un campo de característica cero, pero la prueba solo necesita que el campo base sea perfecto.

1. Teorema 10.9 de Hall 2015
2. Jacobson 1979, cap. II, § 5, Teorema 10.
3. Jacobson 1979, cap. III, § 11, Teorema 17.
4. Teorema 6.11 de Knapp 2002
5. Teorema 5.10 de Hall 2015
6. Teorema 4.28 de Hall 2015
7. Jacobson 1979, cap. III, § 7.
8. Salón 2015 Sección 10.3
9. Humphreys 1973 Sección 6.2
10. Kac 1990, Lema 9.5.

• Salón, Brian C. (2015). Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 222 (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-3319134666.
• Humphreys, James E. (1973). Introducción a las álgebras de mentira y la teoría de la representación . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 9 (Segunda impresión, edición revisada). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Jacobson, Nathan (1979). Álgebras de mentira . Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-63832-4.Republicación del original de 1962.
• Kac, Víctor (1990). Álgebras de Lie de dimensión infinita (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-46693-8.
• Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de mentiras más allá de una introducción , Progress in Mathematics, vol. 140 (2ª ed.), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5
• Weibel, Charles A. (1995). Introducción al álgebra homológica . Prensa de la Universidad de Cambridge.