En matemáticas , el truco unitario (o truco unitario ) es un recurso de la teoría de la representación de grupos de Lie , introducido por Adolf Hurwitz (1897) para el grupo lineal especial y por Hermann Weyl para los grupos semisimples generales . Se aplica para mostrar que la teoría de representación de algún grupo de Lie complejo G está controlada de manera cualitativa por la de algún grupo de Lie real compacto K, y la última teoría de representación es más fácil. Un ejemplo importante es aquel en el que G es el grupo lineal general complejo GL n ( C ) y K el grupo unitario U ( n ) que actúa sobre vectores del mismo tamaño. Del hecho de que las representaciones de K son completamente reducibles , se concluye lo mismo para las representaciones analíticas complejas de G , al menos en dimensiones finitas.
La relación entre G y K que impulsa esta conexión se expresa tradicionalmente en los términos de que el álgebra de Lie de K es una forma real de la de G. En la teoría de grupos algebraicos , también se puede plantear la relación de que K es un subconjunto denso de G , para la topología de Zariski .
El truco funciona para grupos de Lie reductivos G , de los cuales un caso importante son los grupos de Lie semisimples .
El "truco" se expresa de diversas formas en las matemáticas contemporáneas. Una de esas formulaciones es para G un grupo reductivo sobre los números complejos. Entonces G an , los puntos complejos de G considerados como un grupo de Lie, tienen un subgrupo compacto K que es denso en Zariski. [1] Para el caso del grupo lineal especial, este resultado fue demostrado para su subgrupo unitario especial por Issai Schur (1924, presagiado por un trabajo anterior). [2] El grupo lineal especial es un grupo de Lie complejo semisimple. Para cualquier grupo G y subgrupo compacto máximo K , y V, un espacio vectorial complejo de dimensión finita que es un G -módulo, sus G -submódulos y K -submódulos son los mismos. [3]
En la Enciclopedia de Matemáticas , la formulación es
Los grupos de Lie compactos clásicos... tienen las mismas representaciones lineales complejas y los mismos subespacios invariantes en espacios tensoriales que sus envolventes complejas [...]. Por lo tanto, los resultados de la teoría de representaciones lineales obtenidos para los grupos de Lie complejos clásicos pueden trasladarse a los grupos compactos correspondientes y viceversa. [4]
En términos del formalismo tannakiano , Claude Chevalley interpretó la dualidad de Tannaka a partir de un grupo K de Lie compacto como la construcción de la "envoltura compleja" G como el grupo algebraico reductivo dual Tn(K) sobre los números complejos. [5] Veeravalli S. Varadarajan escribió sobre el "truco unitario" como "la correspondencia canónica entre grupos compactos y complejos semisimples descubiertos por Weyl", destacando las "teorías de la dualidad estrechamente relacionadas de Chevalley y Tannaka", y los desarrollos posteriores que siguieron. grupos cuánticos . [6]
Adolf Hurwitz había demostrado cómo la integración sobre un grupo de Lie compacto podría usarse para construir invariantes, en los casos de grupos unitarios y grupos ortogonales compactos . Issai Schur en 1924 demostró que esta técnica se puede aplicar para mostrar la reducibilidad completa de las representaciones de tales grupos mediante la construcción de un producto interno invariante. Weyl extendió el método de Schur a álgebras de Lie semisimples complejas demostrando que tenían una forma real compacta . [7]
La reducibilidad completa de representaciones lineales de dimensión finita de grupos compactos, o grupos de Lie semisimples conectados y álgebras de Lie semisimples complejas , a veces se denomina teorema de Weyl . [8] Un resultado relacionado, que la cobertura universal de un grupo de Lie compacto semisimple también es compacto, también lleva el mismo nombre. Weyl lo demostró unos años antes de que la "cobertura universal" tuviera una definición formal. [9] [10]