En matemáticas , la representación de Steinberg , o módulo de Steinberg o carácter de Steinberg , denotado por St , es una representación lineal particular de un grupo algebraico reductivo sobre un campo finito o campo local , o un grupo con un par BN . Es análogo a la representación de signos unidimensional ε de un grupo de Coxeter o Weyl que lleva todas las reflexiones a –1.
Para grupos sobre campos finitos, estas representaciones fueron introducidas por Robert Steinberg (1951, 1956, 1957), primero para los grupos lineales generales, luego para los grupos clásicos y luego para todos los grupos de Chevalley , con una construcción que se generalizó inmediatamente a los demás grupos. de tipo Lie que fueron descubiertos poco después por Steinberg, Suzuki y Ree. Sobre un campo finito de característica p , la representación de Steinberg tiene un grado igual a la mayor potencia de p que divide el orden del grupo.
La representación de Steinberg es el dual Alvis-Curtis de la representación trivial unidimensional.
Matsumoto (1969), Shalika (1970) y Harish-Chandra (1973) definieron representaciones de Steinberg análogas (a veces llamadas representaciones especiales ) para grupos algebraicos sobre campos locales . Para el grupo lineal general GL(2), la dimensión del módulo de Jacquet de una representación especial es siempre uno.
La representación de Steinberg de un grupo finito.
- El valor del carácter de St en un elemento g es igual, hasta el signo, al orden de un subgrupo de Sylow del centralizador de g si g tiene orden primo con respecto a p , y es cero si el orden de g es divisible por p .
- La representación de Steinberg es igual a una suma alterna de todos los subgrupos parabólicos que contienen un subgrupo de Borel , de la representación inducida a partir de la representación de identidad del subgrupo parabólico. [1]
- La representación de Steinberg es regular y unipotente , y es la única representación unipotente regular irreducible (para el primo p dado ).
- La representación de Steinberg se utiliza en la prueba del teorema de Haboush (la conjetura de Mumford).
La mayoría de los grupos finitos simples tienen exactamente una representación de Steinberg. Unos cuantos tienen más de uno porque son grupos de tipo Lie en más de un sentido. Para grupos simétricos (y otros grupos de Coxeter), la representación de signos es análoga a la representación de Steinberg. Algunos de los grupos simples esporádicos actúan como grupos de permutación doblemente transitivos, por lo que tienen un par BN para el cual se puede definir una representación de Steinberg, pero para la mayoría de los grupos esporádicos no se conoce ningún análogo.
La representación de Steinberg de un grupo p -ádico
Matsumoto (1969), Shalika (1970) y Harish-Chandra (1973) introdujeron representaciones de Steinberg para grupos algebraicos sobre campos locales . Casselman (1973) demostró que las diferentes formas de definir las representaciones de Steinberg son equivalentes. Borel y Serre (1976) y Borel (1976) mostraron cómo realizar la representación de Steinberg en el grupo de cohomología H.lc
( X ) del edificio Bruhat-Tits del grupo.
Referencias
- ^ (Cotner 2021, [1])error de harv: sin destino: CITEREFCotner2021 ( ayuda )
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