Unipotente

En matemáticas , un elemento unipotente ^[1] r de un anillo R es aquel tal que r  − 1 es un elemento nilpotente ; en otras palabras, ( r  − 1) ⁿ es cero para algún n .

En particular, una matriz cuadrada M es una matriz unipotente si y solo si su polinomio característico P ( t ) es una potencia de t  − 1. Por lo tanto, todos los valores propios de una matriz unipotente son 1.

El término cuasi-unipotente significa que alguna potencia es unipotente, por ejemplo para una matriz diagonalizable con valores propios que son todos raíces de la unidad .

En la teoría de grupos algebraicos , un elemento de un grupo es unipotente si actúa unipotentemente en una determinada representación de grupo natural . Un grupo algebraico afín unipotente es entonces un grupo con todos los elementos unipotentes.

Definición

Definición con matrices

Consideremos el grupo de matrices triangulares superiores con 's a lo largo de la diagonal, por lo que son el grupo de matrices ^[2] ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&\cdots &*&*\\0&1&\cdots &*&*\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&*\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}\right\}.}$

Entonces, un grupo unipotente puede definirse como un subgrupo de algún . Utilizando la teoría de esquemas, el grupo puede definirse como el esquema de grupo ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \!\left[x_{11},x_{12},\ldots ,x_{nn},{\frac {1}{\text{det}}}\right]}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\right)}$

y un esquema de grupo afín es unipotente si es un esquema de grupo cerrado de este esquema.

Definición con teoría de anillos

Un elemento x de un grupo algebraico afín es unipotente cuando su operador de traslación derecha asociado, r _x , en el anillo de coordenadas afines A [ G ] de G es localmente unipotente como un elemento del anillo de endomorfismo lineal de A [ G ]. (Localmente unipotente significa que su restricción a cualquier subespacio estable de dimensión finita de A [ G ] es unipotente en el sentido habitual de la teoría de anillos).

Un grupo algebraico afín se denomina unipotente si todos sus elementos son unipotentes. Cualquier grupo algebraico unipotente es isomorfo a un subgrupo cerrado del grupo de matrices triangulares superiores con entradas diagonales 1, y a la inversa, cualquier subgrupo de este tipo es unipotente. En particular, cualquier grupo unipotente es un grupo nilpotente , aunque lo inverso no es cierto (contraejemplo: las matrices diagonales de GL _n ( k )).

Por ejemplo, la representación estándar de sobre con base estándar tiene el vector fijo . ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ ${\displaystyle k^{n}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle e_{1}}$

Definición con teoría de la representación

Si un grupo unipotente actúa sobre una variedad afín , todas sus órbitas están cerradas, y si actúa linealmente sobre un espacio vectorial de dimensión finita , entonces tiene un vector fijo distinto de cero. De hecho, esta última propiedad caracteriza a los grupos unipotentes. ^[2] En particular, esto implica que no hay representaciones semisimples no triviales .

Ejemplos

túnorte

Por supuesto, el grupo de matrices es unipotente. Utilizando la serie central inferior ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\mathbb {U} _{n}^{(0)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(1)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e}$

dónde

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(1)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}]}$y ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(2)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}^{(1)}]}$

Existen grupos unipotentes asociados. Por ejemplo, en , las series centrales son los grupos matriciales. ${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle \mathbb {U} _{4}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$, , , y ${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(1)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&*&*\\0&1&0&*\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(2)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&*\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(3)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

Dados algunos ejemplos inducidos de grupos unipotentes.

GRAMOanorte

El grupo aditivo es un grupo unipotente a través de la incrustación. ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

${\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$

Observe que la multiplicación de matrices da

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&b\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&a+b\\0&1\end{bmatrix}}}$

Por lo tanto, se trata de una incrustación de grupo. En términos más generales, hay una incrustación del mapa. ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}^{n}\to \mathbb {U} _{n+1}}$

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\,\mapsto {\begin{bmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}&a_{n}\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}}$

Usando la teoría de esquemas, viene dado por el functor ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}:{\textbf {Sch}}^{op}\to {\textbf {Sets}}}$

dónde

${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(X)}$

Núcleo de Frobenius

Considere el funtor en la subcategoría , existe el subfuntor donde ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Sch}}/\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \alpha _{p}(X)=\{x\in {\mathcal {O}}(X):x^{p}=0\}}$

Así lo da el núcleo del endomorfismo de Frobenius .

Clasificación de grupos unipotentes según característica 0

Sobre la característica 0 hay una bonita clasificación de los grupos algebraicos unipotentes con respecto a las álgebras de Lie nilpotentes . Recordemos que un álgebra de Lie nilpotente es una subálgebra de algún tal que la acción adjunta iterada termina eventualmente en la función cero. En términos de matrices, esto significa que es una subálgebra de , las matrices con para . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{n}}$ ${\displaystyle a_{ij}=0}$ ${\displaystyle i\leq j}$

Entonces, hay una equivalencia de categorías de álgebras de Lie nilpotentes de dimensión finita y grupos algebraicos unipotentes. ^{[2] página 261} Esto se puede construir utilizando la serie Baker–Campbell–Hausdorff , donde dada un álgebra de Lie nilpotente de dimensión finita, la función ${\displaystyle H(X,Y)}$

${\displaystyle H:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}{\text{ where }}(X,Y)\mapsto H(X,Y)}$

da una estructura de grupo algebraico unipotente en . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

En la otra dirección, la función exponencial convierte cualquier matriz cuadrada nilpotente en una matriz unipotente. Además, si U es un grupo unipotente conmutativo, la función exponencial induce un isomorfismo del álgebra de Lie de U a U misma.

Observaciones

Los grupos unipotentes sobre un campo algebraicamente cerrado de cualquier dimensión dada pueden, en principio, clasificarse, pero en la práctica la complejidad de la clasificación aumenta muy rápidamente con la dimensión, de modo que la gente ^{[ ¿quién? ]} tiende a darse por vencido en algún punto alrededor de la dimensión 6.

Radical unipotente

El radical unipotente de un grupo algebraico G es el conjunto de elementos unipotentes en el radical de G . Es un subgrupo normal unipotente conexo de G y contiene todos los demás subgrupos de ese tipo. Un grupo se denomina reductivo si su radical unipotente es trivial. Si G es reductivo, entonces su radical es un toro.

Descomposición de grupos algebraicos

Los grupos algebraicos se pueden descomponer en grupos unipotentes, grupos multiplicativos y variedades abelianas , pero el enunciado de cómo se descomponen depende de la característica de su cuerpo base .

Característica 0

Sobre la característica 0 existe un bonito teorema de descomposición de un grupo algebraico que relaciona su estructura con la estructura de un grupo algebraico lineal y una variedad abeliana . Existe una breve secuencia exacta de grupos ^{[3] página 8} ${\displaystyle G}$

${\displaystyle 0\to M\times U\to G\to A\to 0}$

donde es una variedad abeliana, es de tipo multiplicativo (es decir, es, geométricamente, un producto de toros y grupos algebraicos de la forma ) y es un grupo unipotente. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle U}$

Característicapag

Cuando la característica del cuerpo base es p hay una afirmación análoga ^[3] para un grupo algebraico : existe un subgrupo más pequeño tal que ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

1. ${\displaystyle G/H}$es un grupo unipotente
2. ${\displaystyle H}$es una extensión de una variedad abeliana por un grupo de tipo multiplicativo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$
3. ${\displaystyle M}$es único hasta la conmensurabilidad en y es único hasta la isogenia . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$

Descomposición de Jordania

Cualquier elemento g de un grupo algebraico lineal sobre un cuerpo perfecto puede escribirse de forma única como el producto g = g _u   g _s de los elementos unipotentes y semisimples conmutativos g _u y g _s . En el caso del grupo GL _n ( C ), esto dice esencialmente que cualquier matriz compleja invertible es conjugada al producto de una matriz diagonal y una triangular superior, que es (más o menos) la versión multiplicativa de la descomposición de Jordan-Chevalley .

También existe una versión de la descomposición de Jordan para grupos: cualquier grupo algebraico lineal conmutativo sobre un cuerpo perfecto es el producto de un grupo unipotente y un grupo semisimple.

Véase también

• Grupo reductivo
• Representación unipotente
• Teoría de Deligne-Lusztig

Referencias

1. "Elemento unipotente - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 23 de septiembre de 2024 .
2. Milne, JS Grupos algebraicos lineales (PDF) . págs. 252–253, Grupos algebraicos unipotentes.
3. Brion, Michel (27 de septiembre de 2016). "Grupos algebraicos conmutativos hasta la isogenia". arXiv : 1602.00222 [math.AG].

• A. Borel, Grupos algebraicos lineales , ISBN 0-387-97370-2 
• Borel, Armand (1956), "Groupes linéaires algébriques", Annals of Mathematics , segunda serie, 64 (1), Annals of Mathematics: 20–82, doi :10.2307/1969949, JSTOR  1969949
• Popov, VL (2001) [1994], "Elemento unipotente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Popov, VL (2001) [1994], "grupo unipotente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Suprunenko, DA (2001) [1994], "Matriz unipotente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press