Semi-simplicidad

En matemáticas, la semisimplicidad es un concepto muy extendido en disciplinas como el álgebra lineal , el álgebra abstracta , la teoría de la representación , la teoría de categorías y la geometría algebraica . Un objeto semisimple es aquel que se puede descomponer en una suma de objetos simples , y los objetos simples son aquellos que no contienen subobjetos propios no triviales. Las definiciones precisas de estas palabras dependen del contexto.

Por ejemplo, si G es un grupo finito , entonces se dice que una representación finito-dimensional no trivial V sobre un cuerpo es simple si las únicas subrepresentaciones que contiene son {0} o V (estas también se denominan representaciones irreducibles ). Ahora bien, el teorema de Maschke dice que cualquier representación finito-dimensional de un grupo finito es una suma directa de representaciones simples (siempre que la característica del cuerpo base no divida el orden del grupo). Por lo tanto, en el caso de grupos finitos con esta condición, toda representación finito-dimensional es semi-simple. Especialmente en álgebra y teoría de la representación, la "semi-simplicidad" también se denomina reducibilidad completa . Por ejemplo, el teorema de Weyl sobre reducibilidad completa dice que una representación finito-dimensional de un grupo de Lie compacto semisimple es semisimple.

Se dice que una matriz cuadrada (en otras palabras, un operador lineal con V como un espacio vectorial de dimensión finita) es simple si sus únicos subespacios lineales invariantes bajo T son {0} y V . Si el cuerpo es algebraicamente cerrado (como los números complejos ), entonces las únicas matrices simples son de tamaño 1 por 1. Una matriz semisimple es una que es similar a una suma directa de matrices simples ; si el cuerpo es algebraicamente cerrado, esto es lo mismo que ser diagonalizable . ${\displaystyle T:V\to V}$

Estas nociones de semisimplicidad pueden unificarse utilizando el lenguaje de módulos semisimples y generalizarse a categorías semisimples .

Ejemplo introductorio de espacios vectoriales

Si se consideran todos los espacios vectoriales (sobre un cuerpo , como los números reales ), los espacios vectoriales simples son aquellos que no contienen subespacios propios no triviales. Por lo tanto, los espacios vectoriales unidimensionales son los simples. Por lo tanto, es un resultado básico del álgebra lineal que cualquier espacio vectorial de dimensión finita es la suma directa de espacios vectoriales simples; en otras palabras, todos los espacios vectoriales de dimensión finita son semisimples.

Matrices semisimples

Una matriz cuadrada o, equivalentemente, un operador lineal T en un espacio vectorial de dimensión finita V se denomina semisimple si cada subespacio invariante T tiene un subespacio invariante T complementario . ^{[1] [2]} Esto es equivalente a que el polinomio mínimo de T sea libre de cuadrados.

Para espacios vectoriales sobre un cuerpo algebraicamente cerrado F , la semisimplicidad de una matriz es equivalente a la diagonalizabilidad . ^[1] Esto se debe a que dicho operador siempre tiene un vector propio; si es, además, semisimple, entonces tiene un hiperplano invariante complementario , que a su vez tiene un vector propio, y por lo tanto por inducción es diagonalizable. Por el contrario, es fácil ver que los operadores diagonalizables son semisimples, ya que los subespacios invariantes son sumas directas de espacios propios, y cualquier base propia para este subespacio se puede extender a una base propia del espacio completo.

Módulos y anillos semi-simples

Para un anillo fijo R , un R -módulo no trivial M es simple, si no tiene submódulos distintos de 0 y M . Un R -módulo M es semi-simple si cada R -submódulo de M es un R -módulo sumando directo de M (el módulo trivial 0 es semi-simple, pero no simple). Para un R -módulo M , M es semi-simple si y solo si es la suma directa de módulos simples (el módulo trivial es la suma directa vacía). Finalmente, R se llama un anillo semi-simple si es semi-simple como un R -módulo. Como resulta, esto es equivalente a requerir que cualquier R -módulo M finitamente generado sea semi-simple. ^[3]

Ejemplos de anillos semisimples incluyen cuerpos y, más generalmente, productos directos finitos de cuerpos. Para un grupo finito G el teorema de Maschke afirma que el anillo de grupo R [ G ] sobre algún anillo R es semisimple si y solo si R es semisimple y | G | es invertible en R . Dado que la teoría de módulos de R [ G ] es la misma que la teoría de representación de G sobre R -módulos, este hecho es una dicotomía importante, que hace que la teoría de representación modular , es decir, el caso cuando | G | divide la característica de R sea más difícil que el caso cuando | G | no divide la característica, en particular si R es un cuerpo de característica cero. Por el teorema de Artin-Wedderburn , un anillo artiniano unital R es semisimple si y solo si es (isomorfo a) , donde cada uno es un anillo de división y es el anillo de matrices n -por- n con entradas en D . ${\displaystyle M_{n_{1}}(D_{1})\times M_{n_{2}}(D_{2})\times \cdots \times M_{n_{r}}(D_{r})}$ ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle M_{n}(D)}$

Un operador T es semisimple en el sentido anterior si y sólo si la subálgebra generada por las potencias (es decir, iteraciones) de T dentro del anillo de endomorfismos de V es semisimple. ${\displaystyle F[T]\subseteq \operatorname {End} _{F}(V)}$

Como se indicó anteriormente, la teoría de anillos semisimples es mucho más sencilla que la de anillos generales. Por ejemplo, cualquier secuencia corta exacta

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

de módulos sobre un anillo semisimple debe desdoblarse, es decir, . Desde el punto de vista del álgebra homológica , esto significa que no hay extensiones no triviales . El anillo Z de números enteros no es semisimple: Z no es la suma directa de n Z y Z / n . ${\displaystyle M\cong M'\oplus M''}$

Categorías semi-simples

Muchas de las nociones anteriores de semisimplicidad se recuperan mediante el concepto de una categoría semisimple C . Brevemente, una categoría es una colección de objetos y aplicaciones entre dichos objetos, siendo la idea que las aplicaciones entre los objetos preservan cierta estructura inherente a estos objetos. Por ejemplo, los R -módulos y las aplicaciones R -lineales entre ellos forman una categoría, para cualquier anillo R .

Una categoría abeliana ^[4] C se llama semisimple si existe una colección de objetos simples , es decir, aquellos que no tienen ningún subobjeto distinto del objeto cero 0 y él mismo, de modo que cualquier objeto X es la suma directa (es decir, coproducto o, equivalentemente, producto) de un número finito de objetos simples. Del lema de Schur se deduce que el anillo de endomorfismo ${\displaystyle X_{\alpha }\in C}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{C}(X)=\operatorname {Hom} _{C}(X,X)}$

en una categoría semi-simple es un producto de anillos matriciales sobre anillos de división, es decir, semi-simple.

Además, un anillo R es semisimple si y sólo si la categoría de módulos R finitamente generados es semisimple.

Un ejemplo de la teoría de Hodge es la categoría de estructuras de Hodge puras polarizables , es decir, estructuras de Hodge puras equipadas con una forma bilineal definida positiva adecuada . La presencia de esta denominada polarización hace que la categoría de estructuras de Hodge polarizables sea semisimple. ^[5] Otro ejemplo de la geometría algebraica es la categoría de motivos puros de variedades proyectivas suaves sobre un cuerpo k módulo una relación de equivalencia adecuada . Como fue conjeturado por Grothendieck y mostrado por Jannsen , esta categoría es semisimple si y solo si la relación de equivalencia es equivalencia numérica . ^[6] Este hecho es una piedra angular conceptual en la teoría de motivos. ${\displaystyle \operatorname {Mot} (k)_{\sim }}$ ${\displaystyle \sim }$

Las categorías abelianas semisimples también surgen de una combinación de una estructura t y una estructura de peso (adecuadamente relacionada) en una categoría triangulada . ^[7]

La semisimplicidad en la teoría de la representación

Se puede preguntar si la categoría de representaciones de dimensión finita de un grupo o de un álgebra de Lie es semisimple, es decir, si toda representación de dimensión finita se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles. La respuesta, en general, es no. Por ejemplo, la representación de dado por ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \Pi (x)={\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}}$

no es una suma directa de irreducibles. ^[8] (Hay precisamente un subespacio invariante no trivial, el espacio del primer elemento base, .) Por otra parte, si es compacto , entonces cada representación de dimensión finita de admite un producto interno con respecto al cual es unitario, mostrando que se descompone como una suma de irreducibles. ^[9] De manera similar, si es un álgebra de Lie semisimple compleja, cada representación de dimensión finita de es una suma de irreducibles. ^[10] La prueba original de Weyl de esto usó el truco unitario : Cada tal es la complejización del álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto simplemente conexo . Dado que es simplemente conexo, hay una correspondencia biunívoca entre las representaciones de dimensión finita de y de . ^[11] Por lo tanto, se aplica el resultado recién mencionado sobre las representaciones de grupos compactos. También es posible demostrar la semisimplicidad de las representaciones directamente por medios algebraicos, como en la Sección 10.3 del libro de Hall. ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ver también: Categoría Fusión (que son semisimples).

Véase también

• Un álgebra de Lie semisimple es un álgebra de Lie que es una suma directa de álgebras de Lie simples.
• Un grupo algebraico semisimple es un grupo algebraico lineal cuyo radical del componente identidad es trivial.
• Álgebra semisimple
• Representación semisimple

Referencias

1. Lam (2001), pág. 39
2. Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971). "Operadores semisimples". Álgebra lineal (2.ª ed.). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. ISBN 9780135367971.Sr. 0276251  .
3. Lam, Tsit-Yuen (2001). Un primer curso sobre anillos no conmutativos. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 131 (2.ª ed.). Springer. pág. 27. ISBN 0-387-95183-0."(2.5) Teorema y definición"
4. En términos más generales, la misma definición de semisimplicidad funciona para categorías aditivas pseudoabelianas . Véase, por ejemplo, Yves André, Bruno Kahn: Nilpotence, radicaux et structures monoïdales. Con un apéndice de Peter O'Sullivan . Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 108 (2002), 107–291. https://arxiv.org/abs/math/0203273.
5. Peters, Chris AM; Steenbrink, Joseph HM Estructuras mixtas de Hodge . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. Una serie de estudios modernos en matemáticas [Resultados en matemáticas y áreas afines. 3ª Serie. Una serie de estudios modernos en matemáticas], 52. Springer-Verlag, Berlín, 2008. xiv+470 págs. ISBN 978-3-540-77015-2 ; ver Corolario 2.12 
6. Uwe Jannsen: Motivos, equivalencia numérica y semisimplicidad , Invent. math. 107, 447~452 (1992)
7. Bondarko, Mikhail V. (2012), "Estructuras de peso y 'pesos' en el corazón de las t -estructuras", Homology Homotopy Appl. , 14 (1): 239–261, doi : 10.4310/HHA.2012.v14.n1.a12 , Zbl  1251.18006
8. Hall 2015 Ejemplo 4.25
9. Hall 2015 Teorema 4.28
10. Hall 2015 Teorema 10.9
11. Hall 2015 Teorema 5.6

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer

Enlaces externos

• MathOverflow :¿Las categorías tensoriales abelianas no degeneradas son semisimples?
• Categoría semisimple en el laboratorio n