En matemáticas, un grupo pseudo-reductivo sobre un campo k (a veces llamado k -grupo reductor ) es un grupo algebraico afín conectado suave definido sobre k cuyo radical k -unipotente (es decir, el subgrupo k normal unipotente conectado suave más grande ) es trivial . En campos perfectos, estos son lo mismo que los grupos reductivos (conectados) , pero en campos no perfectos, Jacques Tags encontró algunos ejemplos de grupos pseudoreductivos que no son reductivos. Un grupo k pseudoreductivo no necesita ser reductivo (ya que la formación del radical k -unipotente generalmente no conmuta con una extensión escalar no separable en k , como la extensión escalar a una clausura algebraica de k ). Los grupos pseudo-reductivos surgen naturalmente en el estudio de grupos algebraicos sobre campos funcionales de variedades de dimensiones positivas en características positivas (incluso sobre un campo perfecto de constantes).
Springer (1998) ofrece una exposición de los resultados de Tit sobre grupos pseudo-reductivos, mientras que Conrad, Gabber y Prasad (2010) se basan en el trabajo de Tit para desarrollar una teoría de la estructura general, que incluye temas más avanzados como técnicas de construcción, sistemas de raíces y grupos de raíces y celdas abiertas, teoremas de clasificación y aplicaciones a teoremas de conjugación racional para grupos afines conectados suavemente sobre campos arbitrarios. La teoría general (con aplicaciones) a partir de 2010 se resume en Rémy (2011), y el trabajo posterior en la segunda edición de Conrad, Gabber & Prasad (2015) y en Conrad & Prasad (2016) proporciona mayores refinamientos.
Supongamos que k es un cuerpo no perfecto de característica 2 y a es un elemento de k que no es un cuadrado. Sea G el grupo de elementos distintos de cero x + y √ a en k [ √ a ]. Hay un morfismo de G al grupo multiplicativo G m llevando x + y √ a a su norma x 2 – ay 2 , y el núcleo es el subgrupo de elementos de la norma 1. El esquema reducido subyacente del núcleo geométrico es isomorfo a el grupo aditivo Ga y es el radical unipotente de la fibra geométrica de G , pero este esquema de subgrupo reducido de la fibra geométrica no está definido sobre k (es decir, no surge de un subesquema cerrado de G sobre el campo terrestre k ) y el k -radical unipotente de G es trivial. Entonces G es un grupo k pseudoreductivo pero no es un grupo k reductivo . Una construcción similar funciona utilizando una extensión finita puramente inseparable primitiva y no trivial de cualquier campo imperfecto en cualquier característica positiva, con la única diferencia de que la fórmula para el mapa de normas es un poco más complicada que en los ejemplos cuadráticos anteriores.
De manera más general, si K es una extensión finita puramente inseparable no trivial de k y G es cualquier grupo K reductor conectado no trivial definido, entonces la restricción de Weil H = R K / k ( G ) es un grupo k afín conectado suave para lo cual existe un homomorfismo (sobreyectivo) de H K a G . El núcleo de este K -homomorfismo desciende del radical unipotente de la fibra geométrica de H y no está definido sobre k (es decir, no surge de un esquema de subgrupo cerrado de H ), por lo que R K / k ( G ) es pseudo-reductivo pero no reduccionista. El ejemplo anterior es el caso especial que utiliza el grupo multiplicativo y la extensión K = k [ √ a ].
En campos de características mayores que 3, todos los grupos pseudoreductores se pueden obtener a partir de grupos reductores mediante la "construcción estándar", una generalización de la construcción anterior. La construcción estándar implica una elección auxiliar de un grupo pseudoreductivo conmutativo, que resulta ser un subgrupo de Cartan del resultado de la construcción, y la principal complicación para un grupo pseudoreductivo general es que la estructura de los subgrupos de Cartan (que son siempre conmutativos y pseudoreductivos) es misterioso. Los grupos conmutativos pseudo-reductivos no admiten ninguna clasificación útil (en contraste con el caso reductivo conexo, para el cual son tori y por lo tanto son accesibles a través de redes de Galois), pero este módulo tiene una descripción útil de la situación lejos de las características 2 y 3. en términos de grupos reductores sobre algunas extensiones finitas (posiblemente inseparables) del campo terrestre.
Sobre campos imperfectos de las características 2 y 3 existen algunos grupos extra pseudo-reductivos (llamados exóticos) provenientes de la existencia de isogenias excepcionales entre grupos de tipos B y C en la característica 2, entre grupos de tipo F 4 en la característica 2, y entre grupos de tipo G 2 en la característica 3, utilizando una construcción análoga a la de los grupos de Ree . Además, en la característica 2 hay posibilidades adicionales que surgen no de isogenias excepcionales sino más bien del hecho de que para el tipo C simplemente conexo (es decir, grupos simplécticos) hay raíces que son divisibles (por 2) en la red de pesos; esto da lugar a ejemplos cuyo sistema de raíces (sobre un cierre separable del campo terrestre) no está reducido; tales ejemplos existen con un toro máximo dividido y un sistema de raíces irreducible no reducido de cualquier rango positivo sobre cada campo imperfecto de la característica 2. La clasificación en la característica 3 es tan completa como en las características más grandes, pero en la característica 2 la clasificación es más completa. cuando [k:k^2]=2 (debido a complicaciones causadas por los ejemplos con un sistema de raíces no reducido, así como a fenómenos relacionados con ciertas formas cuadráticas degeneradas regulares que sólo pueden existir cuando [k:k^2]> 2 ). El trabajo posterior de Conrad & Prasad (2016), basándose en material adicional incluido en la segunda edición de Conrad, Gabber & Prasad (2015), completa la clasificación en la característica 2 hasta una extensión central controlada al proporcionar una gama exhaustiva de construcciones adicionales que solo existen cuando [k:k^2]>2 , descansando en última instancia en una noción de grupo ortogonal especial adjunto a espacios cuadráticos regulares pero degenerados y no completamente defectuosos en la característica 2.