En matemáticas, un grupo de Ree es un grupo de tipo Lie sobre un campo finito construido por Ree (1960, 1961) a partir de un automorfismo excepcional de un diagrama de Dynkin que invierte la dirección de los enlaces múltiples, generalizando los grupos de Suzuki encontrados por Suzuki usando un método diferente. Fueron las últimas de las infinitas familias de grupos finitos simples en ser descubiertas.
A diferencia de los grupos de Steinberg , los grupos de Ree no están dados por los puntos de un grupo algebraico reductivo conectado definido sobre un campo finito; en otras palabras, no existe un "grupo algebraico de Ree" relacionado con los grupos de Ree de la misma manera que (digamos) los grupos unitarios están relacionados con los grupos de Steinberg. Sin embargo, existen algunos grupos algebraicos pseudo-reductivos exóticos sobre campos no perfectos cuya construcción está relacionada con la construcción de grupos de Ree, ya que utilizan los mismos automorfismos exóticos de los diagramas de Dynkin que cambian la longitud de las raíces.
Tit (1960) definió grupos de Ree sobre campos infinitos de características 2 y 3. Tit (1989) y Hée (1990) introdujeron grupos de Ree de álgebras de Kac-Moody de dimensión infinita .
Si X es un diagrama de Dynkin , Chevalley construyó grupos algebraicos divididos correspondientes a X , en particular dando grupos X ( F ) con valores en un campo F. Estos grupos tienen los siguientes automorfismos:
Los grupos de Steinberg y Chevalley pueden construirse como puntos fijos de un endomorfismo de X ( F ) para F, la clausura algebraica de un campo. Para los grupos de Chevalley, el automorfismo es el endomorfismo de Frobenius de F , mientras que para los grupos de Steinberg el automorfismo es el endomorfismo de Frobenius multiplicado por un automorfismo del diagrama de Dynkin.
Sobre campos de característica 2 los grupos B 2 ( F ) y F 4 ( F ) y sobre campos de característica 3 los grupos G 2 ( F ) tienen un endomorfismo cuyo cuadrado es el endomorfismo α φ asociado al endomorfismo de Frobenius φ del campo F. En términos generales, este endomorfismo α π proviene del automorfismo de orden 2 del diagrama de Dynkin donde se ignoran las longitudes de las raíces.
Supongamos que el campo F tiene un endomorfismo σ cuyo cuadrado es el endomorfismo de Frobenius: σ 2 = φ . Entonces el grupo Ree se define como el grupo de elementos g de X ( F ) tal que α π ( g ) = α σ ( g ) . Si el campo F es perfecto entonces α π y α φ son automorfismos, y el grupo de Ree es el grupo de puntos fijos de la involución α φ /α π de X ( F ) .
En el caso de que F sea un campo finito de orden p k (con p = 2 o 3) existe un endomorfismo con cuadrado de Frobenius exactamente cuando k = 2 n + 1 es impar, en cuyo caso es único. Entonces esto da los grupos finitos de Ree como subgrupos de B 2 (2 2 n +1 ), F 4 (2 2 n +1 ) y G 2 (3 2 n +1 ) fijados por una involución.
La relación entre los grupos Chevalley, el grupo Steinberg y los grupos Ree es aproximadamente la siguiente. Dado un diagrama X de Dynkin , Chevalley construyó un esquema de grupo sobre los números enteros Z cuyos valores sobre campos finitos son los grupos de Chevalley. En general, se pueden tomar los puntos fijos de un endomorfismo α de X ( F ) donde F es la clausura algebraica de un campo finito, de modo que alguna potencia de α es alguna potencia del endomorfismo de Frobenius φ. Los tres casos son los siguientes:
Los grupos Ree de tipo 2 B 2 fueron encontrados por primera vez por Suzuki (1960) utilizando un método diferente y generalmente se denominan grupos Suzuki . Ree notó que se podían construir a partir de grupos de tipo B 2 utilizando una variación de la construcción de Steinberg (1959). Ree se dio cuenta de que se podía aplicar una construcción similar a los diagramas de Dynkin F 4 y G 2 , dando lugar a dos nuevas familias de grupos finitos simples.
Los grupos de Ree de tipo 2 G 2 (3 2 n +1 ) fueron introducidos por Ree (1960), quien demostró que todos son simples excepto el primero 2 G 2 (3), que es isomorfo al grupo de automorfismo de SL 2 (8) . Wilson (2010) dio una construcción simplificada de los grupos de Ree, como los automorfismos de un espacio vectorial de 7 dimensiones sobre el campo con 3 2 n +1 elementos que conservan una forma bilineal, una forma trilineal y un producto que satisface una ley de linealidad retorcida. .
El grupo Ree tiene orden q 3 ( q 3 + 1)( q − 1) donde q = 3 2 n +1
El multiplicador de Schur es trivial para n ≥ 1 y para 2 G 2 (3)′.
El grupo de automorfismo externo es cíclico de orden 2 n + 1.
El grupo Ree también se denota ocasionalmente por Ree( q ), R( q ) o E 2 * ( q ).
El grupo de Ree 2 G 2 ( q ) tiene una representación de permutación doblemente transitiva en q 3 + 1 puntos, y más precisamente actúa como automorfismos de un sistema Steiner S(2, q +1, q 3 +1) . También actúa sobre un espacio vectorial de 7 dimensiones sobre el campo con q elementos ya que es un subgrupo de G 2 ( q ).
Los subgrupos de 2 sylow de los grupos de Ree son abelianos elementales de orden 8. El teorema de Walter muestra que los únicos otros grupos finitos simples no abelianos con 2 subgrupos abelianos de Sylow son los grupos lineales especiales proyectivos en dimensión 2 y el grupo de Janko J1 . Estos grupos también desempeñaron un papel en el descubrimiento del primer grupo esporádico moderno. Tienen centralizadores de involución de la forma Z /2 Z × PSL 2 ( q ) , y al investigar grupos con un centralizador de involución de la forma similar Z /2 Z × PSL 2 (5) Janko encontró el grupo esporádico J 1 . Kleidman (1988) determinó sus subgrupos máximos.
Los grupos Ree de tipo 2 G 2 son excepcionalmente difíciles de caracterizar. Thompson (1967, 1972, 1977) estudió este problema y pudo demostrar que la estructura de tal grupo está determinada por un cierto automorfismo σ de un campo finito de característica 3, y que si el cuadrado de este automorfismo es el de Frobenius automorfismo entonces el grupo es el grupo de Ree. También dio algunas condiciones complicadas satisfechas por el automorfismo σ . Finalmente Bombieri (1980) utilizó la teoría de la eliminación para demostrar que las condiciones de Thompson implicaban que σ 2 = 3 en todos menos en 178 casos pequeños, que fueron eliminados usando una computadora por Odlyzko y Hunt. Bombieri se enteró de este problema después de leer un artículo sobre la clasificación de Gorenstein (1979), quien sugirió que alguien ajeno a la teoría de grupos podría ayudar a resolverlo. Enguehard (1986) dio una explicación unificada de la solución de este problema por parte de Thompson y Bombieri.
Los grupos Ree de tipo 2 F 4 (2 2 n +1 ) fueron introducidos por Ree (1961). Son simples excepto el primero 2 F 4 (2) , que Tetas (1964) demostró que tiene un subgrupo simple de índice 2, ahora conocido como grupo de Tetas . Wilson (2010b) dio una construcción simplificada de los grupos de Ree como las simetrías de un espacio de 26 dimensiones sobre el campo de orden 2 2 n +1 preservando una forma cuadrática, una forma cúbica y una multiplicación parcial.
El grupo de Ree 2 F 4 (2 2 n +1 ) tiene orden q 12 ( q 6 + 1 ) ( q 4 − 1 ) ( q 3 + 1 ) ( q − 1 ) donde q = 2 2 n +1 . El multiplicador de Schur es trivial. El grupo de automorfismo externo es cíclico de orden 2 n + 1.
Estos grupos Ree tienen la inusual propiedad de que el grupo Coxeter de su par BN no es cristalográfico: es el grupo diédrico de orden 16. Tits (1983) demostró que todos los octágonos de Moufang provienen de grupos Ree de tipo 2 F 4 .
