Familia infinita de grupos simples de tipo Lie.
En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , los grupos de Suzuki , denotados por Sz(2 2 n +1 ), 2 B 2 (2 2 n +1 ), Suz(2 2 n +1 ), o G (2 2 n +1 ), forman una familia infinita de grupos de tipo Lie encontrada por Suzuki (1960), que son simples para n ≥ 1. Estos grupos simples son los únicos finitos no abelianos con órdenes no divisibles por 3.
Construcciones
suzuki
Suzuki (1960) construyó originalmente los grupos de Suzuki como subgrupos de SL 4 ( F 2 2 n +1 ) generados por ciertas matrices explícitas.
ree
Ree observó que los grupos de Suzuki eran los puntos fijos de automorfismos excepcionales de algunos grupos simplécticos de dimensión 4, y utilizó esto para construir dos familias más de grupos simples, llamados grupos de Ree . En el caso más bajo el grupo simpléctico B 2 (2)≈ S 6 ; su automorfismo excepcional fija el subgrupo Sz(2) o 2 B 2 (2), de orden 20. Ono (1962) dio una exposición detallada de la observación de Ree.
Tetas
Tits (1962) construyó los grupos de Suzuki como las simetrías de un determinado ovoide en un espacio proyectivo tridimensional sobre un campo de característica 2.
wilson
Wilson (2010) construyó los grupos de Suzuki como el subgrupo del grupo simpléctico en 4 dimensiones preservando un determinado producto en pares de vectores ortogonales.
Propiedades
Sea q = 2 2 n +1 y r = 2 n , donde n es un número entero no negativo.
Los grupos de Suzuki Sz( q ) o 2 B 2 ( q ) son simples para n ≥1. El grupo Sz(2) tiene solución y es el grupo de Frobenius de orden 20.
Los grupos de Suzuki Sz( q ) tienen órdenes q 2 ( q 2 +1)( q −1). Estos grupos tienen órdenes divisibles por 5, pero no por 3.
El multiplicador de Schur es trivial para n >1, 4 grupos de Klein para n =1, es decir, Sz(8).
El grupo de automorfismos externo es cíclico de orden 2 n +1, dado por automorfismos del campo de orden q .
El grupo Suzuki son grupos de Zassenhaus que actúan sobre conjuntos de tamaño (2 2 n +1 ) 2 +1 y tienen representaciones de 4 dimensiones sobre el campo con 2 2 n +1 elementos.
Los grupos Suzuki son grupos CN : el centralizador de cada elemento no trivial es nilpotente .
Subgrupos
Cuando n es un entero positivo, Sz( q ) tiene al menos 4 tipos de subgrupos máximos.
El subgrupo diagonal es cíclico, de orden q – 1.
- El subgrupo triangular inferior (Borel) y sus conjugados, de orden q 2 ·( q -1). Son estabilizadores de un punto en una representación de permutación doblemente transitiva de Sz( q ).
- El grupo diédrico D q –1 , normalizador del subgrupo diagonal, y conjugados.
- C q +2 r +1 :4
- C q –2 r +1 :4
- Grupos Suzuki más pequeños, cuando 2 n +1 es compuesto.
Ya sea q +2 r +1 o q –2 r +1 es divisible por 5, de modo que Sz( q ) contiene el grupo de Frobenius C 5 :4.
Clases de conjugación
Suzuki (1960) demostró que el grupo Suzuki tiene q +3 clases de conjugación. De estos, q +1 son fuertemente reales y los otros dos son clases de elementos de orden 4.
- q 2 +1 Sylow 2-subgrupos de orden q 2 , de índice q –1 en sus normalizadores. 1 clase de elementos de orden 2, 2 clases de elementos de orden 4.
- q 2 ( q 2 +1)/2 subgrupos cíclicos de orden q –1, de índice 2 en sus normalizadores. Estos representan clases de conjugación ( q –2)/2 de elementos no triviales.
- Subgrupos cíclicos de orden q +2 r +1, de índice 4 en sus normalizadores. Estos representan ( q +2 r )/4 clases de conjugación de elementos no triviales.
- Subgrupos cíclicos de orden q –2 r +1, de índice 4 en sus normalizadores. Estos representan ( q –2 r )/4 clases de conjugación de elementos no triviales.
Los normalizadores de todos estos subgrupos son grupos de Frobenius.
Caracteres
Suzuki (1960) demostró que el grupo Suzuki tiene q +3 representaciones irreducibles sobre los números complejos, 2 de las cuales son complejas y el resto son reales. Se dan de la siguiente manera:
- El carácter trivial del grado 1.
- La representación de Steinberg de grado q 2 , procedente de la representación de permutación doblemente transitiva.
- ( q –2)/2 caracteres de grado q 2 +1
- Dos caracteres complejos de grado r ( q –1) donde r =2 n
- ( q +2 r )/4 caracteres de grado ( q –2 r +1)( q –1)
- ( q –2 r )/4 caracteres de grado ( q +2 r +1)( q –1).
Referencias
- Nouacer, Ziani (1982), "Caractères et sous-groupes des groupes de Suzuki", Diagrammes , 8 : ZN1–ZN29, ISSN 0224-3911, SEÑOR 0780446
- Ono, Takashi (1962), "Una identificación de grupos Suzuki con grupos de tipo Lie generalizado", Annals of Mathematics , Second Series, 75 (2): 251–259, doi :10.2307/1970173, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970173, señor 0132780
- Suzuki, Michio (1960), "Un nuevo tipo de grupos simples de orden finito", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 46 (6): 868–870, Bibcode :1960PNAS...46. .868S, doi : 10.1073/pnas.46.6.868 , ISSN 0027-8424, JSTOR 70960, MR 0120283, PMC 222949 , PMID 16590684
- Suzuki, Michio (1962), "Sobre una clase de grupos doblemente transitivos", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 75 (1): 105–145, doi :10.2307/1970423, hdl : 2027/mdp.39015095249804 , ISSN 0003- 486X, JSTOR 1970423, SEÑOR 0136646
- Tetas, Jacques (1962), "Ovoïdes et groupes de Suzuki", Archiv der Mathematik , 13 : 187–198, doi :10.1007/BF01650065, ISSN 0003-9268, MR 0140572, S2CID 121482873
- Wilson, Robert A. (2010), "Un nuevo enfoque para los grupos Suzuki", Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 148 (3): 425–428, doi :10.1017/S0305004109990399, ISSN 0305-0041, SEÑOR 2609300, S2CID 18046565
enlaces externos
- http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/exc/Sz8/
- http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/exc/Sz32/
