En la teoría de Lie y la teoría de la representación , la descomposición de Levi , conjeturada por Wilhelm Killing [1] y Élie Cartan [2] y demostrada por Eugenio Elia Levi (1905), establece que cualquier álgebra de Lie real de dimensión finita [ aclaración necesaria ] {Cambiar álgebra de Lie real a un álgebra de Lie sobre un cuerpo de característica 0} El álgebra de Lie g es el producto semidirecto de un ideal resoluble y un subálgebra semisimple . Uno es su radical , un ideal resoluble maximal, y el otro es un subálgebra semisimple, llamada subálgebra de Levi . La descomposición de Levi implica que cualquier álgebra de Lie de dimensión finita es un producto semidirecto de un álgebra de Lie resoluble y un álgebra de Lie semisimple.
Cuando se la considera como un álgebra factorial de g , esta álgebra de Lie semisimple también se denomina factor de Levi de g . Hasta cierto punto, la descomposición se puede utilizar para reducir problemas sobre álgebras de Lie de dimensión finita y grupos de Lie a problemas separados sobre álgebras de Lie en estas dos clases especiales, resolubles y semisimples.
Además, Malcev (1942) demostró que dos subálgebras de Levi cualesquiera son conjugadas por un automorfismo (interno) de la forma
donde z está en el nilradical ( teorema de Levi-Malcev ).
Un resultado análogo es válido para las álgebras asociativas y se llama teorema principal de Wedderburn .
En teoría de representaciones, la descomposición de Levi de subgrupos parabólicos de un grupo reductivo es necesaria para construir una gran familia de las llamadas representaciones inducidas parabólicamente . La descomposición de Langlands es un ligero refinamiento de la descomposición de Levi para subgrupos parabólicos que se utiliza en este contexto.
Se cumplen afirmaciones análogas para grupos de Lie simplemente conexos y, como lo demostró George Mostow , para álgebras de Lie algebraicas y grupos algebraicos simplemente conexos sobre un cuerpo de característica cero.
No existe un análogo de la descomposición de Levi para la mayoría de las álgebras de Lie de dimensión infinita; por ejemplo, las álgebras de Lie afines tienen un radical que consiste en su centro, pero no pueden escribirse como un producto semidirecto del centro y otra álgebra de Lie. La descomposición de Levi también falla para álgebras de dimensión finita sobre cuerpos de característica positiva.
