Álgebra de mentira afín

En matemáticas , un álgebra de Lie afín es un álgebra de Lie de dimensión infinita que se construye de forma canónica a partir de un álgebra de Lie simple de dimensión finita . Dada un álgebra de Lie afín, también se puede formar el álgebra afín de Kac-Moody asociada, como se describe a continuación. Desde un punto de vista puramente matemático, las álgebras de Lie afines son interesantes porque su teoría de representación , al igual que la teoría de representación de las álgebras de Lie semisimples de dimensión finita , se comprende mucho mejor que la de las álgebras generales de Kac-Moody. Como observó Victor Kac , la fórmula de caracteres para las representaciones de álgebras de Lie afines implica ciertas identidades combinatorias, las identidades de Macdonald .

Las álgebras de Lie afines juegan un papel importante en la teoría de cuerdas y la teoría de campos conformes bidimensionales debido a la forma en que se construyen: a partir de un álgebra de Lie simple , se considera el álgebra de bucles , formada por las funciones valoradas en un círculo (interpretado como la cadena cerrada) con conmutador puntual. El álgebra de Lie afín se obtiene añadiendo una dimensión extra al álgebra de bucles y modificando el conmutador de una manera no trivial, lo que los físicos llaman anomalía cuántica (en este caso, la anomalía del modelo WZW ) y los matemáticos extensión central . De manera más general, si σ es un automorfismo del álgebra de Lie simple asociado a un automorfismo de su diagrama de Dynkin , el álgebra de bucles retorcidos consta de funciones valoradas f sobre la recta real que satisfacen la condición de periodicidad retorcida f ( x + 2 π ) = σ f ( x ) . Sus extensiones centrales son precisamente las álgebras de Lie afines retorcidas . El punto de vista de la teoría de cuerdas ayuda a comprender muchas propiedades profundas de las álgebras de Lie afines, como el hecho de que los caracteres de sus representaciones se transforman entre sí bajo el grupo modular . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle L{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle L_{\sigma }{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Álgebras de Lie afines a partir de álgebras de Lie simples

Definición

Si es un álgebra de Lie simple de dimensión finita, el álgebra de Lie afín correspondiente se construye como una extensión central del álgebra de bucles , con un centro unidimensional como espacio vectorial, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } c.}$

${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {g}}}={\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]\oplus \mathbb {\mathbb {C} } c,}$

¿Dónde está el espacio vectorial complejo de los polinomios de Laurent en el indeterminado t ? El grupo de Lie está definido por la fórmula ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]}$

${\displaystyle [a\otimes t^{n}+\alpha c,b\otimes t^{m}+\beta c]=[a,b]\otimes t^{n+m}+\langle a|b\rangle n\delta _{m+n,0}c}$

para todos y , ¿dónde está el corchete de Lie en el álgebra de Lie y es la forma Cartan-Killing en ${\displaystyle a,b\in {\mathfrak {g}},\alpha ,\beta \in \mathbb {\mathbb {C} } }$ ${\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

El álgebra de Lie afín correspondiente a un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita es la suma directa de las álgebras de Lie afines correspondientes a sus sumandos simples. Existe una derivación distinguida del álgebra de Lie afín definida por

${\displaystyle \delta (a\otimes t^{m}+\alpha c)=t{d \over dt}(a\otimes t^{m}).}$

El álgebra afín de Kac-Moody correspondiente se define como un producto semidirecto agregando un generador adicional d que satisface [ d , A ] = δ ( A ).

Construyendo los diagramas de Dynkin

El diagrama de Dynkin de cada álgebra de Lie afín consta del del álgebra de Lie simple correspondiente más un nodo adicional, que corresponde a la suma de una raíz imaginaria. Por supuesto, tal nodo no se puede adjuntar al diagrama de Dynkin en cualquier ubicación, pero para cada álgebra de Lie simple existe un número de posibles vinculaciones igual a la cardinalidad del grupo de automorfismos externos del álgebra de Lie. En particular, este grupo siempre contiene el elemento identidad, y el álgebra de Lie afín correspondiente se denomina álgebra de Lie afín no retorcida . Cuando el álgebra simple admite automorfismos que no son automorfismos internos, se pueden obtener otros diagramas de Dynkin y estos corresponden a álgebras de Lie afines retorcidas .

Clasificando las extensiones centrales

La unión de un nodo adicional al diagrama de Dynkin del álgebra de Lie simple correspondiente corresponde a la siguiente construcción. Un álgebra de Lie afín siempre se puede construir como una extensión central del álgebra de bucles del álgebra de Lie simple correspondiente. Si, en cambio, se desea comenzar con un álgebra de Lie semisimple, entonces es necesario extender centralmente en un número de elementos igual al número de componentes simples del álgebra semisimple. En física, a menudo se considera la suma directa de un álgebra semisimple y un álgebra abeliana . En este caso también es necesario agregar n elementos centrales adicionales para los n generadores abelianos. ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{n}}$

La segunda cohomología integral del grupo de bucles del correspondiente grupo de Lie compacto simple es isomorfa a los números enteros. Las extensiones centrales del grupo de Lie afín mediante un solo generador son haces topológicamente circulares sobre este grupo de bucle libre, que se clasifican mediante una clase de dos clases conocida como la primera clase Chern de la fibración . Por lo tanto, las extensiones centrales de un grupo de Lie afín se clasifican mediante un único parámetro k que se denomina nivel en la literatura de física, donde apareció por primera vez. Las representaciones unitarias de mayor peso de los grupos compactos afines solo existen cuando k es un número natural. De manera más general, si se considera un álgebra semisimple, hay una carga central para cada componente simple.

Estructura

Base Cartan-Weyl

Como en el caso finito, determinar la base de Cartan-Weyl es un paso importante para determinar la estructura de álgebras de Lie afines.

Arreglar un álgebra de Lie compleja, simple y de dimensión finita con la subálgebra de Cartan y un sistema de raíces particular . Al presentar la notación , se puede intentar extender una base de Cartan-Weyl a una para el álgebra de Lie afín, dada por , formando una subálgebra abeliana. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle X_{n}=X\otimes t^{n},}$ ${\displaystyle \{H^{i}\}\cup \{E^{\alpha }|\alpha \in \Delta \}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \{H_{n}^{i}\}\cup \{c\}\cup \{E_{n}^{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \{H_{0}^{i}\}\cup \{c\}}$

Los valores propios de y on son y respectivamente e independientemente de . Por tanto la raíz es infinitamente degenerada con respecto a esta subálgebra abeliana. Agregar la derivación descrita anteriormente a la subálgebra abeliana convierte la subálgebra abeliana en una subálgebra de Cartan para el álgebra de Lie afín, con valores propios para ${\displaystyle ad(H_{0}^{i})}$ ${\displaystyle ad(c)}$ ${\displaystyle E_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha ^{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (\alpha ^{1},\cdots ,\alpha ^{dim{\mathfrak {h}}},0,n)}$ ${\displaystyle E_{n}^{\alpha }.}$

forma de matar

La forma Killing se puede determinar casi por completo utilizando su propiedad de invariancia. Usando la notación para la forma Killing y para la forma Killing en el álgebra afín de Kac-Moody, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle {\hat {B}}(X_{n},Y_{m})=B(X,Y)\delta _{n+m,0},}$$

$${\displaystyle {\hat {B}}(X_{n},c)=0,{\hat {B}}(X_{n},d)=0}$$

$${\displaystyle {\hat {B}}(c,c)=0,{\hat {B}}(c,d)=1,{\hat {B}}(d,d)=0,}$$

${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle c,d}$ ${\displaystyle (+,-)}$

Escriba la raíz afín asociada con como . Definiendo , esto se puede reescribir ${\displaystyle E_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}=(\alpha ;0;n)}$ ${\displaystyle \delta =(0,0,1)}$

$${\displaystyle {\hat {\alpha }}=\alpha +n\delta .}$$

El conjunto completo de raíces es

$${\displaystyle {\hat {\Delta }}=\{\alpha +n\delta |n\in \mathbb {Z} ,\alpha \in \Delta \}\cup \{n\delta |n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\}.}$$

${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (\delta ,\delta )=0}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$

Raíz simple afín

Para obtener una base de raíces simples para el álgebra afín, se debe agregar una raíz extra simple, y está dada por

$${\displaystyle \alpha _{0}=-\theta +\delta }$$

matriz de Cartanlos diagramas de Dynkin ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Teoría de la representación

La teoría de representación para álgebras de Lie afines generalmente se desarrolla utilizando módulos de Verma . Al igual que en el caso de las álgebras de Lie semisimples, estos son módulos de mayor peso . No existen representaciones de dimensión finita; esto se desprende del hecho de que los vectores nulos de un módulo Verma de dimensión finita son necesariamente cero; mientras que los de las álgebras de Lie afines no lo son. En términos generales, esto se debe a que la forma Killing es lorentziana en las direcciones, por lo que a veces se las llama "coordenadas de cono de luz" en la cuerda. Se puede entender que los productos del operador actual "ordenados radialmente" están ordenados normalmente en el tiempo tomando la dirección temporal a lo largo de la hoja del mundo de cuerdas y la dirección espacial. ${\displaystyle c,\delta }$ ${\displaystyle (z,{\bar {z}})}$ ${\displaystyle z=\exp(\tau +i\sigma )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$

Representación al vacío del rango k.

Las representaciones se construyen con más detalle de la siguiente manera. ^[1]

Arreglar un álgebra y base de Lie . Entonces es una base para el álgebra de bucles correspondiente y es una base para el álgebra de Lie afín . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \{J^{\rho }\}}$ ${\displaystyle \{J_{n}^{\rho }\}=\{J^{\rho }\otimes t^{n}\}}$ ${\displaystyle \{J_{n}^{\rho }\}\cup \{c\}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$

La representación vacía de rango ${\displaystyle k}$ , denotada donde está la representación compleja con base. ${\displaystyle V_{k}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \{v_{n_{1}\cdots n_{m}}^{\rho _{1}\cdots \rho _{m}}:n_{1}\geq \cdots \geq n_{m}\geq 1,\rho _{1}\leq \cdots \leq \rho _{m}\}\cup \{\Omega \}}$$

${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle V=V_{k}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle n>0}$

$${\displaystyle c=k{\text{id}}_{V},\,J_{n}^{\rho }\Omega =0,}$$

$${\displaystyle J_{-n}^{\rho }\Omega =v_{n}^{\rho }\,J_{-n}^{\rho }v_{n_{1}\cdots n_{m}}^{\rho _{1}\cdots \rho _{m}}=v_{nn_{1}\cdots n_{m}}^{\rho \rho _{1}\cdots \rho _{m}}.}$$

Álgebra de vértices afines

De hecho, la representación del vacío puede equiparse con una estructura de álgebra de vértices, en cuyo caso se denomina álgebra de vértices afín de rango ${\displaystyle k}$ . El álgebra de Lie afín se extiende naturalmente al álgebra de Kac-Moody, con el diferencial representado por el operador de traducción en el álgebra de vértices. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle T}$

Grupo Weyl y personajes.

El grupo Weyl de un álgebra de Lie afín se puede escribir como un producto semidirecto del grupo Weyl del álgebra de modo cero (el álgebra de Lie utilizada para definir el álgebra de bucles ) y la red coroot.

La fórmula de caracteres de Weyl de los caracteres algebraicos de las álgebras de Lie afines se generaliza a la fórmula de caracteres de Weyl-Kac . De estos se derivan una serie de construcciones interesantes. Se pueden construir generalizaciones de la función theta de Jacobi . Estas funciones theta se transforman bajo el grupo modular . Las identidades habituales de los denominadores de las álgebras de Lie semisimples también se generalizan; Debido a que los caracteres pueden escribirse como "deformaciones" o análogos q de los pesos más altos, esto condujo a muchas identidades combinatorias nuevas, incluidas muchas identidades previamente desconocidas para la función Dedekind eta . Estas generalizaciones pueden verse como un ejemplo práctico del programa Langlands .

Aplicaciones

Debido a la construcción de Sugawara , el álgebra envolvente universal de cualquier álgebra de Lie afín tiene el álgebra de Virasoro como subálgebra. Esto permite que las álgebras de Lie afines sirvan como álgebras de simetría de teorías de campos conformes, como los modelos WZW o los modelos coset. Como consecuencia, las álgebras de Lie afines también aparecen en la descripción de la hoja mundial de la teoría de cuerdas .

Ejemplo

El álgebra de Heisenberg ^[2] definida por generadores que satisfacen relaciones de conmutación ${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {Z} }$

$${\displaystyle [a_{m},a_{n}]=m\delta _{m+n,0}c}$$

${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}(1)}$

Referencias

1. Schottenloher, Martin (11 de septiembre de 2008). Una introducción matemática a la teoría de campos conforme. Apuntes de conferencias de física. vol. 759 (2 ed.). Berlín: Springer-Verlag. págs. 196–7. doi :10.1007/978-3-540-68628-6. ISBN 978-3-540-68625-5. Consultado el 16 de enero de 2023 .
2. P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, Teoría de campos conforme , 1997, ISBN 0-387-94785-X 

• Fuchs, Jurgen (1992), Álgebras de mentiras afines y grupos cuánticos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X
• Goddard, Pedro ; Olive, David (1988), Álgebras de Kac-Moody y Virasoro: un volumen de reimpresión para físicos , Serie avanzada en física matemática, vol. 3, científico mundial, ISBN 9971-5-0419-7
• Kac, Victor (1990), Álgebras de mentira de dimensión infinita (3 ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-46693-8
• Kohno, Toshitake (1998), Topología y teoría de campos conformes , Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0-8218-2130-X
• Pressley, Andrés; Segal, Graeme (1986), grupos Loop , Oxford University Press, ISBN 0-19-853535-X