diagrama de dinkin

Representación pictórica de la simetría.

En el campo matemático de la teoría de Lie , un diagrama de Dynkin , llamado así por Eugene Dynkin , es un tipo de gráfico con algunas aristas duplicadas o triplicadas (dibujadas como una línea doble o triple). Los diagramas de Dynkin surgen en la clasificación de álgebras de Lie semisimples sobre campos algebraicamente cerrados , en la clasificación de grupos de Weyl y otros grupos de reflexión finitos , y en otros contextos. Varias propiedades del diagrama de Dynkin (como si contiene múltiples aristas o sus simetrías) corresponden a características importantes del álgebra de Lie asociada.

Diagramas finitos de Dynkin

Diagramas de Dynkin afines (extendidos)

El término "diagrama de Dynkin" puede resultar ambiguo. En algunos casos, se supone que los diagramas de Dynkin son dirigidos , en cuyo caso corresponden a sistemas de raíces y álgebras de Lie semisimples, mientras que en otros casos se supone que son no dirigidos , en cuyo caso corresponden a grupos de Weyl. En este artículo, "diagrama de Dynkin" significa diagrama de Dynkin dirigido , y los diagramas de Dynkin no dirigidos se denominarán explícitamente así.

Clasificación de álgebras de Lie semisimples

El interés fundamental de los diagramas de Dynkin es que clasifican álgebras de Lie semisimples sobre campos algebraicamente cerrados . Se clasifican estas álgebras de Lie según su sistema de raíces , que puede representarse mediante un diagrama de Dynkin. Luego se clasifican los diagramas de Dynkin según las restricciones que deben satisfacer, como se describe a continuación.

Eliminar la dirección en los bordes del gráfico corresponde a reemplazar un sistema de raíces por el grupo de reflexión finito que genera, el llamado grupo de Weyl , y por lo tanto los diagramas de Dynkin no dirigidos clasifican los grupos de Weyl.

Tienen la siguiente correspondencia para las álgebras de Lie asociadas a grupos clásicos sobre los números complejos:

• ${\displaystyle A_{n}}$: , el álgebra lineal especial de Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}}$
• ${\displaystyle B_{n}}$: , el álgebra de Lie ortogonal especial de dimensiones impares . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1}}$
• ${\displaystyle C_{n}}$: , el álgebra de Lie simpléctica . ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}}$
• ${\displaystyle D_{n}}$: , el álgebra de Lie ortogonal especial de dimensión par ( ). ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}$ ${\displaystyle n>1}$

Para los grupos excepcionales, los nombres del álgebra de Lie y el diagrama de Dynkin asociado coinciden.

Clasificaciones relacionadas

Se puede interpretar que los diagramas de Dynkin clasifican muchos objetos distintos y relacionados, y la notación "A _n , B _n , ..." se utiliza para referirse a todas esas interpretaciones, según el contexto; Esta ambigüedad puede resultar confusa.

La clasificación central es que un álgebra de Lie simple tiene un sistema de raíces, al que está asociado un diagrama de Dynkin (orientado); los tres pueden denominarse B _n , por ejemplo.

El diagrama de Dynkin no orientado es una forma del diagrama de Coxeter , y corresponde al grupo de Weyl, que es el grupo de reflexión finito asociado al sistema de raíces. Por tanto, B _n puede referirse al diagrama no orientado (un tipo especial de diagrama de Coxeter), al grupo de Weyl (un grupo de reflexión concreto) o al grupo de Coxeter abstracto.

Aunque el grupo Weyl es abstractamente isomorfo al grupo Coxeter, un isomorfismo específico depende de una elección ordenada de raíces simples. Del mismo modo, si bien la notación del diagrama de Dynkin está estandarizada, la notación del diagrama de Coxeter y de grupo es variada y a veces concuerda con la notación del diagrama de Dynkin y otras no. ^{[ cita necesaria ]}

Por último, a veces los objetos asociados reciben la misma notación, aunque esto no siempre se puede hacer con regularidad. Ejemplos incluyen:

• La red de raíces generada por el sistema de raíces, como en la red E 8 . Esto se define naturalmente, pero no uno a uno; por ejemplo, A ₂ y G ₂ generan la red hexagonal .
• Un politopo asociado, por ejemplo el politopo Gosset 4 ₂₁ , puede denominarse "el politopo E ₈ ", ya que sus vértices se derivan del sistema de raíces E ₈ y tiene el grupo Coxeter E _{8 como grupo de simetría.}
• Una forma o variedad cuadrática asociada; por ejemplo, la variedad E 8 tiene una forma de intersección dada por la red E ₈ .

Estas últimas notaciones se utilizan principalmente para objetos asociados con diagramas excepcionales; los objetos asociados a los diagramas regulares (A, B, C, D) tienen nombres tradicionales.

El índice ( n ) es igual al número de nodos en el diagrama, el número de raíces simples en una base, la dimensión de la red de raíces y la extensión del sistema de raíces, el número de generadores del grupo Coxeter y el rango. del álgebra de Lie. Sin embargo, n no es igual a la dimensión del módulo definitorio (una representación fundamental ) del álgebra de Lie; el índice del diagrama de Dynkin no debe confundirse con el índice del álgebra de Lie. Por ejemplo, corresponde a que actúa naturalmente en un espacio de 9 dimensiones, pero tiene rango 4 como álgebra de Lie. ${\displaystyle B_{4}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2\cdot 4+1}={\mathfrak {so}}_{9},}$

Los diagramas de Dynkin simplemente entrelazados, aquellos que no tienen múltiples aristas (A, D, E) clasifican muchos otros objetos matemáticos; ver discusión en clasificación ADE .

Ejemplo: A 2

El sistema raíz ${\displaystyle A_{2}}$

Por ejemplo, el símbolo puede referirse a: ${\displaystyle A_{2}}$

• El diagrama de Dynkin con 2 nodos conectados,, que también puede interpretarse como un diagrama de Coxeter .
• El sistema de raíces con 2 raíces simples en un ángulo (120 grados). ${\displaystyle 2\pi /3}$
• El álgebra de Lie de rango 2. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2+1}={\mathfrak {sl}}_{3}}$
• El grupo Weyl de simetrías de las raíces (reflexiones en el hiperplano ortogonal a las raíces), isomorfo al grupo simétrico (de orden 6). ${\displaystyle S_{3}}$
• El grupo Coxeter abstracto , presentado por generadores y relaciones, ${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2}\mid (r_{1})^{2}=(r_{2})^{2}=(r_{i}r_{j})^{3}=1\right\rangle .}$

Construcción a partir de sistemas de raíces.

Consideremos un sistema de raíces , que se supone reducido e integral (o "cristalográfico"). En muchas aplicaciones, este sistema raíz surgirá de un álgebra de Lie semisimple . Sea un conjunto de raíces simples positivas . Luego construimos un diagrama de la siguiente manera. ^[1] Forme una gráfica con un vértice para cada elemento de . Luego inserte bordes entre cada par de vértices de acuerdo con la siguiente receta. Si las raíces correspondientes a los dos vértices son ortogonales, no hay arista entre los vértices. Si el ángulo entre las dos raíces es de 120 grados, ponemos una arista entre los vértices. Si el ángulo es de 135 grados, ponemos dos aristas, y si el ángulo es de 150 grados, ponemos tres aristas. (Estos cuatro casos agotan todos los ángulos posibles entre pares de raíces simples positivas. ^[2] ) Finalmente, si hay aristas entre un par de vértices dado, las decoramos con una flecha que apunta desde el vértice correspondiente a la raíz más larga hasta la raíz más larga. vértice correspondiente al más corto. (La flecha se omite si las raíces tienen la misma longitud). Pensar en la flecha como un signo de "mayor que" deja claro en qué dirección debe ir la flecha. Los diagramas de Dynkin conducen a una clasificación de los sistemas de raíces. Los ángulos y las relaciones de longitud entre raíces están relacionados . ^[3] Por lo tanto, las aristas para raíces no ortogonales pueden describirse alternativamente como una arista para una relación de longitud de 1, dos aristas para una relación de longitud de y tres aristas para una relación de longitud de . (No hay aristas cuando las raíces son ortogonales, independientemente de la relación de longitud). ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

En el sistema de raíces, que se muestra a la derecha, las raíces están etiquetadas y forman una base. Dado que estas dos raíces forman un ángulo de 120 grados (con una relación de longitud de 1), el diagrama de Dynkin consta de dos vértices conectados por un solo borde: ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$.

Restricciones

Los diagramas de Dynkin deben satisfacer ciertas restricciones; estos son esencialmente aquellos satisfechos por diagramas finitos de Coxeter-Dynkin , junto con una restricción cristalográfica adicional.

Conexión con diagramas de Coxeter

Los diagramas de Dynkin están estrechamente relacionados con los diagramas de Coxeter de grupos finitos de Coxeter y la terminología a menudo se combina. ^{[nota 1]}

Los diagramas de Dynkin se diferencian de los diagramas de Coxeter de grupos finitos en dos aspectos importantes:

parcialmente dirigido

Los diagramas de Dynkin están parcialmente dirigidos : cualquier arista múltiple (en términos de Coxeter, etiquetada con "4" o más) tiene una dirección (una flecha que apunta de un nodo al otro); por tanto, los diagramas de Dynkin tienen más datos que el diagrama de Coxeter subyacente (gráfico no dirigido).

A nivel de sistemas radiculares la dirección corresponde apuntar hacia el vector más corto; Los bordes etiquetados como "3" no tienen dirección porque los vectores correspondientes deben tener la misma longitud. (Precaución: algunos autores invierten esta convención, con la flecha apuntando hacia el vector más largo).

Restricción cristalográfica

Los diagramas de Dynkin deben satisfacer una restricción adicional, a saber, que las únicas etiquetas de borde permitidas son 2, 3, 4 y 6, una restricción que no comparten los diagramas de Coxeter, por lo que no todos los diagramas de Coxeter de un grupo finito provienen de un diagrama de Dynkin.

A nivel de sistemas de raíces, esto corresponde al teorema de restricción cristalográfica , ya que las raíces forman una red.

Una diferencia adicional, que es sólo estilística, es que los diagramas de Dynkin se dibujan convencionalmente con aristas dobles o triples entre nodos (para p  = 4, 6), en lugar de una arista etiquetada con " p ".

El término "diagrama de Dynkin" a veces se refiere al gráfico dirigido , a veces al gráfico no dirigido . Para mayor precisión, en este artículo "diagrama de Dynkin" significará dirigido, y el gráfico no dirigido subyacente se denominará "diagrama de Dynkin no dirigido". Entonces los diagramas de Dynkin y los diagramas de Coxeter se pueden relacionar de la siguiente manera:

Con esto se quiere decir que los diagramas de Coxeter de grupos finitos corresponden a grupos puntuales generados por reflexiones, mientras que los diagramas de Dynkin deben satisfacer una restricción adicional correspondiente al teorema de restricción cristalográfica , y que los diagramas de Coxeter no están dirigidos, mientras que los diagramas de Dynkin están (parcialmente) dirigidos.

Los objetos matemáticos correspondientes clasificados por los diagramas son:

El espacio en blanco en la parte superior derecha, correspondiente a gráficos dirigidos con un gráfico no dirigido subyacente, cualquier diagrama de Coxeter (de un grupo finito), puede definirse formalmente, pero está poco discutido y no parece admitir una interpretación simple en términos de objetos matemáticos. de interés.

Hay mapas naturales, desde diagramas de Dynkin hasta diagramas de Dynkin no dirigidos; respectivamente, desde los sistemas de raíces hasta los grupos Weyl asociados –y a la derecha– desde los diagramas de Dynkin no dirigidos hasta los diagramas de Coxeter; respectivamente de grupos Weyl a grupos finitos de Coxeter.

El mapa descendente es (por definición) pero no uno a uno, ya que los diagramas B _n y C _n se asignan al mismo diagrama no dirigido, por lo que el diagrama de Coxeter resultante y el grupo de Weyl a veces se denotan como BC _n .

El mapa correcto es simplemente una inclusión (los diagramas de Dynkin no dirigidos son casos especiales de diagramas de Coxeter, y los grupos de Weyl son casos especiales de grupos finitos de Coxeter) y no es correcto, ya que no todos los diagramas de Coxeter son diagramas de Dynkin no dirigidos (los diagramas omitidos son H ₃ , H ₄ y I ₂ ( p ) para p  = 5  p  ≥ 7), y, en consecuencia, no todo grupo finito de Coxeter es un grupo de Weyl.

Isomorfismos

Los isomorfismos excepcionales de los diagramas de Dynkin conexos.

Los diagramas de Dynkin se numeran convencionalmente para que la lista no sea redundante: para para para y comenzando en Sin embargo , las familias se pueden definir para n inferior, lo que produce isomorfismos excepcionales de diagramas y los correspondientes isomorfismos excepcionales de álgebras de Lie y grupos de Lie asociados. ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle A_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle B_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle C_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle D_{n},}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle n=6.}$

Trivialmente, se pueden comenzar las familias en o , que son todas isomorfas, ya que hay un diagrama vacío único y un diagrama único de 1 nodo. Los otros isomorfismos de los diagramas de Dynkin conectados son: ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle n=1,}$

• ${\displaystyle A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}}$
• ${\displaystyle B_{2}\cong C_{2}}$
• ${\displaystyle D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}}$
• ${\displaystyle D_{3}\cong A_{3}}$
• ${\displaystyle E_{3}\cong A_{1}\times A_{2}}$
• ${\displaystyle E_{4}\cong A_{4}}$
• ${\displaystyle E_{5}\cong D_{5}}$

Estos isomorfismos corresponden a isomorfismos de álgebras de Lie simples y semisimples, que también corresponden a ciertos isomorfismos de formas de grupos de Lie de estas. También añaden contexto a la familia En . ^[4]

Automorfismos

El diagrama de Dynkin más simétrico es el D ₄ , que da lugar a la trialidad .

Además del isomorfismo entre diferentes diagramas, algunos diagramas también tienen autoisomorfismos o " automorfismos ". Los automorfismos de diagrama corresponden a automorfismos externos del álgebra de Lie, lo que significa que el grupo de automorfismos externos Out = Aut/Inn es igual al grupo de automorfismos de diagrama. ^{[5] [6] [7]}

Los diagramas que tienen automorfismos no triviales son A _n ( ), D _n ( ) y E ₆ . En todos estos casos, excepto en D ₄ , hay un único automorfismo no trivial (Out = C ₂ , el grupo cíclico de orden 2), mientras que para D ₄ , el grupo de automorfismo es el grupo simétrico de tres letras ( S ₃ , orden 6): este fenómeno se conoce como " trialidad ". Sucede que todos estos automorfismos de diagramas pueden realizarse como simetrías euclidianas de cómo se dibujan convencionalmente los diagramas en el plano, pero esto es sólo un artefacto de cómo se dibujan, y no una estructura intrínseca. ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle n>1}$

Un ._​

Para _An , el automorfismo del diagrama es invertir el diagrama, que es una línea. Los nodos del diagrama indexan los pesos fundamentales , que (para An _{−1 )} son para , y el automorfismo del diagrama corresponde a la dualidad. Realizado como el álgebra de Lie, el automorfismo externo se puede expresar como transpuesta negativa, que es como el dual actos de representación. ^[6] ${\displaystyle \bigwedge ^{i}C^{n}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \bigwedge ^{i}C^{n}\mapsto \bigwedge ^{n-i}C^{n}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1},}$ ${\displaystyle T\mapsto -T^{\mathrm {T} }}$

D _n .

Para D _n , el automorfismo del diagrama cambia los dos nodos al final de Y y corresponde a cambiar las dos representaciones de espín quirales . Realizado como álgebra de Lie, el automorfismo externo se puede expresar como conjugación mediante una matriz en O(2 n ) con determinante −1. Cuando n = 3, uno tiene que sus automorfismos concuerden, mientras que está desconectado, y el automorfismo corresponde a cambiar los dos nodos. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n},}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{3}\cong \mathrm {A} _{3},}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{2}\cong \mathrm {A} _{1}\times \mathrm {A} _{1}}$

Para D ₄ , la representación fundamental es isomorfa a las dos representaciones de espín, y el grupo simétrico resultante en tres letras ( S ₃ , o alternativamente el grupo diédrico de orden 6, Dih ₃ ) corresponde tanto a automorfismos del álgebra de Lie como a automorfismos de El diagrama.

E6 ._​

El grupo de automorfismos de E ₆ corresponde a invertir el diagrama y puede expresarse utilizando álgebras de Jordan . ^{[6] [8]}

Los diagramas desconectados, que corresponden a álgebras de Lie semisimples , pueden tener automorfismos al intercambiar componentes del diagrama.

En la característica 2, la flecha en F ₄ se puede ignorar, lo que produce un automorfismo de diagrama adicional y los grupos Suzuki-Ree correspondientes .

En la característica positiva hay "automorfismos de diagrama" adicionales; en términos generales, en la característica p a veces se permite ignorar la flecha en los enlaces de multiplicidad p en el diagrama de Dynkin al tomar automorfismos de diagrama. Así, en la característica 2 hay un automorfismo de orden 2 de y de F ₄ , mientras que en la característica 3 hay un automorfismo de orden 2 de G ₂ . Pero no se aplica en todas las circunstancias: por ejemplo, tales automorfismos no tienen por qué surgir como automorfismos del grupo algebraico correspondiente, sino más bien en el nivel de puntos valorados en un campo finito. ${\displaystyle \mathrm {B} _{2}\cong \mathrm {C} _{2}}$

Construcción de grupos de Lie mediante automorfismos de diagramas.

Los automorfismos de diagrama, a su vez, producen grupos de Lie adicionales y grupos de tipo Lie , que son de importancia central en la clasificación de grupos simples finitos.

La construcción del grupo Chevalley de los grupos de Lie en términos de su diagrama de Dynkin no produce algunos de los grupos clásicos, es decir, los grupos unitarios y los grupos ortogonales no divididos . Los grupos de Steinberg construyen los grupos unitarios ² A _n , mientras que los otros grupos ortogonales se construyen como ² D _n , donde en ambos casos esto se refiere a combinar un automorfismo de diagrama con un automorfismo de campo. Esto también produce grupos de Lie exóticos adicionales ² E ₆ y ³ D ₄ , este último sólo definido sobre campos con un automorfismo de orden 3.

Los automorfismos del diagrama adicional en característica positiva producen los grupos de Suzuki-Ree , ² B ₂ , ² F ₄ y ² G ₂ .

Plegable

Plegamientos de grupos finitos de Coxeter.

Plegados de grupos Affine Coxeter, con tres convenciones de nomenclatura: primero, el conjunto extendido original; el segundo utilizado en el contexto de gráficos de carcaj ; y el último de Victor Kac para álgebras de Lie afines retorcidas .

Un diagrama de Dynkin (simplemente entrelazado) (finito o afín ) que tiene una simetría (que satisface una condición, a continuación) se puede cociente por la simetría, produciendo un nuevo diagrama, generalmente entrelazado de forma múltiple, con el proceso llamado plegado (debido a la mayoría de las simetrías). siendo doble). A nivel de álgebras de Lie, esto corresponde a tomar la subálgebra invariante bajo el grupo de automorfismos externos, y el proceso se puede definir puramente con referencia a sistemas de raíces, sin utilizar diagramas. ^[9] Además, todo diagrama entrelazado múltiple (finito o infinito) se puede obtener plegando un diagrama entrelazado simple. ^[10]

La única condición del automorfismo para que el plegado sea posible es que los distintos nodos del gráfico en la misma órbita (bajo el automorfismo) no deben estar conectados por un borde; a nivel de sistemas de raíces, las raíces en la misma órbita deben ser ortogonales. ^[10] A nivel de diagramas, esto es necesario ya que de lo contrario el diagrama cociente tendrá un bucle, debido a que se identifican dos nodos pero tienen un borde entre ellos, y los bucles no están permitidos en los diagramas de Dynkin.

Los nodos y aristas del diagrama cociente ("plegado") son las órbitas de los nodos y aristas del diagrama original; los bordes son únicos a menos que dos bordes incidentes se asignen al mismo borde (especialmente en nodos de valencia mayores que 2): un "punto de bifurcación" del mapa, en cuyo caso el peso es el número de bordes incidentes y la flecha apunta hacia el nodo en el que inciden: "el punto de bifurcación se asigna al punto no homogéneo". Por ejemplo, en el plegado D ₄ a G ₂ , el borde en G ₂ apunta desde la clase de los 3 nodos externos (valencia 1) a la clase del nodo central (valencia 3).

Los plegados de diagramas finitos son: ^{[11] [nota 2]}

• ${\displaystyle A_{2n-1}\to C_{n}}$

(El automorfismo de A _{2 n} no produce un plegado porque los dos nodos del medio están conectados por un borde, pero en la misma órbita).

• ${\displaystyle D_{n+1}\to B_{n}}$
• ${\displaystyle D_{4}\to G_{2}}$(si se cociente por el grupo completo o por un ciclo de 3, además de de 3 formas diferentes, si se cociente por una involución) ${\displaystyle D_{4}\to B_{3}}$
• ${\displaystyle E_{6}\to F_{4}}$

Existen plegamientos similares para diagramas afines, que incluyen:

• ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2n-1}\to {\tilde {C}}_{n}}$
• ${\displaystyle {\tilde {D}}_{n+1}\to {\tilde {B}}_{n}}$
• ${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}\to {\tilde {G}}_{2}}$
• ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}\to {\tilde {F}}_{4}}$

La noción de pliegues también se puede aplicar de manera más general a los diagramas de Coxeter ^[12] ; en particular, se pueden generalizar los cocientes permitidos de los diagramas de Dynkin a H _n e I ₂ ( p ). Geométricamente esto corresponde a proyecciones de politopos uniformes . En particular, cualquier diagrama de Dynkin simplemente entrelazado se puede plegar a I ₂ ( h ), donde h es el número de Coxeter , que corresponde geométricamente a la proyección al plano de Coxeter .

El plegado se puede aplicar para reducir preguntas sobre álgebras de Lie (semisimples) a preguntas sobre álgebras simplemente entrelazadas, junto con un automorfismo, que puede ser más simple que tratar directamente álgebras entrelazadas múltiples; esto se puede hacer al construir álgebras de Lie semisimples, por ejemplo. Consulte Desbordamiento matemático: plegado por automorfismos para obtener más información.

Otros mapas de diagramas.

Algunos mapas de diagramas adicionales tienen interpretaciones significativas, como se detalla a continuación. Sin embargo, no todos los mapas de sistemas raíz surgen como mapas de diagramas. ^[13]

Por ejemplo, hay dos inclusiones de sistemas de raíces de A ₂ en G ₂ , ya sea como las seis raíces largas o las seis raíces cortas. Sin embargo, los nodos en el diagrama G ₂ corresponden a una raíz larga y una raíz corta, mientras que los nodos en el diagrama A ₂ corresponden a raíces de igual longitud y, por lo tanto, este mapa de sistemas de raíces no se puede expresar como un mapa de los diagramas. .

Algunas inclusiones de sistemas de raíces se pueden expresar como un diagrama que es un subgrafo inducido de otro, es decir, "un subconjunto de nodos, con todos los bordes entre ellos". Esto se debe a que eliminar un nodo de un diagrama de Dynkin corresponde a eliminar una raíz simple de un sistema de raíces, lo que produce un sistema de raíces de rango uno inferior. Por el contrario, eliminar una arista (o cambiar la multiplicidad de una arista) dejando los nodos sin cambios corresponde a cambiar los ángulos entre las raíces, lo que no se puede hacer sin cambiar todo el sistema de raíces. Por lo tanto, se pueden eliminar de manera significativa los nodos, pero no los bordes. Eliminar un nodo de un diagrama conexo puede producir un diagrama conexo (álgebra de Lie simple), si el nodo es una hoja, o un diagrama desconectado (álgebra de Lie semisimple pero no simple), con dos o tres componentes (este último para D _n y En ₎ . A nivel de álgebras de Lie, estas inclusiones corresponden a álgebras sub-Lie.

Los subgrafos máximos son los siguientes; Los subgrafos relacionados por un automorfismo de diagrama se denominan "conjugados":

• An _{+1 :} An _, de 2 formas conjugadas.
• B _{norte +1} : Un _norte , B _norte .
• C _{norte +1} : Un _norte , C _norte .
• D _{n +1} : A _n (2 formas conjugadas), D _n .
• En _{norte +1} : Un _norte , D _norte , En _norte .
  • Para E ₆ , dos de estos coinciden: y son conjugados. ${\displaystyle \mathrm {D} _{5}\cong \mathrm {E} _{5}}$
• F ₄ : B ₃ , C ₃ .
• G ₂ : A ₁ , de 2 maneras no conjugadas (como raíz larga o raíz corta).

Finalmente, la dualidad de los diagramas corresponde a invertir la dirección de las flechas, si las hay: ^[13] B _n y C _n son duales, mientras que F ₄ y G ₂ son autoduales, al igual que los diagramas ADE simplemente entrelazados.

Simplemente atado

Los sencillos diagramas de Dynkin clasifican diversos objetos matemáticos; esto se llama clasificación ADE .

Un diagrama de Dynkin sin aristas múltiples se llama simplemente entrelazado , al igual que el álgebra de Lie y el grupo de Lie correspondientes. Estos son los diagramas, y los fenómenos que clasifican dichos diagramas se denominan clasificación ADE . En este caso los diagramas de Dynkin coinciden exactamente con los diagramas de Coxeter, ya que no hay múltiples aristas. ${\displaystyle A_{n},D_{n},E_{n}}$

diagramas de satake

Los diagramas de Dynkin clasifican álgebras de Lie complejas semisimples. Las álgebras de Lie semisimples reales se pueden clasificar como formas reales de álgebras de Lie semisimples complejas, y éstas se clasifican mediante diagramas de Satake , que se obtienen del diagrama de Dynkin etiquetando algunos vértices en negro (rellenos) y conectando algunos otros vértices en pares mediante flechas. según ciertas reglas.

Historia

Eugenio Dynkin .

Los diagramas de Dynkin llevan el nombre de Eugene Dynkin , quien los utilizó en dos artículos (1946, 1947) simplificando la clasificación de álgebras de Lie semisimples; ^[14] ver (Dynkin 2000). Cuando Dynkin abandonó la Unión Soviética en 1976, lo que en ese momento se consideraba equivalente a traición, se ordenó a los matemáticos soviéticos que se refirieran a "diagramas de raíces simples" en lugar de usar su nombre. ^{[ cita necesaria ]}

Coxeter (1934) había utilizado anteriormente gráficos no dirigidos para clasificar grupos de reflexión , donde los nodos correspondían a reflexiones simples; Posteriormente, Witt (1941) utilizó las gráficas (con información de longitud) en referencia a sistemas de raíces, correspondiendo los nodos a raíces simples, tal como se usan hoy. ^{[14] [15]} Dynkin luego los usó en 1946 y 1947, reconociendo a Coxeter y Witt en su artículo de 1947.

Convenciones

Los diagramas de Dynkin se han dibujado de diversas formas; ^[15] la convención seguida aquí es común, con ángulos de 180° en los nodos de valencia 2, ángulos de 120° en el nodo de valencia 3 de D _n y ángulos de 90°/90°/180° en el nodo de valencia 3 de E _n , con multiplicidad indicada por 1, 2 o 3 bordes paralelos, y longitud de la raíz indicada dibujando una flecha en el borde para orientación. Más allá de la simplicidad, un beneficio adicional de esta convención es que los automorfismos de los diagramas se realizan mediante isometrías euclidianas de los diagramas.

La convención alternativa incluye escribir un número junto al borde para indicar multiplicidad (comúnmente usado en los diagramas de Coxeter), oscurecer los nodos para indicar la longitud de la raíz o usar ángulos de 120° en los nodos de valencia 2 para hacer que los nodos sean más distintos.

También existen convenciones sobre la numeración de los nodos. La convención moderna más común se desarrolló en la década de 1960 y se ilustra en (Bourbaki 1968). ^[15]

Diagramas de Dynkin de rango 2

Los diagramas de Dynkin son equivalentes a las matrices de Cartan generalizadas , como se muestra en esta tabla de diagramas de Dynkin de rango 2 con sus correspondientes matrices de Cartan de 2  ×  2 .

Para el rango 2, la forma matricial de Cartan es:

${\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]}$

Un diagrama de múltiples aristas corresponde a los elementos de la matriz de Cartan no diagonales , con el número de aristas dibujadas igual a y una flecha apuntando hacia los elementos no unitarios. ${\displaystyle -a_{21},-a_{12}}$ ${\displaystyle \max(-a_{21},-a_{12})}$

Una matriz de Cartan generalizada es una matriz cuadrada tal que: ${\displaystyle A=(a_{ij})}$

1. Para entradas diagonales, . ${\displaystyle a_{ii}=2}$
2. Para entradas no diagonales, . ${\displaystyle a_{ij}\leq 0}$
3. ${\displaystyle a_{ij}=0}$si y solo si ${\displaystyle a_{ji}=0}$

La matriz de Cartan determina si el grupo es de tipo finito (si es una matriz positiva-definida , es decir, todos los valores propios son positivos), de tipo afín (si no es positivo-definido sino positivo-semidefinido, es decir, todos los valores propios son no- negativo), o de tipo indefinido . El tipo indefinido a menudo se subdivide aún más, por ejemplo, un grupo de Coxeter es lorentziano si tiene un valor propio negativo y todos los demás valores propios son positivos. Además, múltiples fuentes se refieren a grupos hiperbólicos de Coxeter, pero existen varias definiciones no equivalentes para este término. En la discusión siguiente, los grupos hiperbólicos de Coxeter son un caso especial de Lorentziano, que satisface una condición adicional. Para el rango 2, todas las matrices de Cartan determinantes negativos corresponden al grupo hiperbólico de Coxeter. Pero, en general, la mayoría de las matrices determinantes negativas no son ni hiperbólicas ni lorentzianas.

Las ramas finitas tienen y las ramas afines (con determinante cero) tienen . ${\displaystyle (-a_{21},-a_{12})=(1,1),(2,1),(3,1)}$ ${\displaystyle (-a_{21},-a_{12})=(2,2){\text{ or }}(4,1)}$

Diagramas finitos de Dynkin

Diagramas afines de Dynkin

Existen extensiones de los diagramas de Dynkin, a saber, los diagramas de Dynkin afines ; estos clasifican matrices de Cartan de álgebras de Lie afines . Estos se clasifican en (Kac 1994, Capítulo 4, págs. 47–), específicamente enumerados en (Kac 1994, págs. 53–55). Los diagramas afines se denotan como o donde X es la letra del diagrama finito correspondiente, y el exponente depende de en qué serie de diagramas afines se encuentran. Los primeros de ellos son los más comunes, se denominan diagramas de Dynkin extendidos y se denotan con una tilde y, a veces, también marcado con un superíndice + . ^[17] como en . Las series (2) y (3) se denominan diagramas afines retorcidos . ${\displaystyle X_{l}^{(1)},X_{l}^{(2)},}$ ${\displaystyle X_{l}^{(3)},}$ ${\displaystyle X_{l}^{(1)},}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{5}=A_{5}^{(1)}=A_{5}^{+}}$

Consulte Generador de diagramas Dynkin para ver diagramas.

Aquí están todos los gráficos de Dynkin para grupos afines de hasta 10 nodos. Los gráficos extendidos de Dynkin se dan como familias ~ , al igual que los gráficos finitos anteriores, con un nodo agregado. Otras variaciones de gráficos dirigidos se dan con un valor de superíndice (2) o (3), que representa plegamientos de grupos de orden superior. Estos se clasifican como diagramas afines retorcidos . ^[18]

Diagramas hiperbólicos y superiores de Dynkin

Se ha enumerado el conjunto de gráficos hiperbólicos de Dynkin compactos y no compactos. ^[19] Todos los gráficos hiperbólicos de rango 3 son compactos. Los diagramas hiperbólicos compactos de Dynkin existen hasta el rango 5 y los gráficos hiperbólicos no compactos existen hasta el rango 10.

Diagramas hiperbólicos compactos de Dynkin

Formas no compactas (demasiado extendidas)

Algunas notaciones utilizadas en física teórica , como la teoría M , utilizan un superíndice "+" para grupos extendidos en lugar de un "~" y esto permite definir grupos de extensiones superiores.

1. Los diagramas de Dynkin extendidos (afines) reciben "+" y representan un nodo agregado. (Igual que "~")
2. Los diagramas de Dynkin demasiado extendidos (hiperbólicos) reciben "^" o "++" y representan dos nodos agregados.
3. Los diagramas de Dynkin muy extendidos con 3 nodos agregados reciben "+++".

238 grupos hiperbólicos (compactos y no compactos)

Los 238 grupos hiperbólicos (compactos y no compactos) de rango se nombran y enumeran para cada rango. ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle H_{i}^{(n)}}$ ${\displaystyle i=1,2,3...}$

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Muy extendido

Los grupos muy extendidos son grupos de Lorentz , definidos sumando tres nodos a los grupos finitos. E ₈ , E ₇ , E ₆ , F ₄ y G ₂ ofrecen seis series que terminan en grupos muy extendidos. Otras series extendidas que no se muestran se pueden definir a partir de A _n , B _n , C _n y D _n , como series diferentes para cada n . El determinante de la matriz de Cartan asociada determina dónde cambia la serie de finita (positiva) a afín (cero) a un grupo hiperbólico no compacto (negativo) y termina como un grupo de Lorentz que se puede definir con el uso de una dimensión temporal. , y se utiliza en la teoría M . ^[20]

Ver también

• diagrama de satake
• Lista de índices de tetas irreductibles
• Klassifikation von Wurzelsystemen (Clasificación de sistemas de raíces) (en alemán)

Notas

1. En esta sección nos referimos a la clase general como "diagramas de Coxeter" en lugar de "diagramas de Coxeter-Dynkin" para mayor claridad, ya que existe un gran potencial de confusión y concisión.
2. Tenga en cuenta que Stekloshchik utiliza una convención de flechas opuesta a la de este artículo.

Citas

1. Salón 2015 Sección 8.6
2. Salón 2015 Proposiciones 8.6 y 8.13
3. Propuesta 8.6 del Salón 2015
4. Baez, John (13 de abril de 1998), Hallazgos de esta semana en física matemática (semana 119)
5. Fulton y Harris 1991, Proposición D.40
6. Automorfismos externos de álgebras de Lie simples
7. Humphreys 1972, § 16.5
8. Jacobson 1971, § 7
9. Geometría algebraica y teoría de números: en honor al 50 cumpleaños de Vladimir Drinfeld, editado por Victor Ginzburg, p. 47, sección 3.6: Plegado del racimo
10. Plegado por automorfismos Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine , John Stembridge, 4pp., 79K, 20 de agosto de 2008, otros artículos de John Stembridge
11. Véase Stekolshchik 2008, pág. 102, observación 5.4 para ilustraciones de estos pliegues y referencias.
12. Zuber, Jean-Bernard (1998). "Diagramas generalizados de Dynkin y sistemas de raíces y su plegado". En Kashiwara, M.; Matsuo, A.; Saito, K.; Satake, I. (eds.). Teoría de campos topológicos, formas primitivas y temas relacionados . Progreso en Matemáticas. vol. 160, págs. 28–30. CiteSeerX 10.1.1.54.3122 . doi :10.1007/978-1-4612-0705-4_16. ISBN  978-1-4612-6874-1. S2CID  12429369.
13. Armstrong, John (5 de marzo de 2010). "Transformaciones de diagramas de Dynkin".
14. Knapp 2002, pág. 758
15. ¿Por qué los diagramas Dynkin E6, E7 y E8 siempre se dibujan como se dibujan?
16. Sección 2.1 en Stekolshchik, Rafael (2005). "Notas sobre las transformaciones de Coxeter y la correspondencia de McKay". arXiv : matemáticas/0510216v1 .
17. Véase, por ejemplo, Humphreys, James E. (1990). "48. Dominio fundamental § Grupos de reflexión afines". Grupos de Reflexión y Grupos Coxeter . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 96.ISBN​ 978-0-521-43613-7.
18. Kac, Víctor G. (1990). "4. Una clasificación de matrices de Cartan generalizadas". Álgebras de mentira de dimensión infinita . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs.53–. ISBN 978-0-521-46693-6.
19. Carbone, Lisa; Chung, Sjuvon; Cobbs, Leigh; McRae, Robert; Nandi, Debajyoti; Naqvi, Yusra; Penta, Diego (2010). "Clasificación de diagramas hiperbólicos de Dynkin, longitudes de raíces y órbitas del grupo Weyl". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 43 (15): 155209. arXiv : 1003.0564 . Código Bib : 2010JPhA...43o5209C. doi :10.1088/1751-8113/43/15/155209. S2CID  16946456.
20. Englert, François; Houart, Laurent; Taormina, Ana ; Oeste, Peter (2003). "La simetría de las teorías M". Revista de Física de Altas Energías . 2003 (9): 020. arXiv : hep-th/0304206 . Código Bib : 2003JHEP...09..020E. doi :10.1088/1126-6708/2003/09/020. S2CID  15680493.

Referencias

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• Bourbaki, Nicolas (1968), "Capítulos 4 a 6", Groupes et algebres de Lie , París: Hermann
• Jacobson, Nathan (1 de junio de 1971), Álgebras de mentiras excepcionales , CRC Press, ISBN 978-0-8247-1326-3
• Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de mentira y la teoría de la representación , Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249. OCLC  246650103.
• Dynkin, Evgeniĭ Borisovich; Alejandro Adolfo Yushkevich; Gary M. Seitz; AL Onishchik (2000), Artículos seleccionados de EB Dynkin con comentarios , Librería AMS, ISBN 978-0-8218-1065-1
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de mentiras más allá de una introducción (2ª ed.), Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4259-4
• Stekolshchik, R. (2008), Notas sobre las transformaciones de Coxeter y la correspondencia de McKay , Monografías de Springer en Matemáticas, arXiv : math/0510216 , doi :10.1007/978-3-540-77399-3, ISBN 978-3-540-77398-6, S2CID  117958873
• Carbone, Lisa; Chung, Sjuvon; Cobbs, Leigh; Mcrae, Robert; Nandi, Debajyoti; Navqi, Yusra; Penta, Diego (marzo de 2010), "Clasificación de diagramas hiperbólicos de Dynkin, longitudes de raíces y órbitas del grupo Weyl". (PDF) , Journal of Physics A: Matemática y teórica , 43 (15): 155209, ARXIV : 1003.0564 , Bibcode : 2010jpha ... 43o5209c, doi : 10.1088/1751-8113/43/15/155209, MR  2608277, S2cid  16946456
• Kac, Víctor G. (1994). Álgebras de mentira de dimensión infinita. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-46693-6.
• Dynkin, Eugene B. (2000). Yushkevich, AA; Seitz , GM; Onishchik, AL (eds.). Artículos seleccionados de EB Dynkin con comentarios. Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 978-0-8218-1065-1. SEÑOR  1757976.

enlaces externos

• John Baez sobre la ubicuidad de los diagramas de Dynkin en matemáticas
• Herramienta web para realizar diagramas Dynkin con calidad de publicación y etiquetas (escritos en JavaScript)