Grupo de reflexión

En teoría de grupos y geometría , un grupo de reflexión es un grupo discreto que se genera por un conjunto de reflexiones de un espacio euclidiano de dimensión finita . El grupo de simetría de un politopo regular o de una teselación del espacio euclidiano por copias congruentes de un politopo regular es necesariamente un grupo de reflexión. Los grupos de reflexión también incluyen grupos de Weyl y grupos de Coxeter cristalográficos . Si bien el grupo ortogonal se genera por reflexiones (por el teorema de Cartan-Dieudonné ), es un grupo continuo (de hecho, grupo de Lie ), no un grupo discreto, y generalmente se considera por separado.

Definición

Sea E un espacio euclidiano de dimensión finita . Un grupo de reflexión finito es un subgrupo del grupo lineal general de E que se genera mediante un conjunto de reflexiones ortogonales a través de hiperplanos que pasan por el origen. Un grupo de reflexión afín es un subgrupo discreto del grupo afín de E que se genera mediante un conjunto de reflexiones afines de E (sin el requisito de que los hiperplanos de reflexión pasen por el origen).

Las nociones correspondientes pueden definirse sobre otros campos , dando lugar a grupos de reflexión complejos y análogos de grupos de reflexión sobre un campo finito .

Ejemplos

Dos dimensiones

En dos dimensiones, los grupos de reflexión finitos son los grupos diedros , que se generan por reflexión en dos líneas que forman un ángulo de y corresponden al diagrama de Coxeter. Por el contrario, los grupos puntuales cíclicos en dos dimensiones no se generan por reflexiones, ni contienen ninguna: son subgrupos de índice 2 de un grupo diedro. ${\displaystyle 2\pi /n}$ ${\displaystyle I_{2}(n).}$

Los grupos de reflexión infinitos incluyen los grupos de frisos y y los grupos de papel tapiz , , , y . Si el ángulo entre dos líneas es un múltiplo irracional de pi, el grupo generado por las reflexiones en estas líneas es infinito y no discreto, por lo tanto, no es un grupo de reflexión. ${\displaystyle *\infty \infty }$ ${\displaystyle *22\infty }$ ${\displaystyle **}$ ${\displaystyle *2222}$ ${\displaystyle *333}$ ${\displaystyle *442}$ ${\displaystyle *632}$

Tres dimensiones

Los grupos de reflexión finitos son los grupos puntuales C _nv , D _nh y los grupos de simetría de los cinco sólidos platónicos . Los poliedros regulares duales (cubo y octaedro, así como dodecaedro e icosaedro) dan lugar a grupos de simetría isomorfos. La clasificación de los grupos de reflexión finitos de R ³ es una instancia de la clasificación ADE .

Relación con los grupos de Coxeter

Un grupo de reflexión W admite una presentación de un tipo especial descubierto y estudiado por H. S. M. Coxeter . ^[1] Las reflexiones en las caras de una "cámara" fundamental fija son generadores r _i de W de orden 2. Todas las relaciones entre ellos se siguen formalmente de las relaciones

${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{c_{ij}}=1,}$

expresando el hecho de que el producto de las reflexiones r _i y r _j en dos hiperplanos H _i y H _j que se encuentran en un ángulo es una rotación por el ángulo que fija el subespacio H _i  ∩  H _j de codimensión 2. Por lo tanto, visto como un grupo abstracto, cada grupo de reflexión es un grupo de Coxeter . ${\displaystyle \pi /c_{ij}}$ ${\displaystyle 2\pi /c_{ij}}$

Campos finitos

Cuando se trabaja con cuerpos finitos, se define una "reflexión" como una función que fija un hiperplano. Geométricamente, esto equivale a incluir cizalladuras en un hiperplano. Los grupos de reflexión sobre cuerpos finitos de característica no 2 fueron clasificados por Zalesskiĭ y Serežkin (1981).

Generalizaciones

También se han considerado grupos de isometría discretos de variedades riemannianas más generales generadas por reflexiones. La clase más importante surge de los espacios simétricos riemannianos de rango 1: la n-esfera S ⁿ , correspondiente a grupos de reflexión finitos, el espacio euclidiano R ⁿ , correspondiente a grupos de reflexión afines, y el espacio hiperbólico H ⁿ , donde los grupos correspondientes se denominan grupos de reflexión hiperbólicos . En dos dimensiones, los grupos triangulares incluyen grupos de reflexión de los tres tipos.

Véase también

• Disposición de hiperplanos
• Teorema de Chevalley-Shephard-Todd
• Los grupos de reflexión están relacionados con los caleidoscopios . ^[2]
• Subgrupo parabólico de un grupo de reflexión

Referencias

Notas

1. Coxeter (1934, 1935)
2. Buen hombre (2004).

Bibliografía

• Coxeter, HSM (1934), "Grupos discretos generados por reflexiones", Ann. of Math. , 35 (3): 588–621, CiteSeerX  10.1.1.128.471 , doi :10.2307/1968753, JSTOR  1968753
• Coxeter, HSM (1935), "La enumeración completa de grupos finitos de la forma ", J. London Math. Soc. , 10 : 21–25, doi :10.1112/jlms/s1-10.37.21 ${\displaystyle r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1}$
• Goodman, Roe (abril de 2004), "Las matemáticas de los espejos y los caleidoscopios" (PDF) , American Mathematical Monthly , 111 (4): 281–298, CiteSeerX  10.1.1.127.6227 , doi :10.2307/4145238, JSTOR  4145238
• Zalesskiĭ, Aleksandr E.; Serežkin, VN (1981), "Grupos lineales finitos generados por reflexiones", Math. URSS Izv. , 17 (3): 477–503, Bibcode :1981IzMat..17..477Z, doi :10.1070/IM1981v017n03ABEH001369

Libros de texto

• Borovik, Alexandre ; Borovik, Anna (2010), Espejos y reflexiones: la geometría de grupos de reflexión finitos , Nueva York: Springer , ISBN 9780387790664
• Grove, LC; Benson, CT (1985), Grupos de reflexión finitos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 99 (2.ª ed.), Springer-Verlag, Nueva York, doi : 10.1007/978-1-4757-1869-0, ISBN 0-387-96082-1, Sr.  0777684
• Humphreys, James E. (1992), Grupos de reflexión y grupos de Coxeter, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43613-7

Enlaces externos

• Medios relacionados con Grupos de reflexión en Wikimedia Commons
• "Grupo de reflexión", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]