En geometría de 8 dimensiones , el 4 21 es un 8 politopo uniforme semirregular , construido dentro de la simetría del grupo E 8 . Fue descubierto por Thorold Gosset , publicado en su artículo de 1900. Lo llamó figura semirregular de 8-ic . [1]
Su símbolo de Coxeter es 4 21 , que describe su diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado , con un solo anillo al final de las secuencias de 4 nodos,
.
El 4 21 rectificado se construye mediante puntos en los bordes medios del 4 21 . El 4 21 birectificado se construye mediante puntos en los centros de las caras triangulares del 4 21 . El 4 21 trirectificado está construido por puntos en los centros tetraédricos del 4 21 .
Estos politopos son parte de una familia de 255 = 2 8 − 1 8 politopos uniformes convexos , hechos de facetas uniformes de 7 politopos y figuras de vértices , definidos por todas las permutaciones de uno o más anillos en este diagrama de Coxeter-Dynkin:.
El politopo 4 21 tiene 17.280 facetas 7-simplex y 2.160 7-orthoplex , y 240 vértices. Su figura de vértice es el politopo 3 21 . Como sus vértices representan los vectores raíz del grupo de Lie simple E 8 , este politopo a veces se denomina politopo raíz E 8 .
Los vértices de este politopo también se pueden obtener tomando los 240 octoniones integrales de la norma 1. Debido a que los octoniones son un álgebra de división normada no asociativa , estos 240 puntos tienen una operación de multiplicación que los convierte no en un grupo sino en un bucle , de hecho, un Bucle de Moufang .
Para la visualización, este politopo de 8 dimensiones a menudo se muestra en una dirección de proyección ortográfica sesgada especial que ajusta sus 240 vértices dentro de un triacontagono regular (llamado polígono de Petrie ). Sus 6720 aristas se dibujan entre los 240 vértices. En esta proyección también se pueden extraer y dibujar elementos superiores específicos (caras, celdas, etc.).
Es creado por una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 8 espejos hiperplanos en un espacio de 8 dimensiones.
Los 240 vértices del politopo 4 21 se pueden construir en dos conjuntos: 112 ( 2 2 × 8 C 2 ) con coordenadas obtenidas tomando una combinación arbitraria de signos y una permutación arbitraria de coordenadas, y 128 raíces (2 7 ) con coordenadas obtenidas tomando un número par de signos menos (o, de manera equivalente, exigiendo que la suma de las ocho coordenadas sea múltiplo de 4).
Cada vértice tiene 56 vecinos más cercanos; por ejemplo, los vecinos más cercanos del vértice son aquellos cuyas coordenadas suman 4, es decir, el 28 obtenido al permutar las coordenadas de y el 28 obtenido al permutar las coordenadas de . Estos 56 puntos son los vértices de un politopo de 3 21 en 7 dimensiones.
Cada vértice tiene 126 segundos vecinos más cercanos: por ejemplo, los vecinos más cercanos del vértice son aquellos cuyas coordenadas suman 0, es decir, los 56 obtenidos al permutar las coordenadas de y los 70 obtenidos al permutar las coordenadas de . Estos 126 puntos son los vértices de un politopo de 2 31 en 7 dimensiones.
Cada vértice también tiene 56 terceros vecinos más cercanos, que son los negativos de sus vecinos más cercanos, y un vértice antípoda, para un total de vértices.
Otra construcción es tomar una combinación con signo de 14 palabras en código de código Hamming extendido de 8 bits (8,4) que dan 14 × 2 4 = 224 vértices y agregar un eje trivial con signo para los últimos 16 vértices. En este caso, los vértices están a una distancia de desde el origen en lugar de .
Código Hamming de 8 bits 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ⇒ ± ± ± ± 0 0 0 0 2 1 1 0 0 1 1 0 0 ⇒ ± ± 0 0 ± ± 0 0 3 0 0 1 1 1 1 0 0 ⇒ 0 0 ± ± ± ± 0 0 4 1 0 1 0 1 0 1 0 ⇒ ± 0 ± 0 ± 0 ± 0 ±2 0 0 0 0 0 0 0 5 0 1 0 1 1 0 1 0 ⇒ 0 ± 0 ± ± 0 ± 0 0 ±2 0 0 0 0 0 0 6 0 1 1 0 0 1 1 0 ⇒ 0 ± ± 0 0 ± ± 0 0 0 ±2 0 0 0 0 0 7 1 0 0 1 0 1 1 0 ⇒ ± 0 0 ± 0 ± ± 0 0 0 0 ±2 0 0 0 0 8 0 1 1 0 1 0 0 1 ⇒ 0 ± ± 0 ± 0 0 ± 0 0 0 0 ±2 0 0 0 9 1 0 0 1 1 0 0 1 ⇒ ± 0 0 ± ± 0 0 ± 0 0 0 0 0 ±2 0 0 A 1 0 1 0 0 1 0 1 ⇒ ± 0 ± 0 0 ± 0 ± 0 0 0 0 0 0 ±2 0 B 0 1 0 1 0 1 0 1 ⇒ 0 ± 0 ± 0 ± 0 ± 0 0 0 0 0 0 0 ±2 C 1 1 0 0 0 0 1 1 ⇒ ± ± 0 0 0 0 ± ± D 0 0 1 1 0 0 1 1 ⇒ 0 0 ± ± 0 0 ± ± E 0 0 0 0 1 1 1 1 ⇒ 0 0 0 0 ± ± ± ± F 1 1 1 1 1 1 1 1 (224 vértices + 16 vértices)
Otra descomposición da los 240 puntos en 9 dimensiones como un 8 símplex expandido ,
y dos 8-simplex birectificados opuestos ,
y
.
Esto surge de manera similar a la relación de la red A8 y la red E8 , compartiendo 8 espejos de A8 :.
Este politopo es la figura del vértice de una teselación uniforme del espacio de 8 dimensiones, representada por el símbolo 5 21 y el diagrama de Coxeter-Dynkin:
La información de facetas de este politopo se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin :
Al eliminar el nodo en la rama corta se deja el 7-simplex :
Al quitar el nodo al final de la rama de 2 longitudes, se deja el ortoplex 7 en su forma alterna ( 4 11 ):
Cada faceta de 7 simples toca solo facetas de 7 ortoplex, mientras que las facetas alternas de una faceta de ortoplex tocan un simplex u otro ortoplex. Hay 17.280 facetas simples y 2160 facetas ortoplex.
Dado que cada 7-simplex tiene 7 facetas de 6-simplex, y cada una de ellas no coincide con ningún otro 6-simplex, el politopo 4 21 tiene 120,960 (7 × 17,280) caras de 6-simplex que son facetas de 7-simplex. Dado que cada 7-ortoplex tiene 128 (2 7 ) facetas de 6-simplex, la mitad de las cuales no son incidentales a 7-simplex, el politopo 4 21 tiene 138,240 (2 6 ×2160) caras de 6-simplex que no son facetas de 7- simples. Por tanto, el politopo 4 21 tiene dos tipos de caras 6-simplex, no intercambiadas por simetrías de este politopo. El número total de caras de 6 caras simples es 259200 (120,960+138,240).
La figura del vértice de un politopo de un solo anillo se obtiene eliminando el nodo anillado y haciendo sonar a sus vecinos. Esto forma el politopo 3 21 .
Visto en una matriz de configuración , los recuentos de elementos se pueden derivar mediante la eliminación de espejos y las proporciones de los pedidos del grupo Coxeter . [4]
Estos gráficos representan proyecciones ortográficas en los planos E 8 , E 7 , E 6 y B 8 , D 8 , D 7 , D 6 , D 5 , D 4 , D 3 , A 7 , A 5 de Coxeter . Los colores de los vértices se superponen por multiplicidad en la proyección: se colorean por orden creciente de multiplicidades como rojo, naranja, amarillo, verde.
El politopo 4 21 es el último de una familia llamada politopos k 21 . El primer politopo de esta familia es el prisma triangular semirregular que se construye a partir de tres cuadrados (2-ortoplexes) y dos triángulos (2-simplexes).
El 4 21 está relacionado con el de 600 celdas mediante un plegado geométrico de los diagramas de Coxeter-Dynkin . Esto se puede ver en las proyecciones del plano Coxeter E8/H4 . Los 240 vértices del politopo 4 21 se proyectan en 4 espacios como dos copias de los 120 vértices del politopo de 600 celdas, una copia más pequeña (escalada según la proporción áurea ) que la otra con la misma orientación. Visto como una proyección ortográfica 2D en el plano E8/H4 de Coxeter, los 120 vértices de las 600 celdas se proyectan en los mismos cuatro anillos como se ve en el 4 21 . Los otros 4 anillos del gráfico 4 21 también coinciden con una copia más pequeña de los cuatro anillos del gráfico de 600 celdas.
En geometría compleja de 4 dimensiones, el politopo complejo regular 3 {3} 3 {3} 3 {3} 3 y el diagrama de Coxeter 
existe con la misma disposición de vértices que el politopo 4 21 . Es autodual. Coxeter lo llamó politopo de Witting , en honor a Alexander Witting . Coxeter expresa su simetría del grupo Shephard por 3 [3] 3 [3] 3 [3] 3 . [7]
El 4 21 es el sexto de una serie dimensional de politopos semirregulares . Cada politopo uniforme progresivo se construye como figura de vértice del politopo anterior. Thorold Gosset identificó esta serie en 1900 como que contiene todas las facetas de politopos regulares , que contienen todos los símplex y ortoplexes .
El 4 21 rectificado puede verse como una rectificación del politopo 4 21 , creando nuevos vértices en el centro de los bordes del 4 21 .
Es creado por una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 8 espejos hiperplanos en un espacio de 8 dimensiones. Lleva el nombre de ser una rectificación del 4 21 . Los vértices se colocan en el punto medio de todas las aristas de 4 21 y las nuevas aristas que las conectan.
La información de las facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin .
Al eliminar el nodo de la rama corta se obtiene el 7-simplex rectificado :
Al quitar el nodo al final de la rama de 2 longitudes, se deja el 7-ortoplex rectificado en su forma alterna:
Quitar el nodo al final de la rama de 4 longitudes deja el 3 21 :
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y agregando un anillo al nodo vecino. Esto forma un prisma de 2 21 .
Las coordenadas cartesianas de los 6720 vértices del 4 21 rectificado vienen dadas por todas las permutaciones de coordenadas de otros tres politopos uniformes:
Estos gráficos representan proyecciones ortográficas en los planos E 8 , E 7 , E 6 y B 8 , D 8 , D 7 , D 6 , D 5 , D 4 , D 3 , A 7 , A 5 de Coxeter . Los colores de los vértices se superponen por multiplicidad en la proyección: se colorean por orden creciente de multiplicidades como rojo, naranja, amarillo, verde.
El 4 21 birectificado puede verse como una segunda rectificación del politopo uniforme 4 21 . Los vértices de este politopo están ubicados en los centros de todas las 60480 caras triangulares del 4 21 .
Es creado por una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 8 espejos hiperplanos en un espacio de 8 dimensiones. Lleva el nombre de ser una birectificación del 4 21 . Los vértices están ubicados en el centro de todas las caras del triángulo de 4 21 .
La información de las facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin .
Al eliminar el nodo de la rama corta se obtiene el 7-simplex birectificado . Hay 17280 de estas facetas.
Al quitar el nodo al final de la rama de 2 longitudes, se deja el 7-ortoplex birectificado en su forma alterna. Hay 2160 de estas facetas.
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 4 longitudes deja el 3 rectificado 21 . Hay 240 de estas facetas.
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y agregando anillos a los nodos vecinos. Esto forma un duoprisma triangular de 5 semicubos .
Estos gráficos representan proyecciones ortográficas en los planos E 8 , E 7 , E 6 y B 8 , D 8 , D 7 , D 6 , D 5 , D 4 , D 3 , A 7 , A 5 de Coxeter . Los bordes no están dibujados. Los colores de los vértices se superponen por multiplicidad en la proyección: se colorean por orden creciente de multiplicidades como rojo, naranja, amarillo, verde, etc.
Es creado por una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 8 espejos hiperplanos en un espacio de 8 dimensiones. Lleva el nombre de ser una birectificación del 4 21 . Los vértices están ubicados en el centro de todas las caras del triángulo de 4 21 .
La información de las facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin .
Al eliminar el nodo de la rama corta se obtiene el 7-simplex trirectificado :
Al eliminar el nodo al final de la rama de 2 longitudes, se deja el 7-ortoplex trirectificado en su forma alterna:
Quitar el nodo al final de la rama de 4 longitudes deja el 3 21 birectificado :
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y haciendo sonar los nodos vecinos. Esto forma un tetraedro : duoprisma rectificado de 5 células .
Estos gráficos representan proyecciones ortográficas en los planos E 7 , E 6 , B 8 , D 8 , D 7 , D 6 , D 5 , D 4 , D 3 , A 7 y A 5 de Coxeter . Los colores de los vértices se superponen por multiplicidad en la proyección: se colorean por orden creciente de multiplicidades como rojo, naranja, amarillo, verde.
(E 8 y B 8 eran demasiado grandes para exhibirse)
