Politopo de Witting

En geometría compleja de 4 dimensiones , el politopo de Witting es un politopo complejo regular , denominado como: ₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃ , y diagrama de Coxeter Tiene 240 vértices, 2160 ₃ {} aristas, 2160 ₃ {3} ₃ caras y 240 ₃ {3} ₃ {3} ₃ celdas. Es autodual. Cada vértice pertenece a 27 aristas, 72 caras y 27 celdas, correspondientes a la figura de vértice del poliedro de Hesse .

Simetría

Su simetría por ₃ [3] ₃ [3] ₃ [3] ₃ o, orden 155.520. ^[1] Tiene 240 ejemplares de, orden 648 en cada celda. ^[2]

Estructura

La matriz de configuración es: ^[3] ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}240&27&72&27\\3&2160&8&8\\8&8&2160&3\\27&72&27&240\end{smallmatrix}}\right]}$

El número de vértices, aristas, caras y celdas se ve en la diagonal de la matriz. Estos se calculan mediante el orden del grupo dividido por el orden del subgrupo, eliminando ciertas reflexiones complejas, que se muestran con X a continuación. El número de elementos de las k-caras se ve en filas debajo de la diagonal. El número de elementos en la figura del vértice, etc., se da en filas sobre la diagonal.

Coordenadas

Sus 240 vértices tienen coordenadas en : ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$

dónde . ${\displaystyle \omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\lambda ,\nu ,\mu =0,1,2}$

Los últimos 6 puntos forman agujeros hexagonales en uno de sus 40 diámetros. Hay 40 hiperplanos que contienen ₃ {3} ₃ {4} ₂ centrales ,figuras, con 72 vértices.

Configuración de Witting

Coxeter lo nombró en honor a Alexander Witting por ser una configuración de Witting en un espacio proyectivo complejo de 3 espacios: ^[4]

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}40&12&12\\2&240&2\\12&12&40\end{smallmatrix}}\right]}$o ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}40&9&12\\4&90&4\\12&9&40\end{smallmatrix}}\right]}$

La configuración de Witting está relacionada con el espacio finito PG(3,2 ² ), que consta de 85 puntos, 357 líneas y 85 planos. ^[5]

Politopo real relacionado

Sus 240 vértices se comparten con el politopo real de 8 dimensiones 4 21 ,Sus 2160 3-aristas a veces se dibujan como 6480 aristas simples, ligeramente menos que las 6720 aristas de 4 ₂₁ . La diferencia de 240 se explica por 40 hexágonos centrales en 4 ₂₁ cuyas aristas no están incluidas en ₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃ . ^[6]

El panal de politopos de Witting

El politopo regular de Witting tiene una etapa más como panal de abeja de 4 dimensiones ,Tiene como facetas y como figura de vértice el politopo de Witting. Es autodual y su dual coincide consigo mismo. ^[7]

Las secciones de hiperplano de este panal incluyen panales tridimensionales.

El panal de politopos de Witting tiene una representación real como el politopo de 8 dimensiones 5 21 ,.

Los elementos de su vector f son proporcionales: 1, 80, 270, 80, 1. ^[8] La matriz de configuración del panal es:

Notas

1. Politopos convexos regulares de Coxeter, 12.5 El politopo de Witting
2. Coxeter, Politopos regulares complejos, p.134
3. Coxeter, Politopos regulares complejos, p.132
4. Alexander Witting, Ueber Jacobi'sche Functionen k ^ter Ordnung Zweier Variabler, Mathemematische Annalen 29 (1887), 157-70, véase especialmente la página 169
5. Coxeter, Politopos regulares complejos, p.133
6. Coxeter, Politopos regulares complejos, p.134
7. Coxeter, Politopos regulares complejos, p.135
8. Politopos convexos regulares de Coxeter, 12.5 El politopo de Witting

Referencias

• Coxeter, HSM y Moser, WOJ; Generadores y relaciones para grupos discretos (1965), esp pp 67–80.
• Coxeter, HSM ; Regular Complex Polytopes , Cambridge University Press, segunda edición (1991). págs. 132–5, 143, 146, 152.
• Coxeter, HSM y Shephard, GC; Retratos de una familia de politopos complejos, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239–244 [1]