En matemáticas , la trialidad es una relación entre tres espacios vectoriales , análoga a la relación de dualidad entre espacios vectoriales duales . Más comúnmente, describe aquellas características especiales del diagrama de Dynkin D 4 y el grupo de Lie asociado Spin(8) , la doble cobertura del grupo de rotación de 8 dimensiones SO(8) , que surgen porque el grupo tiene un automorfismo externo de orden tres. Existe una versión geométrica de la trialidad, análoga a la dualidad en geometría proyectiva .
De todos los grupos de Lie simples , Spin(8) tiene el diagrama de Dynkin más simétrico, D 4 . El diagrama tiene cuatro nodos con un nodo ubicado en el centro y los otros tres unidos simétricamente. El grupo de simetría del diagrama es el grupo simétrico S 3 que actúa permutando los tres lados. Esto da lugar a un grupo S 3 de automorfismos externos de Spin(8). Este grupo de automorfismos permuta las tres representaciones irreducibles de 8 dimensiones de Spin(8); estas son la representación vectorial y dos representaciones de espín quirales . Estos automorfismos no se proyectan a automorfismos de SO(8). La representación vectorial, la acción natural de SO(8) (de ahí Spin(8)) sobre F 8 , consiste en los números reales de 8-vectores euclidianos y generalmente se conoce como el "módulo definitorio", mientras que las representaciones de espín quirales también se conocen como "representaciones de medio espín" , y las tres son representaciones fundamentales .
Ningún otro diagrama de Dynkin conexo tiene un grupo de automorfismo de orden mayor que 2; para otros D n (correspondientes a otros grupos de espín par, Spin(2 n )), todavía existe el automorfismo correspondiente a cambiar las dos representaciones de medio espín, pero estas no son isomorfas a la representación vectorial.
En términos generales, las simetrías del diagrama de Dynkin conducen a automorfismos del edificio de Tits asociado con el grupo. Para grupos lineales especiales , se obtiene dualidad proyectiva. Para Spin(8), se encuentra un fenómeno curioso que involucra subespacios unidimensionales, bidimensionales y tetradimensionales del espacio de ocho dimensiones, conocido históricamente como "trialidad geométrica".
La excepcional simetría triple del diagrama D 4 también da lugar al grupo de Steinberg 3 D 4 .
Una dualidad entre dos espacios vectoriales sobre un cuerpo F es una forma bilineal no degenerada
es decir, para cada vector v distinto de cero en uno de los dos espacios vectoriales, el emparejamiento con v es una función lineal distinta de cero en el otro.
De manera similar, una trialidad entre tres espacios vectoriales sobre un cuerpo F es una forma trilineal no degenerada
es decir, cada vector distinto de cero en uno de los tres espacios vectoriales induce una dualidad entre los otros dos.
Al elegir vectores e i en cada V i en los que la forma trilineal evalúa a 1, encontramos que los tres espacios vectoriales son todos isomorfos entre sí y con sus duales. Denotando este espacio vectorial común por V , la trialidad puede reexpresarse como una multiplicación bilineal
donde cada e i corresponde al elemento identidad en V . La condición de no degeneración ahora implica que V es un álgebra de composición . De ello se deduce que V tiene dimensión 1, 2, 4 u 8. Si además F = R y la forma utilizada para identificar V con su dual es positivamente definida , entonces V es un álgebra euclidiana de Hurwitz y, por lo tanto, es isomorfa a R , C , H u O .
Por el contrario, las álgebras de composición dan lugar inmediatamente a trialidades al tomar cada V i igual al álgebra y contraer la multiplicación con el producto interno del álgebra para hacer una forma trilineal.
Una construcción alternativa de trialidades utiliza espinores en las dimensiones 1, 2, 4 y 8. El caso de ocho dimensiones corresponde a la propiedad de trialidad de Spin(8).
