SO(8)

Grupo de rotación en el espacio euclidiano de ocho dimensiones

D 4 , Diagrama de Dynkin de SO(8)

En matemáticas , SO(8) es el grupo ortogonal especial que actúa en el espacio euclidiano de ocho dimensiones . Puede ser un grupo de Lie simple, real o complejo, de rango 4 y dimensión 28.

Girar(8)

Como todos los grupos ortogonales especiales de , SO(8) no está simplemente conexo , ya que tiene un grupo fundamental isomorfo a Z 2 . La cubierta universal de SO(8) es el grupo de espín Spin(8) . ${\displaystyle n>2}$

Centro

El centro de SO(8) es Z ₂ , las matrices diagonales {±I} (como para todos los SO(2 n ) con 2 n ≥ 4), mientras que el centro de Spin(8) es Z ₂ × Z ₂ (como para todos los Spin(4 n ), 4 n ≥ 4).

Trialidad

SO(8) es único entre los grupos de Lie simples en que su diagrama de Dynkin ,( D 4 bajo la clasificación de Dynkin), posee una simetría triple . Esto da lugar a la característica peculiar de Spin(8) conocida como trialidad . Relacionado con esto está el hecho de que las dos representaciones de espinor , así como la representación vectorial fundamental , de Spin(8) son todas de ocho dimensiones (para todos los demás grupos de espines, la representación de espinor es menor o mayor que la representación vectorial). El automorfismo de trialidad de Spin(8) vive en el grupo de automorfismos externo de Spin(8) que es isomorfo al grupo simétrico S ₃ que permuta estas tres representaciones. El grupo de automorfismos actúa sobre el centro Z ₂ x Z ₂ (que también tiene un grupo de automorfismos isomorfo a S ₃ que también puede considerarse como el grupo lineal general sobre el cuerpo finito con dos elementos, S ₃ ≅GL(2,2)). Cuando se cociente Spin(8) por un Z ₂ central , rompiendo esta simetría y obteniendo SO(8), el grupo de automorfismos externos restante es solamente Z ₂ . La simetría de trialidad actúa nuevamente sobre el cociente adicional SO(8)/ Z ₂ .

A veces, Spin(8) aparece naturalmente en una forma "ampliada", como el grupo de automorfismos de Spin(8), que se descompone como un producto semidirecto : Aut(Spin(8)) ≅ PSO (8) ⋊ S ₃ .

Octoniones unitarios

Los elementos de SO(8) pueden describirse con octoniones unitarios , de forma análoga a cómo los elementos de SO(2) pueden describirse con números complejos unitarios y los elementos de SO(4) pueden describirse con cuaterniones unitarios . Sin embargo, la relación es más complicada, en parte debido a la no asociatividad de los octoniones. Un elemento general en SO(8) puede describirse como el producto de 7 multiplicaciones por la izquierda, 7 multiplicaciones por la derecha y también 7 bimultiplicaciones por octoniones unitarios (una bimultiplicación es la composición de una multiplicación por la izquierda y una multiplicación por la derecha por el mismo octonión y se define de forma inequívoca debido a que los octoniones obedecen a las identidades de Moufang ).

Se puede demostrar que un elemento de SO(8) se puede construir con bimultiplicaciones, mostrando primero que los pares de reflexiones a través del origen en un espacio de ocho dimensiones corresponden a pares de bimultiplicaciones por octoniones unitarios. El automorfismo de trialidad de Spin(8) descrito a continuación proporciona construcciones similares con multiplicaciones por la izquierda y por la derecha. ^[1]

Octoniones y trialidad

Si y , se puede demostrar que esto es equivalente a , lo que significa que sin ambigüedad. Un triple de mapas que preservan esta identidad, de modo que se llama isotopía . Si los tres mapas de una isotopía están en , la isotopía se llama isotopía ortogonal. Si , entonces siguiendo lo anterior se puede describir como el producto de bimultiplicaciones de octoniones unitarios, digamos . Sean los productos correspondientes de las multiplicaciones izquierda y derecha por los conjugados (es decir, los inversos multiplicativos) de los mismos octoniones unitarios, de modo que , . Un cálculo simple muestra que es una isotopía. Como resultado de la no asociatividad de los octoniones, la única otra isotopía ortogonal para es . Como el conjunto de isotopías ortogonales produce una cobertura de 2 a 1 de , de hecho deben ser . ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {O} }$ ${\displaystyle (xy)z=1}$ ${\displaystyle x(yz)=1}$ ${\displaystyle xyz=1}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle x^{\alpha }y^{\beta }z^{\gamma }=1}$ ${\displaystyle \operatorname {SO(8)} }$ ${\displaystyle \gamma \in \operatorname {SO(8)} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma =B_{u_{1}}...B_{u_{n}}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \operatorname {SO(8)} }$ ${\displaystyle \alpha =L_{\overline {u_{1}}}...L_{\overline {u_{n}}}}$ ${\displaystyle \beta =R_{\overline {u_{1}}}...R_{\overline {u_{n}}}}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (-\alpha ,-\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (8)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (8)}$

Los inversos multiplicativos de los octoniones son bilaterales, lo que significa que es equivalente a . Esto significa que una isotopía dada se puede permutar cíclicamente para dar dos isotopías más y . Esto produce un automorfismo externo de orden 3 de . Este automorfismo de "trialidad" es excepcional entre los grupos de espín . No existe un automorfismo de trialidad de , ya que para un determinado las funciones correspondientes solo se determinan de forma única hasta el signo. ^[1] ${\displaystyle xyz=1}$ ${\displaystyle yzx=1}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\alpha )}$ ${\displaystyle (\gamma ,\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (8)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (8)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$

Sistema de raíces

${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0)}$

${\displaystyle (\pm 1,0,\pm 1,0)}$

${\displaystyle (\pm 1,0,0,\pm 1)}$

${\displaystyle (0,\pm 1,\pm 1,0)}$

${\displaystyle (0,\pm 1,0,\pm 1)}$

${\displaystyle (0,0,\pm 1,\pm 1)}$

Grupo Weyl

Su grupo Weyl / Coxeter tiene 4!×8=192 elementos.

Matriz de Cartan

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&-1&-1\\-1&2&0&0\\-1&0&2&0\\-1&0&0&2\end{pmatrix}}}$

Véase también

• Octoniones
• Álgebra de Clifford
• G2​

Referencias

1. John H. Conway; Derek A. Smith (23 de enero de 2003). Sobre cuaterniones y octoniones. Taylor & Francis. ISBN 978-1-56881-134-5.

• Adams, JF (1996), Conferencias sobre grupos de Lie excepcionales , Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press , ISBN 0-226-00526-7
• Chevalley, Claude (1997), La teoría algebraica de los espinores y las álgebras de Clifford , Obras completas, vol. 2, Springer-Verlag, ISBN 3-540-57063-2(publicado originalmente en 1954 por Columbia University Press )
• Porteous, Ian R. (1995), Álgebras de Clifford y los grupos clásicos , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 50, Cambridge University Press , ISBN 0-521-55177-3