Bucle de Moufang

Estructura algebraica

En matemáticas , un bucle de Moufang es un tipo especial de estructura algebraica . Es similar a un grupo en muchos aspectos, pero no necesita ser asociativo . Los bucles de Moufang fueron introducidos por Ruth Moufang  (1935). Los bucles de Moufang suaves tienen un álgebra asociada, el álgebra de Malcev , similar en algunos aspectos a cómo un grupo de Lie tiene un álgebra de Lie asociada .

Definición

Un bucle Moufang es un bucle que satisface las cuatro identidades equivalentes siguientes para todos los , , en (la operación binaria en se denota por yuxtaposición): ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$

1. ${\displaystyle z(x(zy))=((zx)z)y}$
2. ${\displaystyle x(z(yz))=((xz)y)z}$
3. ${\displaystyle (zx)(yz)=(z(xy))z}$
4. ${\displaystyle (zx)(yz)=z((xy)z)}$

Estas identidades se conocen como identidades Moufang .

Ejemplos

• Cualquier grupo es un bucle asociativo y, por lo tanto, un bucle Moufang.
• Los octoniones distintos de cero forman un bucle Moufang no asociativo bajo la multiplicación de octoniones.
• El subconjunto de octoniones de norma unitaria (que forman una 7-esfera en O ) está cerrado bajo multiplicación y, por lo tanto, forma un bucle de Moufang.
• El subconjunto de octoniones integrales de norma unitaria es un bucle Moufang finito de orden 240.
• Los octoniones base y sus inversos aditivos forman un bucle Moufang finito de orden 16.
• El conjunto de octoniones divididos invertibles forma un bucle de Moufang no asociativo, al igual que el conjunto de octoniones divididos con norma unitaria. En términos más generales, el conjunto de elementos invertibles en cualquier álgebra de octoniones sobre un cuerpo F forma un bucle de Moufang, al igual que el subconjunto de elementos con norma unitaria.
• El conjunto de todos los elementos invertibles en un anillo alternativo R forma un bucle de Moufang llamado bucle de unidades en R.
• Para cualquier cuerpo F, sea M ( F ) el bucle de Moufang de elementos de norma unitaria en el álgebra de octoniones divididos (única) sobre F . Sea Z el centro de M ( F ). Si la característica de F es 2, entonces Z = { e }, de lo contrario Z = {± e }. El bucle de Paige sobre F es el bucle M *( F ) = M ( F )/ Z . Los bucles de Paige son bucles de Moufang simples no asociativos. Todos los bucles de Moufang simples no asociativos finitos son bucles de Paige sobre cuerpos finitos . El bucle de Paige más pequeño M *(2) tiene orden 120.
• Se puede construir una gran clase de bucles Moufang no asociativos de la siguiente manera. Sea G un grupo arbitrario. Definamos un nuevo elemento u que no esté en G y sea M ( G ,2) = G ∪ ( G u ). El producto en M ( G ,2) está dado por el producto habitual de elementos en G junto con y ${\displaystyle 1\cdot u=u}$

  ${\displaystyle (gu)h=(gh^{-1})u}$

  ${\displaystyle g(hu)=(hg)u}$

  ${\displaystyle (gu)(hu)=h^{-1}g.}$

De ello se deduce que y . Con el producto anterior M ( G ,2) es un bucle de Moufang. Es asociativo si y solo si G es abeliano. ${\displaystyle u^{2}=1}$ ${\displaystyle ug=g^{-1}u}$

• El bucle Moufang no asociativo más pequeño es M ( S ₃ , 2) que tiene orden 12.
• Richard A. Parker construyó un bucle Moufang de orden 2 ¹³ , que fue utilizado por Conway en su construcción del grupo monstruo . El bucle de Parker tiene un centro de orden 2 con elementos denotados por 1, −1, y el cociente por el centro es un grupo abeliano elemental de orden 2 ¹² , identificado con el código binario de Golay . El bucle se define entonces hasta el isomorfismo por las ecuaciones

  A2 = (−1) ^{| A | /4}

  BA = (−1) ^{| A ∩ B |/2} AB

  A ( BC )= (−1) ^{| A ∩ B ∩ C |} ( AB ) C

donde | A | es el número de elementos de la palabra de código A , y así sucesivamente. Para más detalles, véase Conway, JH; Curtis, RT; Norton, SP; Parker, RA; y Wilson, RA: Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups. Oxford, Inglaterra.

Propiedades

Asociatividad

Los bucles Moufang se diferencian de los grupos en que no necesitan ser asociativos . Un bucle Moufang que es asociativo es un grupo. Las identidades Moufang pueden considerarse formas más débiles de asociatividad.

Al agregar varios elementos a la identidad, las identidades Moufang implican

• x ( xy ) = ( xx ) y    identidad alternativa izquierda
• ( xy ) y = x ( yy )    identidad alternativa derecha
• x ( yx ) = ( xy ) x    identidad flexible (ver álgebra flexible y álgebra alternativa ).

El teorema de Moufang establece que cuando tres elementos x , y y z en un bucle de Moufang obedecen la ley asociativa: ( xy ) z = x ( yz ) entonces generan un subbucle asociativo; es decir, un grupo. Un corolario de esto es que todos los bucles de Moufang son di-asociativos (es decir, el subbucle generado por dos elementos cualesquiera de un bucle de Moufang es asociativo y, por lo tanto, un grupo). En particular, los bucles de Moufang son asociativos de potencia , de modo que las potencias x ⁿ están bien definidas. Cuando se trabaja con bucles de Moufang, es común eliminar el paréntesis en expresiones con solo dos elementos distintos. Por ejemplo, las identidades de Moufang pueden escribirse inequívocamente como

1. z ( x ( zy )) = ( zxz ) y
2. (( xz ) y ) z = x ( zyz )
3. ( zx ) ( yz ) = z ( xy ) z .

Multiplicación por izquierda y derecha

Las identidades de Moufang se pueden escribir en términos de los operadores de multiplicación izquierdo y derecho en Q. Las dos primeras identidades establecen que

• ${\displaystyle L_{z}L_{x}L_{z}(y)=L_{zxz}(y)}$
• ${\displaystyle R_{z}R_{y}R_{z}(x)=R_{zyz}(x)}$

Mientras que la tercera identidad dice

• ${\displaystyle L_{z}(x)R_{z}(y)=B_{z}(xy)}$

para todos en . Aquí hay bimultiplicación por . La tercera identidad de Moufang es, por lo tanto, equivalente a la afirmación de que el triple es una autotopía de para todos en . ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle B_{z}=L_{z}R_{z}=R_{z}L_{z}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (L_{z},R_{z},B_{z})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Q}$

Propiedades inversas

Todos los bucles de Moufang tienen la propiedad inversa , lo que significa que cada elemento x tiene una inversa bilateral x ⁻¹ que satisface las identidades:

${\displaystyle x^{-1}(xy)=y=(yx)x^{-1}}$

para todos los x e y . Se sigue que y si y solo si . ${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}}$ ${\displaystyle x(yz)=e}$ ${\displaystyle (xy)z=e}$

Los bucles de Moufang son universales entre los bucles de propiedad inversa; es decir, un bucle Q es un bucle de Moufang si y solo si cada isótopo de bucle de Q tiene la propiedad inversa. De ello se deduce que cada isótopo de bucle de un bucle de Moufang es un bucle de Moufang.

Se pueden utilizar inversas para reescribir las identidades de Moufang izquierda y derecha en una forma más útil:

• ${\displaystyle (xy)z=(xz^{-1})(zyz)}$
• ${\displaystyle x(yz)=(xyx)(x^{-1}z).}$

Propiedad de Lagrange

Se dice que un bucle finito Q tiene la propiedad de Lagrange si el orden de cada subbucle de Q divide el orden de Q . El teorema de Lagrange en teoría de grupos establece que todo grupo finito tiene la propiedad de Lagrange. Durante muchos años fue una cuestión abierta si los bucles finitos de Moufang tenían o no la propiedad de Lagrange. La cuestión fue finalmente resuelta por Alexander Grishkov y Andrei Zavarnitsine, e independientemente por Stephen Gagola III y Jonathan Hall, en 2003: Todo bucle finito de Moufang tiene la propiedad de Lagrange. En los últimos años, Stephen Gagola III ha generalizado más resultados de la teoría de grupos finitos a los bucles de Moufang.

Cuasigrupos de Moufang

Cualquier cuasigrupo que satisfaga una de las identidades de Moufang debe, de hecho, tener un elemento de identidad y, por lo tanto, ser un bucle de Moufang. Aquí damos una prueba de la tercera identidad:

Sea a cualquier elemento de Q , y sea e el único elemento tal que ae = a .

Entonces, para cualquier x en Q , ( xa ) x = ( x ( ae )) x = ( xa )( ex ).

Cancelando xa a la izquierda se obtiene x = ex, de modo que e es un elemento identidad izquierdo.

Ahora, para cualquier y en Q , ye = ( ey )( ee ) =( e ( ye )) e = ( ye ) e .

Cancelando e en el lado derecho obtenemos y = ye , por lo que e también es un elemento identidad derecho.

Por lo tanto, e es un elemento identidad de dos caras.

Las pruebas para las dos primeras identidades son algo más difíciles (Kunen 1996).

Problemas abiertos

El problema de Phillips es un problema abierto en la teoría presentada por JD Phillips en Loops '03 en Praga. Pregunta si existe un bucle Moufang finito de orden impar con un núcleo trivial .

Recordemos que el núcleo de un bucle (o más generalmente de un cuasigrupo) es el conjunto de tales que , y son válidos para todos en el bucle. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x(yz)=(xy)z}$ ${\displaystyle y(xz)=(yx)z}$ ${\displaystyle y(zx)=(yz)x}$ ${\displaystyle y,z}$

Véase también : Problemas en teoría de bucles y teoría de cuasigrupos

Véase también

• Álgebra de Malcev
• Bucle de bol
• Grupo giroscópico
• Avión Moufang
• Polígono Moufang

Referencias

• V. D. Belousov (2001) [1994], "Bucle de Moufang", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Goodaire, Edgar G.; May, Sean; Raman, Maitreyi (1999). Los bucles de Moufang de orden inferior a 64 . Nova Science Publishers . ISBN 0-444-82438-3.
• Gagola III, Stephen (2011). "Cómo y por qué los bucles Moufang se comportan como grupos". Quasigroups and Related Systems . 19 : 1–22.
• Grishkov, Alexander; Zavarnitsine, Andrei (2005). "Teorema de Lagrange para bucles de Moufang". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 139 : 41–57. doi :10.1017/S0305004105008388.
• Kunen, K. (1996). "Cuasigrupos Moufang". Revista de Álgebra . 183 (1): 231–4. CiteSeerX  10.1.1.52.5356 . doi :10.1006/jabr.1996.0216.
• Moufang, R. (1935), "Zur Struktur von Alternativkörpern", Matemáticas. Ana. , 110 : 416–430, doi : 10.1007/bf01448037
• Romanowska, Anna B .; Smith, Jonathan DH (1999). Álgebra posmoderna . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-12738-8.

Enlaces externos

• Paquete LOOPS para GAP Este paquete tiene una biblioteca que contiene todos los bucles Moufang no asociativos de órdenes hasta el 81 inclusive.
• "Bucle Moufang". PlanetMath .