En el estudio matemático de las álgebras de Lie y los grupos de Lie , un diagrama de Satake es una generalización de un diagrama de Dynkin introducido por Satake (1960, p.109) cuyas configuraciones clasifican álgebras de Lie simples sobre el campo de números reales . Los diagramas de Satake asociados a un diagrama de Dynkin clasifican formas reales del álgebra de Lie compleja correspondiente al diagrama de Dynkin.
De manera más general, el índice de Tis o diagrama de Satake-Tits de un grupo algebraico reductivo sobre un campo es una generalización del diagrama de Satake a campos arbitrarios, introducida por Tits (1966), que reduce la clasificación de grupos algebraicos reductivos a la de reductivos anisotrópicos. grupos algebraicos.
Los diagramas de Satake no son lo mismo que los diagramas de Vogan de un grupo de Lie, aunque parecen similares.
Un diagrama de Satake se obtiene a partir de un diagrama de Dynkin ennegreciendo algunos vértices y conectando otros vértices en pares mediante flechas, de acuerdo con ciertas reglas.
Supongamos que G es un grupo algebraico definido sobre un campo k , como los reales. Dejamos que S sea un toro dividido máximo en G y tomemos que T sea un toro máximo que contiene S definido sobre la clausura algebraica separable K de k . Entonces G ( K ) tiene un diagrama de Dynkin con respecto a alguna elección de raíces positivas de T. Este diagrama de Dynkin tiene una acción natural del grupo de Galois de K / k . Además , algunas de las raíces simples desaparecen en S. El diagrama de Satake-Tits viene dado por el diagrama de Dynkin D , junto con la acción del grupo de Galois, con las raíces simples que desaparecen en S de color negro. En el caso de que k sea el campo de números reales, el grupo absoluto de Galois tiene orden 2, y su acción sobre D se representa dibujando puntos conjugados del diagrama de Dynkin cerca uno del otro, y el diagrama de Satake-Tits se llama diagrama de Satake. .
Tanto los diagramas de Satake como los de Vogan se utilizan para clasificar grupos de Lie semisimples o álgebras (o grupos algebraicos) sobre los reales y ambos consisten en diagramas de Dynkin enriquecidos ennegreciendo un subconjunto de nodos y conectando algunos pares de vértices mediante flechas. Los diagramas de Satake, sin embargo, pueden generalizarse a cualquier campo (ver arriba) y caer bajo el paradigma general de la cohomología de Galois , mientras que los diagramas de Vogan se definen específicamente sobre los reales. En términos generales, la estructura de un álgebra de Lie semisimple real está codificada de forma más transparente en su diagrama de Satake, pero los diagramas de Vogan son más sencillos de clasificar.
La diferencia esencial es que el diagrama de Satake de un álgebra de Lie semisimple real con involución de Cartan θ y el par de Cartan asociado (los espacios propios +1 y −1 de θ ) se define partiendo de una subálgebra de Cartan θ -estable máximamente no compacta , es decir, uno para el cual y es lo más pequeño posible (en la presentación anterior, aparece como el álgebra de Lie del toro dividido máximo S ), mientras que los diagramas de Vogan se definen a partir de una subálgebra de Cartan θ -estable máximamente compacta, es decir, uno para el cual y es lo más grande posible.
El diagrama de Dynkin sin adornos (es decir, el que tiene sólo nodos blancos y sin flechas), cuando se interpreta como un diagrama de Satake, representa la forma real dividida del álgebra de Lie, mientras que representa la forma compacta cuando se interpreta como un diagrama de Vogan.
