Hoja del mundo

Concepto matemático

En la teoría de cuerdas , una hoja del mundo es una variedad bidimensional que describe la incrustación de una cuerda en el espacio-tiempo . ^[1] El término fue acuñado por Leonard Susskind ^[2] como una generalización directa del concepto de línea del mundo para una partícula puntual en la relatividad especial y general .

El tipo de cuerda, la geometría del espacio-tiempo en el que se propaga y la presencia de campos de fondo de largo alcance (como los campos de calibración ) están codificados en una teoría de campos conforme bidimensional definida en la hoja del mundo. Por ejemplo, la cuerda bosónica en 26 dimensiones tiene una teoría de campos conforme de hoja del mundo que consta de 26 bosones escalares libres . Mientras tanto, una teoría de hoja del mundo de supercuerdas en 10 dimensiones consta de 10 campos escalares libres y sus supercompañeros fermiónicos .

Formulación matemática

Cuerda bosónica

Comenzamos con la formulación clásica de la cuerda bosónica.

Primero fijamos un espacio-tiempo plano -dimensional ( espacio de Minkowski -dimensional ), que sirve como espacio ambiental para la cuerda. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$

Una hoja del mundo es entonces una superficie incrustada , es decir, una 2-variedad incrustada , de modo que la métrica inducida tiene firma en todas partes. En consecuencia, es posible definir localmente coordenadas donde es temporal mientras que es espacial . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma \hookrightarrow M}$ ${\displaystyle (-,+)}$ ${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$

Las cadenas se clasifican además en abiertas y cerradas. La topología de la hoja de universo de una cadena abierta es , donde , un intervalo cerrado, y admite un gráfico de coordenadas global con y . ${\displaystyle \mathbb {R} \times I}$ ${\displaystyle I:=[0,1]}$ ${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$ ${\displaystyle -\infty <\tau <\infty }$ ${\displaystyle 0\leq \sigma \leq 1}$

Mientras tanto, la topología de la hoja del mundo de una cadena cerrada ^[3] es , y admite 'coordenadas' con y . Es decir, es una coordenada periódica con la identificación . La descripción redundante (usando cocientes) se puede eliminar eligiendo un representante . ${\displaystyle \mathbb {R} \times S^{1}}$ ${\displaystyle (\tau ,\sigma )}$ ${\displaystyle -\infty <\tau <\infty }$ ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma \sim \sigma +2\pi }$ ${\displaystyle 0\leq \sigma <2\pi }$

Métrica de hoja mundial

Para definir la acción de Polyakov , la hoja mundial está equipada con una métrica de hoja mundial ^[4] , que también tiene firma pero es independiente de la métrica inducida. ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle (-,+)}$

Dado que las transformaciones de Weyl se consideran una redundancia de la estructura métrica, se considera que la hoja del mundo está equipada con una clase conforme de métricas . Luego, define los datos de una variedad conforme con signatura . ${\displaystyle [\mathbf {g} ]}$ ${\displaystyle (\Sigma ,[\mathbf {g} ])}$ ${\displaystyle (-,+)}$

Referencias

1. Di Francesco, Philippe; Mathieu, Pedro; Sénéchal, David (1997). Teoría de campos conforme . pag. 8. doi :10.1007/978-1-4612-2256-9. ISBN 978-1-4612-2256-9.
2. Susskind, Leonard (1970). "Teoría dual-simétrica de los hadrones, I." Nuovo Cimento A. 69 ( 1): 457–496.
3. Tong, David. "Lectures on String Theory". Lectures on Theoretical Physics . Consultado el 14 de agosto de 2022 .
4. Polchinski, Joseph (1998). Teoría de cuerdas, volumen 1: Introducción a la cuerda bosónica .