Teoría de campos conformes bidimensionales

Conformal field theory on a 2D spacetime

Una teoría de campos conforme bidimensional es una teoría de campos cuánticos en un espacio bidimensional euclidiano , que es invariante bajo transformaciones conformes locales .

A diferencia de otros tipos de teorías de campos conformes , las teorías de campos conformes bidimensionales tienen álgebras de simetría de dimensión infinita . En algunos casos, esto permite resolverlas con exactitud, utilizando el método bootstrap conforme .

Las teorías de campos conformes bidimensionales notables incluyen los modelos mínimos , la teoría de Liouville , las teorías bosónicas libres sin masa , los modelos de Wess-Zumino-Witten y ciertos modelos sigma .

Estructuras básicas

Geometría

Las teorías de campos conformes bidimensionales (CFT) se definen en superficies de Riemann , donde los mapas conformes locales son funciones holomorfas . Si bien es posible que una CFT exista solo en una superficie de Riemann dada, su existencia en cualquier superficie que no sea la esfera implica su existencia en todas las superficies. ^{[1] [2]} Dada una CFT, de hecho es posible pegar dos superficies de Riemann donde existe y obtener la CFT en la superficie pegada. ^{[1] [3]} Por otro lado, algunas CFT existen solo en la esfera. A menos que se indique lo contrario, en este artículo consideramos las CFT en la esfera.

Simetrías e integrabilidad

Dada una coordenada compleja local , el espacio vectorial real de aplicaciones conformes infinitesimales tiene como base , con . (Por ejemplo, y generan traslaciones). Relajando la suposición de que es el conjugado complejo de , es decir complejizando el espacio de aplicaciones conformes infinitesimales, se obtiene un espacio vectorial complejo con base . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (\ell _{n}+{\bar {\ell }}_{n})_{n\in \mathbb {Z} }\cup (i(\ell _{n}-{\bar {\ell }}_{n}))_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \ell _{n}=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}}$ ${\displaystyle \ell _{-1}+{\bar {\ell }}_{-1}}$ ${\displaystyle i(\ell _{-1}-{\bar {\ell }}_{-1})}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (\ell _{n})_{n\in \mathbb {Z} }\cup ({\bar {\ell }}_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$

Con sus conmutadores naturales , los operadores diferenciales generan un álgebra de Witt . Según los argumentos mecánico-cuánticos estándar, el álgebra de simetría de la teoría de campos conforme debe ser la extensión central del álgebra de Witt, es decir, el álgebra de Virasoro , cuyos generadores son , más un generador central. En una CFT dada, el generador central toma un valor constante , llamado carga central . ${\displaystyle \ell _{n}}$ ${\displaystyle (L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle c}$

El álgebra de simetría es por tanto el producto de dos copias del álgebra de Virasoro: el álgebra de movimiento hacia la izquierda u holomorfa, con generadores , y el álgebra de movimiento hacia la derecha o antiholomorfa, con generadores . ^[4] ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle {\bar {L}}_{n}}$

En el álgebra envolvente universal del álgebra de Virasoro, es posible construir un conjunto infinito de cargas que conmutan entre sí. La primera carga es , la segunda carga es cuadrática en los generadores de Virasoro, la tercera carga es cúbica, y así sucesivamente. Esto demuestra que cualquier teoría de campos conforme bidimensional es también un sistema integrable cuántico . ^[5] ${\displaystyle L_{0}-{\frac {c}{24}}}$

Espacio de estados

El espacio de estados , también llamado espectro , de una CFT, es una representación del producto de las dos álgebras de Virasoro.

Para un estado que es un vector propio de y con los valores propios y , ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle {\bar {L}}_{0}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\bar {\Delta }}}$

• ${\displaystyle \Delta }$es la dimensión conforme izquierda ,
• ${\displaystyle {\bar {\Delta }}}$es la dimensión conforme correcta ,
• ${\displaystyle \Delta +{\bar {\Delta }}}$es la dimensión conforme total o la energía,
• ${\displaystyle \Delta -{\bar {\Delta }}}$es el espín conforme .

Una CFT se denomina racional si su espacio de estados se descompone en un número finito de representaciones irreducibles del producto de las dos álgebras de Virasoro. En una CFT racional que se define en todas las superficies de Riemann, la carga central y las dimensiones conformes son números racionales. ^[6]

Una CFT se llama diagonal si su espacio de estados es una suma directa de representaciones del tipo , donde es una representación indecomponible del álgebra de Virasoro izquierda, y es la misma representación del álgebra de Virasoro derecha. ${\displaystyle R\otimes {\bar {R}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\bar {R}}}$

La CFT se denomina unitaria si el espacio de estados tiene una forma hermítica definida positiva tal que y son autoadjuntos, y . Esto implica en particular que , y que la carga central es real. El espacio de estados es entonces un espacio de Hilbert . Si bien la unitaridad es necesaria para que una CFT sea un sistema cuántico adecuado con una interpretación probabilística, muchas CFT interesantes son, sin embargo, no unitarias, incluidos los modelos mínimos y la teoría de Liouville para la mayoría de los valores permitidos de la carga central. ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle {\bar {L}}_{0}}$ ${\displaystyle L_{0}^{\dagger }=L_{0}}$ ${\displaystyle {\bar {L}}_{0}^{\dagger }={\bar {L}}_{0}}$ ${\displaystyle L_{n}^{\dagger }=L_{-n}}$

Campos y funciones de correlación

La correspondencia estado-campo es una aplicación lineal del espacio de estados al espacio de campos, que conmuta con la acción del álgebra de simetría. ${\displaystyle v\mapsto V_{v}(z)}$

En particular, la imagen de un estado primario de una representación de peso más bajo del álgebra de Virasoro es un campo primario ^[7] , tal que ${\displaystyle V_{\Delta }(z)}$

${\displaystyle L_{n>0}V_{\Delta }(z)=0\quad ,\quad L_{0}V_{\Delta }(z)=\Delta V_{\Delta }(z)\ .}$

Los campos descendientes se obtienen a partir de los campos primarios actuando con modos de creación . Los campos degenerados corresponden a estados primarios de representaciones degeneradas. Por ejemplo, el campo degenerado obedece a , debido a la presencia de un vector nulo en la representación degenerada correspondiente. ${\displaystyle L_{n<0}}$ ${\displaystyle V_{1,1}(z)}$ ${\displaystyle L_{-1}V_{1,1}(z)=0}$

Una función de correlación de punto es un número que depende linealmente de campos, denotado como con . En la formulación de la integral de trayectoria de la teoría de campos conforme, las funciones de correlación se definen como integrales funcionales. En el enfoque bootstrap conforme , las funciones de correlación se definen mediante axiomas. En particular, se supone que existe una expansión del producto del operador (OPE), ^[7] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left\langle V_{1}(z_{1})\cdots V_{N}(z_{N})\right\rangle }$ ${\displaystyle i\neq j\Rightarrow z_{i}\neq z_{j}}$

${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=\sum _{i}C_{12}^{v_{i}}(z_{1},z_{2})V_{v_{i}}(z_{2})\ ,}$

donde es una base del espacio de estados, y los números se denominan coeficientes OPE. Además, se supone que las funciones de correlación son invariantes bajo permutaciones en los campos, en otras palabras, se supone que el OPE es asociativo y conmutativo. (La conmutatividad del OPE no implica que los coeficientes OPE sean invariantes bajo , porque la expansión en campos rompe esa simetría). ${\displaystyle \{v_{i}\}}$ ${\displaystyle C_{12}^{v_{i}}(z_{1},z_{2})}$ ${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=V_{2}(z_{2})V_{1}(z_{1})}$ ${\displaystyle 1\leftrightarrow 2}$ ${\displaystyle V_{v_{i}}(z_{2})}$

La conmutatividad OPE implica que los campos primarios tienen espines conformes enteros . Un campo primario con espín conforme cero se llama campo diagonal . También existen CFT fermiónicos que incluyen campos fermiónicos con espines conformes semienteros , que anticonmutan. ^[8] También existen CFT parafermiónicos que incluyen campos con espines racionales más generales . No solo los parafermiones no conmutan, sino que también sus funciones de correlación son multivaluadas. ${\displaystyle S\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S\in {\tfrac {1}{2}}+\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S\in \mathbb {Q} }$

La función de partición del toro es una función de correlación particular que depende únicamente del espectro y no de los coeficientes OPE. Para un toro complejo con módulo , la función de partición es ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} }{\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle Z(\tau )=\operatorname {Tr} _{\mathcal {S}}q^{L_{0}-{\frac {c}{24}}}{\bar {q}}^{{\bar {L}}_{0}-{\frac {c}{24}}}}$

donde . La función de partición del toro coincide con el carácter del espectro, considerado como una representación del álgebra de simetría. ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

Teoría de campos conformes quirales

En una teoría de campos conforme bidimensional, las propiedades se denominan quirales si se derivan de la acción de una de las dos álgebras de Virasoro. Si el espacio de estados se puede descomponer en representaciones factorizadas del producto de las dos álgebras de Virasoro, entonces todas las consecuencias de la simetría conforme son quirales. En otras palabras, las acciones de las dos álgebras de Virasoro se pueden estudiar por separado.

Tensor de energía y momento

Se supone que la dependencia de un campo con respecto a su posición está determinada por ${\displaystyle V(z)}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}V(z)=L_{-1}V(z).}$

De ello se desprende que la OPE

${\displaystyle T(y)V(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {L_{n}V(z)}{(y-z)^{n+2}}},}$

define un campo holomorfo local que no depende de Este campo se identifica con (un componente de) el tensor de energía-momento . ^[4] En particular, el OPE del tensor de energía-momento con un campo primario es ${\displaystyle T(y)}$ ${\displaystyle z.}$

${\displaystyle T(y)V_{\Delta }(z)={\frac {\Delta }{(y-z)^{2}}}V_{\Delta }(z)+{\frac {1}{y-z}}{\frac {\partial }{\partial z}}V_{\Delta }(z)+O(1).}$

La OPE del tensor de energía-momento consigo mismo es

${\displaystyle T(y)T(z)={\frac {\frac {c}{2}}{(y-z)^{4}}}+{\frac {2T(z)}{(y-z)^{2}}}+{\frac {\partial T(z)}{y-z}}+O(1),}$

donde es la carga central. (Esta OPE es equivalente a las relaciones de conmutación del álgebra de Virasoro). ${\displaystyle c}$

Identidades de barrios conformistas

Las identidades de Ward conformes son ecuaciones lineales que obedecen a funciones de correlación como consecuencia de la simetría conforme. ^[4] Se pueden derivar estudiando funciones de correlación que involucran inserciones del tensor de energía-momento. Sus soluciones son bloques conformes .

Por ejemplo, considere las identidades de Ward conformes en la esfera. Sea una coordenada compleja global en la esfera, vista como Holomorfía del tensor de energía-momento en es equivalente a ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}.}$ ${\displaystyle z=\infty }$

${\displaystyle T(z){\underset {z\to \infty }{=}}O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right).}$

Además, al insertar una función de punto de los campos primarios se obtiene ${\displaystyle T(z)}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \left\langle T(z)\prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\Delta _{i}}{(z-z_{i})^{2}}}+{\frac {1}{z-z_{i}}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle .}$

De las dos últimas ecuaciones, es posible deducir identidades de Ward locales que expresan funciones puntuales de cuerpos descendientes en términos de funciones puntuales de cuerpos primarios. Además, es posible deducir tres ecuaciones diferenciales para cualquier función puntual de cuerpos primarios, llamadas identidades de Ward conformes globales : ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left(z_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}+\Delta _{i}kz_{i}^{k-1}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =0,\qquad (k\in \{0,1,2\}).}$

Estas identidades determinan cómo las funciones de dos y tres puntos dependen de ${\displaystyle z,}$

${\displaystyle \left\langle V_{\Delta _{1}}(z_{1})V_{\Delta _{2}}(z_{2})\right\rangle {\begin{cases}=0&\ \ (\Delta _{1}\neq \Delta _{2})\\\propto (z_{1}-z_{2})^{-2\Delta _{1}}&\ \ (\Delta _{1}=\Delta _{2})\end{cases}}}$

${\displaystyle \left\langle V_{\Delta _{1}}(z_{1})V_{\Delta _{2}}(z_{2})V_{\Delta _{3}}(z_{3})\right\rangle \propto (z_{1}-z_{2})^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(z_{2}-z_{3})^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}}(z_{1}-z_{3})^{\Delta _{2}-\Delta _{1}-\Delta _{3}},}$

donde los coeficientes de proporcionalidad indeterminados son funciones de ${\displaystyle {\bar {z}}.}$

Ecuaciones de BPZ

Una función de correlación que involucra un campo degenerado satisface una ecuación diferencial parcial lineal llamada ecuación de Belavin–Polyakov–Zamolodchikov en honor a Alexander Belavin , Alexander Polyakov y Alexander Zamolodchikov . ^[7] El orden de esta ecuación es el nivel del vector nulo en la representación degenerada correspondiente.

Un ejemplo trivial es la ecuación BPZ de orden uno

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\left\langle V_{1,1}(z_{1})V_{2}(z_{2})\cdots V_{N}(z_{N})\right\rangle =0.}$

Lo cual se desprende de

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}V_{1,1}(z_{1})=L_{-1}V_{1,1}(z_{1})=0.}$

El primer ejemplo no trivial implica un campo degenerado con un vector nulo que se desvanece en el nivel dos, ${\displaystyle V_{2,1}}$

${\displaystyle \left(L_{-1}^{2}+b^{2}L_{-2}\right)V_{2,1}=0,}$

donde está relacionado con la carga central por ${\displaystyle b}$

${\displaystyle c=1+6\left(b+b^{-1}\right)^{2}.}$

Entonces una función de punto de y otros campos primarios obedece: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V_{2,1}}$ ${\displaystyle N-1}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{b^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{1}^{2}}}+\sum _{i=2}^{N}\left({\frac {1}{z_{1}-z_{i}}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}+{\frac {\Delta _{i}}{(z_{1}-z_{i})^{2}}}\right)\right)\left\langle V_{2,1}(z_{1})\prod _{i=2}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =0.}$

Se puede deducir una ecuación BPZ de orden para una función de correlación que involucra el campo degenerado a partir de la desaparición del vector nulo y las identidades de Ward locales . Gracias a las identidades de Ward globales, las funciones de cuatro puntos se pueden escribir en términos de una variable en lugar de cuatro, y las ecuaciones BPZ para funciones de cuatro puntos se pueden reducir a ecuaciones diferenciales ordinarias. ${\displaystyle rs}$ ${\displaystyle V_{r,s}}$

Reglas de fusión

En un OPE que involucra un campo degenerado, la desaparición del vector nulo (más la simetría conforme) restringe qué campos primarios pueden aparecer. Las restricciones resultantes se denominan reglas de fusión . ^[4] Utilizando el momento tal que ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \Delta =\alpha \left(b+b^{-1}-\alpha \right)}$

En lugar de la dimensión conforme para parametrizar los campos primarios, las reglas de fusión son ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle V_{r,s}\times V_{\alpha }=\sum _{i=0}^{r-1}\sum _{j=0}^{s-1}V_{\alpha +\left(i-{\frac {r-1}{2}}\right)b+\left(j-{\frac {s-1}{2}}\right)b^{-1}}}$

En particular

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1,1}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha }\\[6pt]V_{2,1}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha -{\frac {b}{2}}}+V_{\alpha +{\frac {b}{2}}}\\[6pt]V_{1,2}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha -{\frac {1}{2b}}}+V_{\alpha +{\frac {1}{2b}}}\end{aligned}}}$

Alternativamente, las reglas de fusión tienen una definición algebraica en términos de un producto de fusión asociativo de representaciones del álgebra de Virasoro en una carga central dada. El producto de fusión difiere del producto tensorial de representaciones. (En un producto tensorial, las cargas centrales se suman). En ciertos casos finitos, esto conduce a la estructura de una categoría de fusión .

Una teoría de campos conforme es cuasi-racional es decir que el producto de fusión de dos representaciones indecomponibles es una suma de un número finito de representaciones indecomponibles. ^[9] Por ejemplo, los modelos mínimos generalizados son cuasi-racionales sin ser racionales.

Arranque conforme

El método bootstrap conforme consiste en definir y resolver las CFT utilizando únicamente supuestos de simetría y consistencia, reduciendo todas las funciones de correlación a combinaciones de constantes de estructura y bloques conformes. En dos dimensiones, este método conduce a soluciones exactas de ciertas CFT y a clasificaciones de teorías racionales.

Constantes de estructura

Sea un cuerpo primario izquierdo y derecho con dimensiones conformes izquierda y derecha y . De acuerdo con las identidades globales de Ward izquierda y derecha, las funciones de tres puntos de tales cuerpos son del tipo ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \Delta _{i}}$ ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})V_{3}(z_{3})\right\rangle =C_{123}\\&\qquad \times (z_{1}-z_{2})^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(z_{2}-z_{3})^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}}(z_{1}-z_{3})^{\Delta _{2}-\Delta _{1}-\Delta _{3}}\\&\qquad \times ({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{{\bar {\Delta }}_{3}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}}({\bar {z}}_{2}-{\bar {z}}_{3})^{{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}-{\bar {\Delta }}_{3}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{3})^{{\bar {\Delta }}_{2}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{3}}\ ,\end{aligned}}}$

donde el número independiente se denomina constante de estructura de tres puntos . Para que la función de tres puntos sea univaluada, las dimensiones conformes a la izquierda y a la derecha de los campos primarios deben obedecer ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle C_{123}}$

${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} \ .}$

Esta condición se cumple en el caso de los campos bosónicos ( ) y fermiónicos ( ), pero no se cumple en el caso de los campos parafermiónicos ( ), cuyas funciones de correlación no son univaluadas en la esfera de Riemann. ${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Q} }$

Las constantes de estructura de tres puntos también aparecen en los OPE,

${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=\sum _{i}C_{12i}(z_{1}-z_{2})^{\Delta _{i}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{{\bar {\Delta }}_{i}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}}{\Big (}V_{i}(z_{2})+\cdots {\Big )}\ .}$

Las contribuciones de los campos descendientes, indicados por los puntos, están completamente determinadas por la simetría conforme. ^[4]

Bloques conformales

Cualquier función de correlación puede escribirse como una combinación lineal de bloques conformes : funciones que están determinadas por la simetría conforme y etiquetadas por representaciones del álgebra de simetría. Los coeficientes de la combinación lineal son productos de constantes de estructura. ^[7]

En la CFT bidimensional, el álgebra de simetría se factoriza en dos copias del álgebra de Virasoro, y un bloque conforme que involucra campos primarios tiene una factorización holomorfa : es un producto de un factor holomorfo local que está determinado por el álgebra de Virasoro que se mueve hacia la izquierda, y un factor antiholomorfo local que está determinado por el álgebra de Virasoro que se mueve hacia la derecha. Estos factores se denominan en sí mismos bloques conformes.

Por ejemplo, al utilizar la OPE de los dos primeros campos en una función de cuatro puntos de los campos primarios se obtiene

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}V_{i}(z_{i})\right\rangle =\sum _{s}C_{12s}C_{s34}{\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\},\{z_{i}\}){\mathcal {F}}_{{\bar {\Delta }}_{s}}^{(s)}(\{{\bar {\Delta }}_{i}\},\{{\bar {z}}_{i}\})\ ,}$

donde es un bloque conforme de cuatro puntos de canal s . Los bloques conformes de cuatro puntos son funciones complicadas que se pueden calcular de manera eficiente utilizando las relaciones de recursión de Alexei Zamolodchikov . Si uno de los cuatro campos es degenerado, entonces los bloques conformes correspondientes obedecen a ecuaciones BPZ. Si en particular uno de los cuatro campos es , entonces los bloques conformes correspondientes se pueden escribir en términos de la función hipergeométrica . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\},\{z_{i}\})}$ ${\displaystyle V_{2,1}}$

Como explicó por primera vez Witten, ^[10] el espacio de bloques conformes de una CFT bidimensional puede identificarse con el espacio cuántico de Hilbert de una teoría de Chern-Simons de 2+1 dimensiones , que es un ejemplo de una teoría de campos topológicos . Esta conexión ha sido muy fructífera en la teoría del efecto Hall cuántico fraccionario .

Ecuaciones bootstrap conformes

Cuando una función de correlación se puede escribir en términos de bloques conformes de varias maneras diferentes, la igualdad de las expresiones resultantes proporciona restricciones en el espacio de estados y en las constantes de estructura de tres puntos. Estas restricciones se denominan ecuaciones de bootstrap conformes . Mientras que las identidades de Ward son ecuaciones lineales para funciones de correlación, las ecuaciones de bootstrap conformes dependen de manera no lineal de las constantes de estructura de tres puntos.

Por ejemplo, una función de cuatro puntos se puede escribir en términos de bloques conformes de tres maneras no equivalentes, correspondientes al uso de las OPE ( canal s ), ( canal t ) o ( canal u ). La igualdad de las tres expresiones resultantes se denomina simetría cruzada de la función de cuatro puntos y es equivalente a la asociatividad de la OPE. ^[7] ${\displaystyle \left\langle V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}\right\rangle }$ ${\displaystyle V_{1}V_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}V_{4}}$ ${\displaystyle V_{1}V_{3}}$

Por ejemplo, la función de partición del toro es invariante bajo la acción del grupo modular sobre el módulo del toro, equivalentemente . Esta invariancia es una restricción en el espacio de estados. El estudio de las funciones de partición del toro invariantes modulares a veces se denomina bootstrap modular . ${\displaystyle Z(\tau )=Z(\tau +1)=Z(-{\frac {1}{\tau }})}$

La consistencia de una CFT en la esfera es equivalente a la simetría cruzada de la función de cuatro puntos. La consistencia de una CFT en todas las superficies de Riemann también requiere invariancia modular de la función de un punto del toro. ^[1] Por lo tanto, la invariancia modular de la función de partición del toro no es necesaria ni suficiente para que exista una CFT. Sin embargo, se ha estudiado ampliamente en CFT racionales, porque los caracteres de las representaciones son más simples que otros tipos de bloques conformes, como los bloques conformes de cuatro puntos de la esfera.

Ejemplos

Modelos minimalistas

Un modelo mínimo es una CFT cuyo espectro se construye a partir de un número finito de representaciones irreducibles del álgebra de Virasoro. Los modelos mínimos sólo existen para valores particulares de la carga central, ^[4]

${\displaystyle c_{p,q}=1-6{\frac {(p-q)^{2}}{pq}},\qquad p>q\in \{2,3,\ldots \}.}$

Existe una clasificación ADE de modelos mínimos. ^[11] En particular, el modelo mínimo de la serie A con la carga central es una CFT diagonal cuyo espectro se construye a partir de representaciones degeneradas de menor peso del álgebra de Virasoro. Estas representaciones degeneradas están etiquetadas por pares de números enteros que forman la tabla Kac . ${\displaystyle c=c_{p,q}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(p-1)(q-1)}$

${\displaystyle (r,s)\in \{1,\ldots ,p-1\}\times \{1,\ldots ,q-1\}\qquad {\text{with}}\qquad (r,s)\simeq (p-r,q-s).}$

Por ejemplo, el modelo mínimo de la serie A describe los correladores de espín y energía del modelo crítico bidimensional de Ising . ${\displaystyle c=c_{4,3}={\tfrac {1}{2}}}$

Teoría de Liouville

Para cualquier teoría de Liouville se trata de una CFT diagonal cuyo espectro se construye a partir de módulos de Verma con dimensiones conformes ${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle \Delta \in {\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}$

La teoría de Liouville ha sido resuelta, en el sentido de que sus constantes de estructura de tres puntos se conocen explícitamente. La teoría de Liouville tiene aplicaciones en la teoría de cuerdas y en la gravedad cuántica bidimensional.

Álgebras de simetría extendidas

En algunas CFT, el álgebra de simetría no es sólo el álgebra de Virasoro, sino un álgebra asociativa (es decir, no necesariamente un álgebra de Lie) que contiene el álgebra de Virasoro. El espectro se descompone entonces en representaciones de esa álgebra, y las nociones de CFT diagonales y racionales se definen con respecto a esa álgebra. ^[4]

Teorías bosónicas libres sin masa

En dos dimensiones, las teorías bosónicas libres sin masa son conformemente invariantes. Su álgebra de simetría es el álgebra de Lie afín construida a partir del álgebra de Lie abeliana de rango uno. El producto de fusión de dos representaciones cualesquiera de esta álgebra de simetría produce solo una representación, y esto hace que las funciones de correlación sean muy simples. ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}}$

Considerar los modelos mínimos y la teoría de Liouville como teorías bosónicas libres perturbadas conduce al método del gas de Coulomb para calcular sus funciones de correlación. Además, existe una familia de teorías bosónicas libres de un parámetro con espectros discretos infinitos, que describen bosones libres compactificados , siendo el parámetro el radio de compactificación. ^[4] ${\displaystyle c=1,}$

Modelos Wess–Zumino–Witten

Dado un grupo de Lie, el modelo Wess–Zumino–Witten correspondiente es una CFT cuyo álgebra de simetría es el álgebra de Lie afín construida a partir del álgebra de Lie de Si es compacto, entonces esta CFT es racional, su carga central toma valores discretos y su espectro es conocido. ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$

Teorías de campos superconformes

El álgebra de simetría de una CFT supersimétrica es una superálgebra de Virasoro o un álgebra mayor. Las CFT supersimétricas son particularmente relevantes para la teoría de supercuerdas.

Teorías basadas en álgebras W

Las álgebras W son extensiones naturales del álgebra de Virasoro. Las CFT basadas en álgebras W incluyen generalizaciones de modelos mínimos y teoría de Liouville, llamadas respectivamente modelos W-mínimos y teorías conformes de Toda . Las teorías conformes de Toda son más complicadas que la teoría de Liouville y se comprenden menos.

Modelos sigma

En dos dimensiones, los modelos sigma clásicos son conformemente invariantes, pero solo algunas variedades objetivo conducen a modelos sigma cuánticos que son conformemente invariantes. Ejemplos de dichas variedades objetivo incluyen toros y variedades de Calabi-Yau .

Teorías de campos conformes logarítmicos

Las teorías de campos conformes logarítmicas son CFT bidimensionales tales que la acción del generador de álgebra de Virasoro sobre el espectro no es diagonalizable. En particular, el espectro no puede construirse únicamente a partir de representaciones de menor peso . En consecuencia, la dependencia de las funciones de correlación con respecto a las posiciones de los campos puede ser logarítmica. Esto contrasta con la dependencia de tipo potencia de las funciones de dos y tres puntos que están asociadas a las representaciones de menor peso. ${\displaystyle L_{0}}$

Modelo crítico de Potts en estado Q

El modelo de Potts de estado crítico o modelo de cúmulos aleatorios críticos es una teoría de campos conforme que generaliza y unifica el modelo crítico de Ising , el modelo de Potts y la percolación . El modelo tiene un parámetro , que debe ser un número entero en el modelo de Potts, pero que puede tomar cualquier valor complejo en el modelo de cúmulos aleatorios. ^[12] Este parámetro está relacionado con la carga central por ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q=4\cos ^{2}(\pi \beta ^{2})\qquad {\text{with}}\qquad c=13-6\beta ^{2}-6\beta ^{-2}\ .}$

Los valores especiales de incluyen: ^[13] ${\displaystyle Q}$

La función de partición del toro conocida ^[14] sugiere que el modelo no es racional con un espectro discreto.

Referencias

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2. Bakalov, Bojko; Kirillov, Alejandro (10 de septiembre de 1998). "Sobre el juego Lego-Teichmuller". arXiv : matemáticas/9809057 . Código Bib : 1998 matemáticas ...... 9057B.
3. Teschner, Joerg (2 de agosto de 2017). "Una guía para la teoría de campos conforme bidimensional". arXiv : 1708.00680v2 [hep-th].
4. P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, Teoría de campos conforme , Springer-Verlag, Nueva York, 1997. ISBN 0-387-94785-X . 
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Lectura adicional

• P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, Teoría de campos conforme , Springer-Verlag, Nueva York, 1997. ISBN 0-387-94785-X . 
• La página de Teoría de campos conforme en String Theory Wiki enumera libros y reseñas.
• Ribault, Sylvain (2014). "Teoría de campos conforme en el plano". arXiv : 1406.4290 [hep-th].