Expansión de productos para operadores

Enfoque no perturbativo de la teoría cuántica de campos

En la teoría cuántica de campos , la expansión del producto del operador ( OPE ) se utiliza como un axioma para definir el producto de campos como una suma sobre los mismos campos. ^[1] Como axioma, ofrece un enfoque no perturbativo a la teoría cuántica de campos. Un ejemplo es el álgebra de operadores de vértices , que se ha utilizado para construir teorías de campos conformes bidimensionales . Si este resultado se puede extender a la QFT en general, resolviendo así muchas de las dificultades de un enfoque perturbativo, sigue siendo una pregunta de investigación abierta.

En cálculos prácticos, como los necesarios para dispersar amplitudes en varios experimentos de colisionadores, la expansión del producto del operador se utiliza en las reglas de suma de QCD para combinar resultados de cálculos perturbativos y no perturbativos (condensados). ^[2]

Teoría cuántica de campos euclidianos en 2D

En la teoría de campos euclidianos en 2D, la expansión del producto de operadores es una expansión de la serie de Laurent asociada a dos operadores. En dicha expansión, hay un número finito de potencias negativas de la variable, además de un número potencialmente infinito de potencias positivas de la variable.

Esta expansión es una suma convergente local. Más precisamente, si es un punto, y y son cuerpos con valores de operador, entonces existe un entorno abierto de tal que para todos ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\in O\setminus \{y\}}$

${\displaystyle A(x)B(y)=\sum _{i}c_{i}(x-y)C_{i}(y)}$

Heurísticamente, en la teoría cuántica de campos el interés está en los observables físicos representados por los operadores . Para conocer el resultado de realizar dos observaciones físicas en dos puntos y , sus operadores pueden ordenarse en tiempo creciente. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$

En cambio, en las asignaciones de coordenadas conformes, el orden radial es más relevante. Este es el análogo del orden temporal, donde el tiempo creciente se ha asignado a un radio creciente en el plano complejo. El orden normal de los operadores de creación es útil cuando se trabaja en el segundo formalismo de cuantificación.

Una OPE de orden radial se puede escribir como una OPE de orden normal menos los términos de orden no normal. Los términos de orden no normal se pueden escribir a menudo como un conmutador , y estos tienen identidades simplificadoras útiles. El orden radial proporciona la convergencia de la expansión.

El resultado es una expansión convergente del producto de dos operadores en función de algunos términos que tienen polos en el plano complejo (los términos de Laurent) y términos que son finitos. Este resultado representa la expansión de dos operadores en dos puntos diferentes en el sistema de coordenadas original como una expansión alrededor de un solo punto en el espacio de desplazamientos entre puntos, con términos de la forma:

${\displaystyle {\frac {1}{(z-w)^{n}}}}$.

Relacionado con esto está el hecho de que un operador en el plano complejo se escribe en general como una función de y . Estas se conocen como partes holomorfas y antiholomorfas respectivamente, ya que son funciones continuas y diferenciables con un número finito de singularidades. ^[1] En general, la expansión del producto del operador puede no separarse en partes holomorfas y antiholomorfas, especialmente si hay términos en la expansión. Sin embargo, las derivadas del OPE a menudo pueden separar la expansión en expansiones holomorfas y antiholomorfas. La expresión resultante también es un OPE y, en general, es más útil. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$ ${\displaystyle \log z}$

Álgebra del producto de operadores

En el caso genérico, se nos da un conjunto de campos (u operadores) que se supone que tienen valores sobre alguna álgebra . Por ejemplo, si fijamos x , se puede considerar que abarca alguna álgebra de Lie . Si dejamos x libre para que viva en una variedad, el producto del operador es entonces simplemente algún elemento en el anillo de funciones . En general, tales anillos no poseen suficiente estructura para hacer afirmaciones significativas; por lo tanto, se consideran axiomas adicionales para fortalecer el sistema. ${\displaystyle A^{i}(x)}$ ${\displaystyle A^{i}(x)}$ ${\displaystyle A^{i}(x)B^{j}(y)}$

El álgebra del producto de operadores es un álgebra asociativa de la forma

${\displaystyle A^{i}(x)B^{j}(y)=\sum _{k}f_{k}^{ij}(x,y,z)C^{k}(z)}$

Se requiere que las constantes de estructura sean funciones de un solo valor, en lugar de secciones de algún fibrado vectorial . Además, se requiere que los campos abarquen el anillo de funciones. En los cálculos prácticos, generalmente se requiere que las sumas sean analíticas dentro de un radio de convergencia ; típicamente con un radio de convergencia de . Por lo tanto, el anillo de funciones puede tomarse como el anillo de funciones polinómicas . ${\displaystyle f_{k}^{ij}(x,y,z)}$ ${\displaystyle |x-y|}$

Lo anterior puede verse como un requisito que se impone a un anillo de funciones; la imposición de este requisito a los campos de una teoría de campos conforme se conoce como bootstrap conforme .

Un ejemplo de álgebra de producto de operadores es el álgebra de operadores de vértices . Actualmente se espera que las álgebras de producto de operadores puedan utilizarse para axiomatizar toda la teoría cuántica de campos; lo han hecho con éxito para las teorías de campos conformes, y si pueden utilizarse como base para la QFT no perturbativa es un área de investigación abierta.

Referencias

1. Di Francesco, Philippe; Mathieu, Pierre; Sénéchal, David (1997). Teoría de campos conforme . Textos de posgrado en física contemporánea. Nueva York: Springer. pp. 127–149. ISBN 978-0-387-94785-3.
2. Hollands, Stefan; Wald, Robert M. (2 de diciembre de 2023). "La expansión del producto operador en la teoría cuántica de campos". arXiv : 2312.01096 [hep-th].

Enlaces externos

• La OPE en Scholarpedia