amplitud de dispersión

Amplitud de probabilidad en la teoría de la dispersión cuántica.

En física cuántica , la amplitud de dispersión es la amplitud de probabilidad de la onda esférica saliente en relación con la onda plana entrante en un proceso de dispersión en estado estacionario . ^[1] A grandes distancias del centro de dispersión centralmente simétrico, la onda plana se describe mediante la función de onda ^[2]

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}\;,}$

¿ Dónde está el vector de posición? ; es la onda plana entrante con el número de onda k a lo largo del eje z ; es la onda esférica saliente; θ es el ángulo de dispersión (ángulo entre la dirección incidente y la dirección de dispersión); y es la amplitud de dispersión. La dimensión de la amplitud de dispersión es la longitud . La amplitud de dispersión es una amplitud de probabilidad ; la sección transversal diferencial en función del ángulo de dispersión viene dada como su módulo al cuadrado , ${\displaystyle \mathbf {r} \equiv (x,y,z)}$ ${\displaystyle r\equiv |\mathbf {r} |}$ ${\displaystyle e^{ikz}}$ ${\displaystyle e^{ikr}/r}$ ${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle d\sigma =|f(\theta )|^{2}\;d\Omega .}$

La forma asintótica de la función de onda en un campo externo arbitrario toma la forma ^[2]

${\displaystyle \psi =e^{ikr\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} '}+f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '){\frac {e^{ikr}}{r}}}$

donde es la dirección de las partículas incidentes y es la dirección de las partículas dispersas. ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} '}$

Condición unitaria

Cuando la conservación del número de partículas se cumple durante la dispersión, se produce una condición unitaria para la amplitud de la dispersión. En el caso general, tenemos ^[2]

${\displaystyle f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')\,d\Omega ''}$

El teorema óptico se sigue de aquí estableciendo ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {n} '.}$

En el campo centralmente simétrico, la condición unitaria se vuelve

${\displaystyle \mathrm {Im} f(\theta )={\frac {k}{4\pi }}\int f(\gamma )f(\gamma ')\,d\Omega ''}$

donde y son los ángulos entre y y alguna dirección . Esta condición impone una restricción a la forma permitida para , es decir, la parte real e imaginaria de la amplitud de dispersión no son independientes en este caso. Por ejemplo, si se conoce (digamos, a partir de la medición de la sección transversal), entonces se puede determinar de manera que se determine de manera única dentro de la alternativa . ^[2] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma '}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} '}$ ${\displaystyle \mathbf {n} ''}$ ${\displaystyle f(\theta )}$ ${\displaystyle |f(\theta )|}$ ${\displaystyle f=|f|e^{2i\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha (\theta )}$ ${\displaystyle f(\theta )}$ ${\displaystyle f(\theta )\rightarrow -f^{*}(\theta )}$

Expansión de onda parcial

En la expansión de onda parcial, la amplitud de dispersión se representa como una suma de las ondas parciales, ^[3]

${\displaystyle f=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)f_{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )}$,

donde f _ℓ es la amplitud de dispersión parcial y P _ℓ son los polinomios de Legendre . La amplitud parcial se puede expresar mediante el elemento de matriz S de onda parcial S _ℓ ( ) y el cambio de fase de dispersión δ _ℓ como ${\displaystyle =e^{2i\delta _{\ell }}}$

${\displaystyle f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;.}$

Entonces la sección transversal total ^[4]

${\displaystyle \sigma =\int |f(\theta )|^{2}d\Omega }$,

se puede ampliar como ^[2]

${\displaystyle \sigma =\sum _{l=0}^{\infty }\sigma _{l},\quad {\text{where}}\quad \sigma _{l}=4\pi (2l+1)|f_{l}|^{2}={\frac {4\pi }{k^{2}}}(2l+1)\sin ^{2}\delta _{l}}$

es la sección transversal parcial. La sección transversal total también es igual debido al teorema óptico . ${\displaystyle \sigma =(4\pi /k)\,\mathrm {Im} f(0)}$

Para , podemos escribir ^[2] ${\displaystyle \theta \neq 0}$

${\displaystyle f={\frac {1}{2ik}}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)e^{2i\delta _{l}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$

Rayos X

La longitud de dispersión de los rayos X es la longitud de dispersión de Thomson o radio clásico del electrón , r ₀ .

Neutrones

El proceso de dispersión de neutrones nucleares implica la longitud de dispersión de neutrones coherente, a menudo descrita por b .

Formalismo mecánico cuántico

Un enfoque de la mecánica cuántica viene dado por el formalismo de la matriz S.

Medición

La amplitud de dispersión puede determinarse mediante la longitud de dispersión en el régimen de baja energía.

Ver también

• amplitud veneciana
• Expansión de onda plana

Referencias

1. Mecánica cuántica: conceptos y aplicaciones Archivado el 10 de noviembre de 2010 en Wayback Machine Por Nouredine Zettili, segunda edición, página 623. ISBN  978-0-470-02679-3 Tapa blanda 688 páginas enero de 2009
2. Landau, LD y Lifshitz, EM (2013). Mecánica cuántica: teoría no relativista (Vol. 3). Elsevier.
3. Michael Fowler/ 17/01/08 Ondas planas y ondas parciales
4. Schiff, Leonard I. (1968). Mecánica cuántica . Nueva York: McGraw Hill. págs. 119-120.