Longitud de dispersión

La longitud de dispersión en mecánica cuántica describe la dispersión de baja energía . Para potenciales que decaen más rápido que , se define como el siguiente límite de baja energía : ${\displaystyle 1/r^{3}}$ ${\displaystyle r\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{k\to 0}k\cot \delta (k)=-{\frac {1}{a}}\;,}$

donde es la longitud de dispersión, es el número de onda y es el desplazamiento de fase de la onda esférica saliente. La sección transversal elástica , , a bajas energías está determinada únicamente por la longitud de dispersión: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \delta (k)}$ ${\displaystyle \sigma _{e}}$

${\displaystyle \lim _{k\to 0}\sigma _{e}=4\pi a^{2}\;.}$

Concepto general

Cuando una partícula lenta se dispersa en un dispersor de corto alcance (por ejemplo, una impureza en un sólido o una partícula pesada), no puede resolver la estructura del objeto ya que su longitud de onda de De Broglie es muy larga. La idea es que entonces no debería ser importante qué potencial preciso se dispersa, sino solo cómo se ve el potencial en escalas de longitud largas. La forma formal de resolver este problema es hacer una expansión de onda parcial (algo análoga a la expansión multipolar en electrodinámica clásica ), donde uno expande en los componentes de momento angular de la onda saliente. A muy baja energía, la partícula entrante no ve ninguna estructura, por lo tanto, en el orden más bajo, solo se tiene una onda saliente esférica, llamada onda s en analogía con el orbital atómico en el número cuántico de momento angular l = 0. A energías más altas, también se debe considerar la dispersión de ondas p y d ( l = 1,2), y así sucesivamente. ${\displaystyle V(r)}$

La idea de describir propiedades de baja energía en términos de unos pocos parámetros y simetrías es muy poderosa y también está detrás del concepto de renormalización .

El concepto de longitud de dispersión también se puede extender a potenciales que decaen más lentamente que . Un ejemplo famoso, relevante para la dispersión protón-protón, es la longitud de dispersión modificada por Coulomb. ${\displaystyle 1/r^{3}}$ ${\displaystyle r\to \infty }$

Ejemplo

Como ejemplo de cómo calcular la longitud de dispersión de la onda s (es decir, el momento angular) para un potencial dado, observamos el pozo de potencial esférico infinitamente repulsivo de radio en 3 dimensiones. La ecuación radial de Schrödinger ( ) fuera del pozo es exactamente la misma que para una partícula libre: ${\displaystyle l=0}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle l=0}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}u''(r)=Eu(r),}$

donde el potencial de núcleo duro requiere que la función de onda se anule en , . La solución se encuentra fácilmente: ${\displaystyle u(r)}$ ${\displaystyle r=r_{0}}$ ${\displaystyle u(r_{0})=0}$

${\displaystyle u(r)=A\sin(kr+\delta _{s})}$.

Aquí y es el cambio de fase de la onda s (la diferencia de fase entre la onda entrante y la saliente), que está fijado por la condición de contorno ; es una constante de normalización arbitraria. ${\displaystyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }$ ${\displaystyle \delta _{s}=-k\cdot r_{0}}$ ${\displaystyle u(r_{0})=0}$ ${\displaystyle A}$

Se puede demostrar que, en general, para pequeñas (es decir, dispersión de baja energía). El parámetro de longitud de dimensión se define como la longitud de dispersión . Para nuestro potencial tenemos , por lo tanto, , en otras palabras, la longitud de dispersión para una esfera dura es simplemente el radio. (Alternativamente, se podría decir que un potencial arbitrario con longitud de dispersión de onda s tiene las mismas propiedades de dispersión de baja energía que una esfera dura de radio ). Para relacionar la longitud de dispersión con observables físicos que se pueden medir en un experimento de dispersión, necesitamos calcular la sección transversal . En la teoría de la dispersión, se escribe la función de onda asintótica como (asumimos que hay un dispersor de rango finito en el origen y hay una onda plana entrante a lo largo del eje ): ${\displaystyle \delta _{s}(k)\approx -k\cdot a_{s}+O(k^{2})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{s}}$ ${\displaystyle a=r_{0}}$ ${\displaystyle a_{s}}$ ${\displaystyle a_{s}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \psi (r,\theta )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}}$

donde es la amplitud de dispersión . Según la interpretación de probabilidad de la mecánica cuántica, la sección eficaz diferencial está dada por (la probabilidad por unidad de tiempo de dispersarse en la dirección ). Si consideramos solo la dispersión de ondas s, la sección eficaz diferencial no depende del ángulo , y la sección eficaz de dispersión total es simplemente . La parte de onda s de la función de onda se proyecta utilizando la expansión estándar de una onda plana en términos de ondas esféricas y polinomios de Legendre : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d\sigma /d\Omega =|f(\theta )|^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sigma =4\pi |f|^{2}}$ ${\displaystyle \psi (r,\theta )}$ ${\displaystyle P_{l}(\cos \theta )}$

${\displaystyle e^{ikz}\approx {\frac {1}{2ikr}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)P_{l}(\cos \theta )\left[(-1)^{l+1}e^{-ikr}+e^{ikr}\right]}$

Al hacer coincidir el componente de con la solución de onda s (donde normalizamos de modo que la onda entrante tenga un prefactor de unidad) se tiene: ${\displaystyle l=0}$ ${\displaystyle \psi (r,\theta )}$ ${\displaystyle \psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e^{ikz}}$

${\displaystyle f={\frac {1}{2ik}}(e^{2i\delta _{s}}-1)\approx \delta _{s}/k\approx -a_{s}}$

Esto da como resultado:

${\displaystyle \sigma ={\frac {4\pi }{k^{2}}}\sin ^{2}\delta _{s}=4\pi a_{s}^{2}}$

Véase también

• Pseudopotencial de Fermi
• Longitud de dispersión de neutrones

Referencias

• Landau, LD; Lifshitz, EM (2003). Mecánica cuántica: teoría no relativista . Ámsterdam: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-3539-8.