onda de materia

Ondas mecánicas cuánticas que describen la materia.

Las ondas de materia son una parte central de la teoría de la mecánica cuántica , siendo la mitad de la dualidad onda-partícula . En todas las escalas en las que las mediciones han sido prácticas, la materia exhibe un comportamiento ondulatorio . Por ejemplo, un haz de electrones se puede difractar como un haz de luz o una onda de agua.

El concepto de que la materia se comporta como una onda fue propuesto por el físico francés Louis de Broglie ( / d ə ˈ b r ɔɪ / ) en 1924, por lo que las ondas de materia también se conocen como ondas de De Broglie .

La longitud de onda de De Broglie es la longitud de onda , λ , asociada con una partícula con momento p a través de la constante de Planck , h :

$${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}.}$$

El comportamiento ondulatorio de la materia se ha demostrado experimentalmente, primero para los electrones en 1927 y para otras partículas elementales , átomos neutros y moléculas en los años posteriores.

Introducción

Fondo

A finales del siglo XIX, se pensaba que la luz estaba formada por ondas de campos electromagnéticos que se propagaban según las ecuaciones de Maxwell , mientras que se pensaba que la materia estaba formada por partículas localizadas (ver historia de la dualidad onda-partícula ). En 1900, esta división fue cuestionada cuando, investigando la teoría de la radiación del cuerpo negro , Max Planck propuso que la energía térmica de los átomos oscilantes se divide en porciones discretas o cuantos. ^[1] Ampliando la investigación de Planck en varios sentidos, incluida su conexión con el efecto fotoeléctrico , Albert Einstein propuso en 1905 que la luz también se propaga y se absorbe en cuantos, ^{[2] : 87} ahora llamados fotones . Estos cuantos tendrían una energía dada por la relación de Planck-Einstein :

$${\displaystyle E=h\nu }$$

${\displaystyle \mathbf {p} }$

$${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|=p={\frac {E}{c}}={\frac {h}{\lambda }},}$$

νletra griega minúscula nuλletra griega minúscula lambdafrecuencialongitud de ondachconstante de Planck^[3]f^{[2] : 89}KT ComptonOW Richardson ^[4][5]constante de PlanckRobert Millikan ^[6]

Hipótesis de Broglie

Propagación de ondas de Broglie en una dimensión: la parte real de la amplitud compleja es azul, la parte imaginaria es verde. La probabilidad (mostrada como opacidad del color ) de encontrar la partícula en un punto x dado se distribuye como una forma de onda; no hay una posición definida de la partícula. A medida que la amplitud aumenta por encima de cero, la pendiente disminuye, por lo que la amplitud vuelve a disminuir y viceversa. El resultado es una amplitud alterna: una onda. Arriba: onda plana . Abajo: paquete de olas .

Cuando concebí las primeras ideas básicas de la mecánica ondulatoria en 1923-1924, me guiaba el objetivo de realizar una síntesis física real, válida para todas las partículas, de la coexistencia de la onda y de los aspectos corpusculares que Einstein había introducido para los fotones. en su teoría de los cuantos de luz en 1905.

—  de Broglie ^[7]

De Broglie , en su tesis doctoral de 1924, ^[8] propuso que así como la luz tiene propiedades tanto ondulatorias como partícula, los electrones también tienen propiedades ondulatorias. Su tesis partió de la hipótesis de que "a cada porción de energía con masa propia m ₀ se le puede asociar un fenómeno periódico de frecuencia ν ₀ , tal que se encuentre: hν ₀ = m ₀ c ² . La frecuencia ν ₀ es medirse, por supuesto, en el marco de reposo del paquete de energía. Esta hipótesis es la base de nuestra teoría". ^{[9] [8] : 8  [10] [11] [12] [13]} (Esta frecuencia también se conoce como frecuencia Compton ).

Para encontrar la longitud de onda equivalente a un cuerpo en movimiento, de Broglie ^{[2] : 214} igualó la energía total de la relatividad especial para ese cuerpo a hν :

$${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=h\nu }$$

(La física moderna ya no utiliza esta forma de energía total; la relación energía-momento ha demostrado ser más útil). De Broglie identificó la velocidad de la partícula, v , con la velocidad del grupo de ondas en el espacio libre:

$${\displaystyle v_{\text{g}}\equiv {\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {d\nu }{d(1/\lambda )}}}$$

(La definición moderna de velocidad de grupo utiliza la frecuencia angular ω y el número de onda k ). Aplicando los diferenciales a la ecuación de energía e identificando el momento relativista :

$${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

luego integrando, de Broglie llegó a su fórmula para la relación entre la longitud de onda , λ , asociada a un electrón y el módulo de su momento , p , a través de la constante de Planck , h : ^[14]

$${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}.}$$

Ecuación de onda (materia) de Schrödinger

Siguiendo las ideas de De Broglie, el físico Peter Debye hizo un comentario casual de que si las partículas se comportaran como ondas, deberían satisfacer algún tipo de ecuación de onda. Inspirado por el comentario de Debye, Erwin Schrödinger decidió encontrar una ecuación de onda tridimensional adecuada para el electrón. Se guió por la analogía de William Rowan Hamilton entre mecánica y óptica (ver Analogía óptico-mecánica de Hamilton ), codificada en la observación de que el límite de longitud de onda cero de la óptica se asemeja a un sistema mecánico: las trayectorias de los rayos de luz se convierten en pistas afiladas que obedecen. Principio de Fermat , análogo del principio de mínima acción . ^[15]

En 1926, Schrödinger publicó la ecuación de onda que ahora lleva su nombre ^[16] –el análogo de la onda de materia de las ecuaciones de Maxwell– y la utilizó para derivar el espectro de energía del hidrógeno . Las frecuencias de las soluciones de la ecuación de Schrödinger no relativista difieren de las ondas de De Broglie en la frecuencia de Compton, ya que la energía correspondiente a la masa en reposo de una partícula no forma parte de la ecuación de Schrödinger no relativista. La ecuación de Schrödinger describe la evolución temporal de una función de onda , función que asigna un número complejo a cada punto del espacio. Schrödinger intentó interpretar el módulo al cuadrado de la función de onda como una densidad de carga. Sin embargo, este enfoque no tuvo éxito. ^{[17] [18] [19]} Max Born propuso que el módulo al cuadrado de la función de onda es en cambio una densidad de probabilidad , una propuesta exitosa ahora conocida como la regla de Born . ^[17]

Densidad de probabilidad espacial de posición de un estado inicialmente gaussiano que se mueve en una dimensión con un impulso constante y mínimamente incierto en el espacio libre

Al año siguiente, 1927, CG Darwin (nieto del famoso biólogo ) exploró la ecuación de Schrödinger en varios escenarios idealizados. ^[20] Para un electrón libre en el espacio libre, calculó la propagación de la onda, suponiendo un paquete de ondas gaussiano inicial . Darwin demostró que un tiempo después la posición del paquete que viaja a velocidad sería ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle x_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+(ht/2\pi \sigma m)^{2}}}}$$

relación de incertidumbreHeisenberg. ${\displaystyle \sigma }$

Confirmación experimental

En 1927, se confirmó experimentalmente por primera vez que ocurrían ondas de materia en el experimento de difracción de George Paget Thomson y Alexander Reid ^[21] y en el experimento de Davisson-Germer , ^{[22] [23],} ambos para electrones.

La hipótesis de De Broglie y la existencia de ondas de materia se han confirmado para otras partículas elementales, se ha demostrado que los átomos neutros e incluso las moléculas tienen forma de ondas. ^[24]

Los primeros patrones de interferencia de ondas de electrones que demostraron directamente la dualidad onda-partícula utilizaron biprismas de electrones ^{[25] [26]} (esencialmente un cable colocado en un microscopio electrónico) y midieron electrones individuales construyendo el patrón de difracción. Recientemente, se mostró una copia fiel del famoso experimento de la doble rendija ^{[27] : 260  utilizando electrones a través de aberturas físicas. [28]}

Patrón de difracción de doble rendija de onda de materia que se acumula electrón a electrón. Cada punto blanco representa un único electrón que golpea un detector; con un número estadísticamente grande de electrones aparecen franjas de interferencia. ^[28]

electrones

En 1927, en los Laboratorios Bell, Clinton Davisson y Lester Germer dispararon electrones de movimiento lento contra un objetivo de níquel cristalino . ^{[22] [23]} Se midió la intensidad de los electrones difractados y se determinó que tenía una dependencia angular similar a los patrones de difracción predichos por Bragg para los rayos X. Al mismo tiempo, George Paget Thomson y Alexander Reid, de la Universidad de Aberdeen, disparaban electrones de forma independiente contra finas láminas de celuloide y, más tarde, sobre películas metálicas, observando anillos que pueden interpretarse de manera similar. ^[21] (Alexander Reid, que era estudiante de posgrado de Thomson, realizó los primeros experimentos pero murió poco después en un accidente de motocicleta ^[29] y rara vez se menciona). Antes de la aceptación de la hipótesis de De Broglie, la difracción era una propiedad que se Se cree que sólo lo exhiben las olas. Por lo tanto, la presencia de cualquier efecto de difracción de la materia demostró la naturaleza ondulatoria de la materia. ^[30] La interpretación de la onda de materia fue colocada sobre una base sólida en 1928 por Hans Bethe , ^[31] quien resolvió la ecuación de Schrödinger , ^[16] mostrando cómo esto podría explicar los resultados experimentales. Su enfoque es similar al que se utiliza en los métodos modernos de difracción de electrones . ^{[32] [33]}

Este fue un resultado fundamental en el desarrollo de la mecánica cuántica . Así como el efecto fotoeléctrico demostró la naturaleza partícula de la luz, estos experimentos mostraron la naturaleza ondulatoria de la materia.

Neutrones

Neutrones , producidos en reactores nucleares con energía cinética de alrededor1 MeV , termalizado a alrededor0,025 eV a medida que se dispersan desde los átomos ligeros. La longitud de onda de De Broglie resultante (alrededor de180  pm ) coincide con el espacio interatómico. En 1944, Ernest O. Wollan , con experiencia en dispersión de rayos X gracias a su trabajo de doctorado ^[34] con Arthur Compton , reconoció el potencial de aplicar neutrones térmicos del recién operativo reactor nuclear X-10 a la cristalografía . Junto con Clifford G. Shull, desarrollaron ^[35] la difracción de neutrones a lo largo de la década de 1940. En la década de 1970, un interferómetro de neutrones demostró la acción de la gravedad en relación con la dualidad onda-partícula en un interferómetro de neutrones. ^[36]

átomos

La interferencia de las ondas de materia atómica fue observada por primera vez por Immanuel Estermann y Otto Stern en 1930, cuando se difractó un haz de Na de una superficie de NaCl. ^[37] La ​​longitud de onda corta de De Broglie de los átomos impidió el progreso durante muchos años hasta que dos avances tecnológicos revivieron el interés: la microlitografía que permitió dispositivos pequeños y precisos y el enfriamiento por láser que permitió ralentizar los átomos, aumentando su longitud de onda de Broglie. ^[38]

Los avances en el enfriamiento por láser permitieron el enfriamiento de átomos neutros hasta temperaturas de nanokelvin. A estas temperaturas, las longitudes de onda de De Broglie entran en el rango micrométrico. Utilizando la difracción de átomos de Bragg y una técnica de interferometría de Ramsey, se midió explícitamente la longitud de onda de De Broglie de los átomos de sodio fríos y se encontró que era consistente con la temperatura medida por un método diferente. ^[39]

Moléculas

Experimentos recientes confirman las relaciones entre moléculas e incluso macromoléculas que, de otro modo, se considerarían demasiado grandes para sufrir efectos de la mecánica cuántica. En 1999, un equipo de investigación de Viena demostró la difracción de moléculas del tamaño de los fullerenos . ^[40] Los investigadores calcularon una longitud de onda de De Broglie de la velocidad más probable del C ₆₀ como14.5  pm . Experimentos más recientes prueban la naturaleza cuántica de moléculas formadas por 810 átomos y con una masa de10 123  Da . ^[41] A partir de 2019, esto se ha trasladado a moléculas de25.000  Da .​ ^[42]

En estos experimentos se pudo registrar la formación de tales patrones de interferencia en tiempo real y con sensibilidad de una sola molécula. ^[43] Las moléculas grandes ya son tan complejas que dan acceso experimental a algunos aspectos de la interfaz cuántica-clásica, es decir, a ciertos mecanismos de decoherencia . ^{[44] [45]}

Ondas de materia viajera

Las ondas tienen conceptos de velocidad más complicados que los objetos sólidos. El enfoque más simple es centrarse en la descripción en términos de ondas de materia plana para una partícula libre , es decir, una función de onda descrita por

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t},}$$

vector de ondaωfrecuencia angularcristalografíavector de ondalongitud de onda λmomentola frecuencia fEpartícula libre^[46] ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle |\mathbf {p} |=p}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda ={\frac {2\pi }{|\mathbf {k} |}}={\frac {h}{p}}\\&f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {E}{h}}\end{aligned}}}$$

hconstante de Planck

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \\&E=\hbar \omega ,\\\end{aligned}}}$$

ħ = h /2 πrelación de Planck-Einstein

Velocidad de grupo

En la hipótesis de De Broglie, la velocidad de una partícula es igual a la velocidad del grupo de la onda de materia. ^{[2] : 214} En medios isotrópicos o en el vacío, la velocidad de grupo de una onda está definida por:

$${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\partial \omega (\mathbf {k} )}{\partial \mathbf {k} }}}$$

relación de dispersión

$${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$

velocidad ${\displaystyle m_{0}}$

$${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m_{0}}}}$$

dispersiónvelocidad de la luz ${\displaystyle \omega (k)=ck}$ ${\displaystyle c}$

Como alternativa, utilizar la relación de dispersión relativista para ondas de materia.

$${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )={\sqrt {k^{2}c^{2}+\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}}}\,.}$$

$${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\mathbf {k} c^{2}}{\omega }}}$$

Para medios no isotrópicos utilizamos la forma Energía-momento :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\partial \omega }{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (\mathbf {p} /\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial \mathbf {p} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}\right)\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}}\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}.\end{aligned}}}$$

Pero (ver más abajo), dado que la velocidad de fase es , entonces ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }=E/\mathbf {p} =c^{2}/\mathbf {v} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}\\&={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} _{\mathrm {p} }}}\\&=\mathbf {v} ,\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \mathbf {v} }$

Velocidad de fase

La velocidad de fase en medios isotrópicos se define como:

$${\displaystyle \mathbf {v_{p}} ={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}}$$

^{[2] : 215}

$${\displaystyle \mathbf {v_{p}} ={\frac {c^{2}}{\mathbf {v_{g}} }}}$$

superluminal ${\displaystyle \mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}}$ ${\displaystyle |\mathbf {v_{p}} |=c}$ ${\displaystyle |\mathbf {v_{g}} |=c}$ ${\displaystyle |\mathbf {v_{g}} |<c}$ ${\displaystyle |\mathbf {v_{p}} |>c}$

Para medios no isotrópicos, entonces

$${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}={\frac {E/\hbar }{\mathbf {p} /\hbar }}={\frac {E}{\mathbf {p} }}.}$$

Usando las relaciones relativistas para obtener energía y momento se obtiene

$${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {E}{\mathbf {p} }}={\frac {mc^{2}}{m\mathbf {v} }}={\frac {\gamma m_{0}c^{2}}{\gamma m_{0}\mathbf {v} }}={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} }}.}$$

la relatividad especialc ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle |\mathbf {v} |<c}$

$${\displaystyle |\mathbf {v} _{\mathrm {p} }|>c,}$$

csuperluminalDispersión (óptica)

Relatividad especial

Usando dos fórmulas de la relatividad especial , una para la energía de masa relativista y otra para el momento relativista

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=mc^{2}=\gamma m_{0}c^{2}\\[1ex]\mathbf {p} &=m\mathbf {v} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda =\,\,{\frac {h}{\gamma m_{0}v}}\,=\,{\frac {h}{m_{0}v}}\,\,\,{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\\[2.38ex]&f={\frac {\gamma \,m_{0}c^{2}}{h}}={\frac {m_{0}c^{2}}{h{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}},\end{aligned}}}$$

velocidadfactor de Lorentzvelocidad de la luz^{[47] [48]} ${\displaystyle v=|\mathbf {v} |}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle c}$

Cuatro vectores

Usando cuatro vectores, las relaciones de De Broglie forman una única ecuación:

$${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} ,}$$

del marco

$${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}\right)\mathbf {U} ,}$$

• Cuatro impulsos ${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\mathbf {p} }\right)}$
• Vector de cuatro ondas ${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\mathbf {k} }\right)}$
• cuatro velocidades ${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,{\mathbf {u} })=\gamma (c,v_{\mathrm {g} }{\hat {\mathbf {u} }})}$

Ondas de materia general

Las secciones anteriores se refieren específicamente a partículas libres cuyas funciones de onda son ondas planas. Hay un número significativo de otras ondas de materia, que pueden dividirse en tres clases: ondas de materia de una sola partícula, ondas de materia colectiva y ondas estacionarias.

Ondas de materia de una sola partícula

La descripción más general de las ondas de materia correspondientes a un solo tipo de partícula (por ejemplo, un solo electrón o un solo neutrón) tendría una forma similar a

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -iE(\mathbf {k} )t/\hbar )}$$

masa efectiva ${\displaystyle u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle m_{ij}^{*}}$

$${\displaystyle {m_{ij}^{*}}^{-1}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}}$$

$${\displaystyle E(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}}{2m^{*}}}}$$

corriente de probabilidad ^[49]

$${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} )={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}(\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi (\mathbf {r} )-\psi (\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi ^{*}(\mathbf {r} )\right)}$$

operador delgradienteoperador de momento cinético^[49] ${\displaystyle \nabla }$

$${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla }$$

• Ondas de Bloch , que forman la base de gran parte de la estructura de bandas descrita por Ashcroft y Mermin , y también se utilizan para describir la difracción de electrones de alta energía por sólidos. ^{[50] [33]}
• Ondas con momento angular como haces de vórtices de electrones . ^[51]
• Ondas evanescentes , donde la componente del vector de onda en una dirección es compleja. Estos son comunes cuando se reflejan ondas de materia, particularmente para la difracción de incidencia rasante .

Ondas de materia colectiva

Otras clases de ondas de materia involucran más de una partícula, por lo que se denominan ondas colectivas y, a menudo, son cuasipartículas . Muchos de estos se encuentran en sólidos (ver Ashcroft y Mermin) . Ejemplos incluyen:

• En los sólidos, una cuasipartícula electrónica es un electrón en el que se han incluido interacciones con otros electrones del sólido. Una cuasipartícula electrónica tiene la misma carga y espín que un electrón "normal" ( partícula elemental ) y, como un electrón normal, es un fermión . Sin embargo, su masa efectiva puede diferir sustancialmente de la de un electrón normal. ^[52] Su campo eléctrico también se modifica, como resultado del apantallamiento del campo eléctrico .
• Un hueco es una cuasipartícula que puede considerarse como la vacante de un electrón en un estado; se utiliza más comúnmente en el contexto de estados vacíos en la banda de valencia de un semiconductor . ^[52] Un agujero tiene la carga opuesta a la de un electrón.
• Un polarón es una cuasipartícula donde un electrón interactúa con la polarización de átomos cercanos.
• Un excitón es un par de electrones y huecos que están unidos.
• Un par de Cooper son dos electrones unidos de modo que se comportan como una sola onda de materia.

Ondas de materia estacionaria

Algunas trayectorias de una partícula en una caja según las leyes de la mecánica clásica de Newton (A) y las ondas de materia (B–F). En (B – F), el eje horizontal es la posición y el eje vertical es la parte real (azul) y la parte imaginaria (roja) de la función de onda . Los estados (B,C,D) son estados propios de energía , pero (E,F) no lo son.

La tercera clase son las ondas de materia que tienen un vector de onda, una longitud de onda y varían con el tiempo, pero tienen una velocidad de grupo o flujo de probabilidad cero . El más simple de ellos, similar a la notación anterior, sería

$${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$$

partícula en una cajaanillocondición de Bohr-Sommerfeld^[53]los orbitales atómicoslos orbitales moleculares,^{[54] [55] [56]}

Ondas de materia versus ondas electromagnéticas (luz)

Schrödinger aplicó la analogía óptico-mecánica de Hamilton para desarrollar su mecánica ondulatoria para partículas subatómicas ^{[57] : xi} En consecuencia, las soluciones ondulatorias de la ecuación de Schrödinger comparten muchas propiedades con los resultados de la óptica de ondas luminosas . En particular, la fórmula de difracción de Kirchhoff funciona bien para la óptica electrónica ^{[27] : 745} y para la óptica atómica . ^[58] La aproximación funciona bien siempre que los campos eléctricos cambien más lentamente que la longitud de onda de De Broglie. Los aparatos macroscópicos cumplen esta condición; los electrones lentos que se mueven en sólidos no lo hacen.

Más allá de las ecuaciones de movimiento, otros aspectos de la óptica ondulatoria de la materia difieren de los casos correspondientes de la óptica luminosa.

Sensibilidad de las ondas de materia a las condiciones ambientales. Muchos ejemplos de difracción electromagnética (luz) ocurren en el aire bajo muchas condiciones ambientales. Obviamente, la luz visible interactúa débilmente con las moléculas de aire. Por el contrario, las partículas que interactúan fuertemente, como los electrones lentos y las moléculas, requieren vacío: las propiedades ondulatorias de la materia se desvanecen rápidamente cuando se exponen incluso a presiones de gas bajas. ^[59] Con aparatos especiales, se pueden utilizar electrones de alta velocidad para estudiar líquidos y gases . Los neutrones, una excepción importante, interactúan principalmente mediante colisiones con núcleos y, por tanto, viajan varios cientos de pies en el aire. ^[60]

Dispersión. Las ondas de luz de todas las frecuencias viajan a la misma velocidad que la luz, mientras que la velocidad de las ondas de materia varía fuertemente con la frecuencia. La relación entre la frecuencia (proporcional a la energía) y el número de onda o velocidad (proporcional al momento) se llama relación de dispersión . Las ondas de luz en el vacío tienen una relación de dispersión lineal entre la frecuencia: . Para las ondas de materia la relación no es lineal: ${\displaystyle \omega =ck}$

$${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$

Esta relaciónpaquetes de ondas de ondas de materia ${\displaystyle k=1/\lambda }$ ${\displaystyle \hbar \omega _{0}=m_{0}c^{2}}$

Coherencia La visibilidad de las características de difracción utilizando un enfoque de teoría óptica depende de la coherencia del haz , ^[27] que a nivel cuántico es equivalente a un enfoque de matriz de densidad . ^{[61] [62]} Al igual que con la luz, la coherencia transversal (a través de la dirección de propagación) se puede aumentar mediante la colimación . Los sistemas ópticos electrónicos utilizan alto voltaje estabilizado para brindar una distribución estrecha de energía en combinación con lentes colimadoras (paralelizadoras) y fuentes de filamentos puntiagudos para lograr una buena coherencia. ^[63] Debido a que la luz en todas las frecuencias viaja a la misma velocidad, la coherencia longitudinal y temporal están vinculadas; en las ondas de materia estos son independientes. Por ejemplo, para los átomos, la selección de velocidad (energía) controla la coherencia longitudinal y la pulsación o corte controla la coherencia temporal. ^{[58] : 154}

Ondas de materia formadas ópticamente La manipulación óptica de la materia desempeña un papel fundamental en la óptica de las ondas de materia: "Las ondas de luz pueden actuar como estructuras refractivas, reflectantes y absorbentes para las ondas de materia, del mismo modo que el vidrio interactúa con las ondas de luz". ^[64] La transferencia de impulso de la luz láser puede enfriar partículas de materia y alterar el estado de excitación interna de los átomos. ^{[sesenta y cinco]}

Experimentos con múltiples partículas Si bien las ecuaciones ópticas en el espacio libre de una sola partícula y las ecuaciones de ondas de materia son idénticas, los sistemas multipartículas como los experimentos de coincidencia no lo son. ^[66]

Aplicaciones de las ondas de materia.

Las siguientes subsecciones proporcionan enlaces a páginas que describen aplicaciones de ondas de materia como sondas de materiales o de propiedades cuánticas fundamentales . En la mayoría de los casos, se trata de algún método para producir ondas de materia viajera que inicialmente tienen la forma simple y luego se utilizan para sondear materiales. ${\displaystyle \exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t)}$

Como se muestra en la siguiente tabla, la masa de las ondas de materia varía en 6 órdenes de magnitud y la energía en 9 órdenes, pero todas las longitudes de onda están en el rango de los picómetros , comparables a los espaciamientos atómicos. ( Los diámetros atómicos varían de 62 a 520 pm, y la longitud típica de un enlace simple carbono-carbono es de 154 pm.) Alcanzar longitudes de onda más largas requiere técnicas especiales como el enfriamiento por láser para alcanzar energías más bajas; Las longitudes de onda más cortas hacen que los efectos de la difracción sean más difíciles de discernir. ^[38] Por lo tanto, muchas aplicaciones se centran en estructuras materiales , en paralelo con aplicaciones de ondas electromagnéticas, especialmente rayos X. A diferencia de la luz, las partículas ondulatorias de materia pueden tener masa , carga eléctrica , momentos magnéticos y estructura interna, lo que presenta nuevos desafíos y oportunidades.

electrones

Los patrones de difracción de electrones surgen cuando electrones energéticos reflejan o penetran sólidos ordenados; El análisis de los patrones conduce a modelos de la disposición atómica en los sólidos.

Se utilizan para obtener imágenes desde la escala micrométrica hasta la atómica usando microscopios electrónicos , en transmisión , usando escaneo y para superficies a bajas energías .

Las mediciones de la energía que pierden en la espectroscopia de pérdida de energía de electrones proporcionan información sobre la química y la estructura electrónica de los materiales. Los haces de electrones también conducen a rayos X característicos en la espectroscopia de energía dispersiva que pueden producir información sobre el contenido químico a nanoescala.

El túnel cuántico explica cómo los electrones escapan de los metales en un campo electrostático a energías inferiores a las que permiten las predicciones clásicas: la onda de materia atraviesa la barrera de la función de trabajo en el metal.

El microscopio de efecto túnel aprovecha el efecto túnel cuántico para obtener imágenes de la capa atómica superior de las superficies sólidas.

La holografía electrónica , el análogo de la holografía óptica de ondas de materia electrónica , explora los campos eléctricos y magnéticos en películas delgadas.

Neutrones

La difracción de neutrones complementa la difracción de rayos X a través de las diferentes secciones transversales de dispersión y la sensibilidad al magnetismo.

La dispersión de neutrones de ángulo pequeño proporciona una manera de obtener la estructura de sistemas desordenados que son sensibles a elementos ligeros, isótopos y momentos magnéticos.

La reflectometría de neutrones es una técnica de difracción de neutrones para medir la estructura de películas delgadas.

átomos neutros

Los interferómetros atómicos , similares a los interferómetros ópticos , miden la diferencia de fase entre ondas de materia atómica a lo largo de diferentes caminos.

La óptica atómica imita muchos dispositivos ópticos de luz, incluidos espejos y placas de zona de enfoque atómico.

La microscopía de barrido con helio utiliza ondas atómicas de He para obtener imágenes de estructuras sólidas de forma no destructiva.

La reflexión cuántica utiliza el comportamiento de las ondas de la materia para explicar la reflexión atómica en ángulo rasante, la base de algunos espejos atómicos .

Las mediciones de decoherencia cuántica se basan en la interferencia de ondas atómicas de Rb.

Moléculas

La superposición cuántica revelada por la interferencia de ondas de materia de moléculas grandes sondea los límites de la dualidad onda-partícula y la macroscopicidad cuántica. ^{[75] [76]}

Los interrómetros de ondas de materia generan nanoestructuras en haces moleculares que pueden leerse con precisión nanométrica y, por lo tanto, usarse para mediciones de fuerza altamente sensibles, de las cuales se puede deducir una gran cantidad de propiedades de moléculas complejas individualizadas. ^[77]

Ver también

• Dualidad onda-partícula
• modelo de bohr
• Longitud de onda Compton
• onda de faraday
• Efecto Kapitsa-Dirac
• Reloj de onda de materia
• ecuación de Schrödinger
• Justificación teórica y experimental de la ecuación de Schrödinger.
• Longitud de onda térmica de Broglie
• Teoría de De Broglie-Bohm

Referencias

1. Kragh, Helge (1 de diciembre de 2000). "Max Planck: el revolucionario reacio". Mundo de la Física . Consultado el 19 de mayo de 2023 .
2. Whittaker, Sir Edmund (1 de enero de 1989). Una historia de las teorías del éter y la electricidad . vol. 2. Publicaciones de Courier Dover. ISBN 0-486-26126-3.
3. Einstein, A. (1917). Zur Quantentheorie der Strahlung, Physicalische Zeitschrift 18 : 121-128. Traducido en ter Haar, D. (1967). La antigua teoría cuántica . Prensa de Pérgamo . págs. 167–183. LCCN  66029628.
4. Richardson, OW; Compton, Karl T. (17 de mayo de 1912). "El efecto fotoeléctrico". Ciencia . 35 (907). Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia (AAAS): 783–784. Código Bib : 1912 Ciencia.... 35.. 783R. doi : 10.1126/ciencia.35.907.783. ISSN  0036-8075. PMID  17792421.
5. Hughes, A. Ll. "XXXIII. El efecto fotoeléctrico de algunos compuestos". Revista filosófica y revista científica de Londres, Edimburgo y Dublín 24.141 (1912): 380–390.
6. Millikan, R. (1916). "Una determinación fotoeléctrica directa de la" h de Planck"". Revisión física . 7 (3): 355–388. Código bibliográfico : 1916PhRv....7..355M. doi : 10.1103/PhysRev.7.355 .
7. de Broglie, Luis (1970). "La reinterpretación de la mecánica ondulatoria". Fundamentos de la Física . 1 (1): 5–15. Código bibliográfico : 1970FoPh....1....5D. doi :10.1007/BF00708650. S2CID  122931010.
8. de Broglie, Luis Víctor. "Sobre la teoría de los cuantos" (PDF) . Fundación de Louis de Broglie (traducción al inglés de AF Kracklauer, 2004. ed.) . Consultado el 25 de febrero de 2023 .
9. de Broglie, L. (1923). "Ondas y cuantos". Naturaleza . 112 (2815): 540. Bibcode :1923Natur.112..540D. doi : 10.1038/112540a0 . S2CID  4082518.
10. Medicus, HA (1974). "Cincuenta años de ondas de materia". Física hoy . 27 (2): 38–45. Código bibliográfico : 1974PhT....27b..38M. doi : 10.1063/1.3128444.
11. MacKinnon, E. (1976). La tesis de De Broglie: una retrospectiva crítica, Am. J. Física. 44: 1047-1055.
12. Espinosa, JM (1982). "Propiedades físicas de las ondas de fase de De Broglie". Soy. J. Física . 50 (4): 357–362. Código bibliográfico : 1982AmJPh..50..357E. doi :10.1119/1.12844.
13. Marrón, recursos humanos; Martín (1984). "Ondas de fase relativistas y grupos de ondas de De Broglie". Soy. J. Física . 52 (12): 1130-1140. Código bibliográfico : 1984AmJPh..52.1130B. doi :10.1119/1.13743. Archivado desde el original el 29 de julio de 2020 . Consultado el 16 de diciembre de 2019 .
14. McEvoy, JP; Zárate, Óscar (2004). Introduciendo la teoría cuántica . Libros tótem. págs. 110-114. ISBN 978-1-84046-577-8.
15. Schrödinger, E. (1984). Papeles recopilados . Friedrich Vieweg y Sohn. ISBN 978-3-7001-0573-2.Consulte la introducción al primer artículo de 1926.
16. Schrödinger, E. (1926). "Una teoría ondulatoria de la mecánica de átomos y moléculas". Revisión física . 28 (6): 1049-1070. Código bibliográfico : 1926PhRv...28.1049S. doi : 10.1103/PhysRev.28.1049. ISSN  0031-899X.
17. Moore, WJ (1992). Schrödinger: vida y pensamiento . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 219-220. ISBN 978-0-521-43767-7.
18. Jammer, Max (1974). Filosofía de la mecánica cuántica: las interpretaciones de la mecánica cuántica en una perspectiva histórica . Wiley-Interscience. págs. 24 y 25. ISBN 978-0-471-43958-5.
19. Karam, Ricardo (junio de 2020). "Las luchas originales de Schrödinger con una función de onda compleja". Revista Estadounidense de Física . 88 (6): 433–438. Código Bib : 2020AmJPh..88..433K. doi :10.1119/10.0000852. ISSN  0002-9505. S2CID  219513834.
20. Darwin, Charles Galton. "Movimiento libre en la mecánica ondulatoria". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter físico y matemático 117.776 (1927): 258–293.
21. Thomson, médico de cabecera; Reid, A. (1927). "Difracción de rayos catódicos por una película fina". Naturaleza . 119 (3007): 890. Código bibliográfico : 1927Natur.119Q.890T. doi : 10.1038/119890a0 . ISSN  0028-0836. S2CID  4122313.
22. Davisson, C.; Germer, LH (1927). "Difracción de electrones por un cristal de níquel". Revisión física . 30 (6): 705–740. Código bibliográfico : 1927PhRv...30..705D. doi : 10.1103/physrev.30.705 . ISSN  0031-899X.
23. Davisson, CJ; Germer, LH (1928). "Reflexión de electrones por un cristal de níquel". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 14 (4): 317–322. Código bibliográfico : 1928PNAS...14..317D. doi : 10.1073/pnas.14.4.317 . ISSN  0027-8424. PMC 1085484 . PMID  16587341. 
24. Arndt, Markus; Hornberger, Klaus (abril de 2014). "Probando los límites de las superposiciones de la mecánica cuántica". Física de la Naturaleza . 10 (4): 271–277. arXiv : 1410.0270 . Código bibliográfico : 2014NatPh..10..271A. doi : 10.1038/nphys2863. ISSN  1745-2473. S2CID  56438353.
25. Merli, PG, GF Missiroli y G. Pozzi. "Sobre el aspecto estadístico de los fenómenos de interferencia de electrones". Revista Estadounidense de Física 44 (1976): 306
26. Tonomura, A.; Endo, J.; Matsuda, T.; Kawasaki, T.; Ezawa, H. (1989). "Demostración de la acumulación de un solo electrón de un patrón de interferencia". Revista Estadounidense de Física . 57 (2). Asociación Estadounidense de Profesores de Física (AAPT): 117–120. Código bibliográfico : 1989AmJPh..57..117T. doi :10.1119/1.16104. ISSN  0002-9505.
27. Nacido, M .; Lobo, E. (1999). Principios de la Óptica . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-64222-4.
28. Bach, Roger; Papa, Damián; Liou, Sy-Hwang; Batelaan, Herman (13 de marzo de 2013). "Difracción de electrones controlada por doble rendija". Nueva Revista de Física . 15 (3). Publicación de IOP: 033018. arXiv : 1210.6243 . Código Bib : 2013NJPh...15c3018B. doi :10.1088/1367-2630/15/3/033018. ISSN  1367-2630. S2CID  832961.
29. Navarro, Jaume (2010). "Difracción de electrones chez Thomson: primeras respuestas a la física cuántica en Gran Bretaña". La Revista Británica de Historia de la Ciencia . 43 (2): 245–275. doi :10.1017/S0007087410000026. ISSN  0007-0874. S2CID  171025814.
30. Mauro Dardo, Premios Nobel y física del siglo XX , Cambridge University Press 2004, págs.
31. Bethe, H. (1928). "Theorie der Beugung von Elektronen an Kristallen". Annalen der Physik (en alemán). 392 (17): 55-129. Código bibliográfico : 1928AnP...392...55B. doi : 10.1002/andp.19283921704.
32. John M., Cowley (1995). Física de la difracción . Elsevier. ISBN 0-444-82218-6. OCLC  247191522.
33. Peng, L.-M.; Dudarev, SL; Whelan, MJ (2011). Difracción de electrones y microscopía de alta energía . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-960224-7. OCLC  656767858.
34. Snell, AH; Wilkinson, MK; Koehler, WC (1984). "Ernest Omar Wollán". Física hoy . 37 (11): 120. Código bibliográfico : 1984PhT....37k.120S. doi : 10.1063/1.2915947 .
35. Shull, CG (1997). "Desarrollo temprano de la dispersión de neutrones" (PDF) . En Ekspong, G. (ed.). Conferencias Nobel de Física 1991-1995 . Publicaciones científicas mundiales . págs. 145-154. Archivado desde el original (PDF) el 19 de mayo de 2017.
36. Colella, R.; Overhauser, AW; Werner, SA (1975). "Observación de interferencias cuánticas inducidas gravitacionalmente" (PDF) . Cartas de revisión física . 34 (23): 1472-1474. Código bibliográfico : 1975PhRvL..34.1472C. doi : 10.1103/PhysRevLett.34.1472.
37. Estermann, yo; Popa, Otto (1930). "Beugung von Molekularstrahlen". Z. Física . 61 (1–2): 95. Bibcode : 1930ZPhy...61...95E. doi :10.1007/bf01340293. S2CID  121757478.
38. Adams, CS; Sigel, M; Mlynek, J (1994). "Óptica atómica". Informes de Física . 240 (3). Elsevier BV: 143–210. Código Bib : 1994PhR...240..143A. doi : 10.1016/0370-1573(94)90066-3 . ISSN  0370-1573.
39. Pierre Cladé; Changhyun Ryu; Anand Ramanathan; Kristian Helmerson; William D. Phillips (2008). "Observación de un gas Bose 2D: de térmico a cuasicondensado a superfluido". Cartas de revisión física . 102 (17): 170401. arXiv : 0805.3519 . Código bibliográfico : 2009PhRvL.102q0401C. doi : 10.1103/PhysRevLett.102.170401. PMID  19518764. S2CID  19465661.
40. Arndt, M.; O. Nairz; J. Voss-Andreae ; C. Keller; G. van der Zouw; A. Zeilinger (14 de octubre de 1999). "Dualidad onda-partícula de C ₆₀ ". Naturaleza . 401 (6754): 680–682. Código Bib :1999Natur.401..680A. doi :10.1038/44348. PMID  18494170. S2CID  4424892.
41. Eibenberger, Sandra; Gerlich, Stefan; Arndt, Markus; el alcalde, Marcel; Tüxen, Jens (14 de agosto de 2013). "Interferencia materia-onda de partículas seleccionadas de una biblioteca molecular con masas superiores10 000  uma ". Química Física Física Química . 15 (35): 14696–700. arXiv : 1310.8343 . Bibcode : 2013PCCP...1514696E. doi : 10.1039/c3cp51500a. ISSN  1463-9084. PMID  23900710. S2CID  3944699.
42. "2000 átomos en dos lugares a la vez: un nuevo récord en superposición cuántica". phys.org . Consultado el 25 de septiembre de 2019 .
43. Juffman, Thomas; et al. (25 de marzo de 2012). "Imágenes de interferencia cuántica de una sola molécula en tiempo real". Nanotecnología de la naturaleza . 7 (5): 297–300. arXiv : 1402.1867 . Código bibliográfico : 2012NatNa...7..297J. doi :10.1038/nnano.2012.34. PMID  22447163. S2CID  5918772.
44. Hornberger, Klaus; Stefan Uttenthaler; Björn Brezger; Lucía Hackermüller; Markus Arndt; Antón Zeilinger (2003). "Observación de la decoherencia de colisión en interferometría". Física. Rev. Lett . 90 (16): 160401. arXiv : quant-ph/0303093 . Código bibliográfico : 2003PhRvL..90p0401H. doi :10.1103/PhysRevLett.90.160401. PMID  12731960. S2CID  31057272.
45. Hackermüller, Lucía; Klaus Hornberger; Björn Brezger; Antón Zeilinger; Markus Arndt (2004). "Decoherencia de ondas de materia por emisión térmica de radiación". Naturaleza . 427 (6976): 711–714. arXiv : quant-ph/0402146 . Código Bib :2004Natur.427..711H. doi : 10.1038/naturaleza02276. PMID  14973478. S2CID  3482856.
46. Resnick, R.; Eisberg, R. (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0.
47. Holden, Alan (1971). Estados estacionarios . Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-501497-6.
48. Williams, WSC (2002). Introduciendo la Relatividad Especial , Taylor & Francis, Londres, ISBN 0-415-27761-2 , p. 192. 
49. Schiff, Leonard I. (1987). Mecánica cuántica . Serie internacional de física pura y aplicada (3. ed., 24. ed. impresa). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-085643-1.
50. Metherell, AJ (1972). Microscopía electrónica en ciencia de materiales . Comisión de las Comunidades Europeas. págs. 397–552.
51. Verbeeck, J.; Tian, ​​H.; Schattschneider, P. (2010). "Producción y aplicación de haces de vórtices de electrones". Naturaleza . 467 (7313): 301–304. Código Bib :2010Natur.467..301V. doi : 10.1038/naturaleza09366. ISSN  1476-4687. PMID  20844532. S2CID  2970408.
52. Efthimios Kaxiras (9 de enero de 2003). Estructura atómica y electrónica de los sólidos. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 65–69. ISBN 978-0-521-52339-4.
53. Jammer, Max (1989). El desarrollo conceptual de la mecánica cuántica . La historia de la física moderna (2ª ed.). Los Ángeles (California): Thomas Publishers. ISBN 978-0-88318-617-6.
54. Mulliken, Robert S. (1932). "Estructuras electrónicas de moléculas poliatómicas y valencia. II. Consideraciones generales". Revisión física . 41 (1): 49–71. Código bibliográfico : 1932PhRv...41...49M. doi : 10.1103/PhysRev.41.49.
55. Griffiths, David J. (1995). Introducción a la mecánica cuántica . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-124405-4.
56. Levine, Ira N. (2000). Química cuántica (5ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-685512-5.
57. Schrödinger, Erwin (2001). Artículos recopilados sobre mecánica ondulatoria: junto con sus Cuatro conferencias sobre mecánica ondulatoria . Traducido por Shearer, JF; Deans, Winifred Margaret (Tercera edición (aumentada), Nueva York, edición de 1982). Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 978-0-8218-3524-1.
58. Adams, CS; Sigel, M; Mlynek, J (1 de mayo de 1994). "Óptica atómica". Informes de Física . 240 (3): 143–210. Código Bib : 1994PhR...240..143A. doi : 10.1016/0370-1573(94)90066-3 .
59. Schlosshauer, Maximilian (1 de octubre de 2019). "Decoherencia cuántica". Informes de Física . 831 : 1–57. arXiv : 1911.06282 . Código Bib : 2019PhR...831....1S. doi :10.1016/j.physrep.2019.10.001. S2CID  208006050.
60. Pynn, Roger (1 de julio de 1990). "Dispersión de neutrones: introducción" (PDF) . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología . Consultado el 24 de junio de 2023 .
61. Fano, U. (1957). "Descripción de estados en mecánica cuántica mediante matriz de densidad y técnicas de operador". Reseñas de Física Moderna . 29 (1): 74–93. Código bibliográfico : 1957RvMP...29...74F. doi :10.1103/RevModPhys.29.74. ISSN  0034-6861.
62. Hall, Brian C. (2013), "Sistemas y subsistemas, partículas múltiples", Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Nueva York, NY: Springer New York, págs. 419–440, doi :10.1007/978-1-4614-7116-5_19, ISBN 978-1-4614-7115-8, consultado el 13 de agosto de 2023
63. Hawkes, Peter W.; Hawkes, PW (1972). Óptica electrónica y microscopía electrónica . Londres: Taylor y Francis. pag. 117.ISBN​ 978-0-85066-056-2.
64. Cronin, Alejandro D.; Schmiedmayer, Jörg; Pritchard, David E. (28 de julio de 2009). "Óptica e interferometría con átomos y moléculas". Reseñas de Física Moderna . 81 (3): 1051-1129. arXiv : 0712.3703 . Código Bib : 2009RvMP...81.1051C. doi :10.1103/RevModPhys.81.1051. hdl :1721.1/52372. ISSN  0034-6861. S2CID  28009912.
65. Akbari, Kamran; Di Giulio, Valerio; García De Abajo, F. Javier (2022). "Manipulación óptica de ondas de materia". Avances científicos . 8 (42): eabq2659. arXiv : 2203.07257 . Código Bib : 2022SciA....8.2659A. doi : 10.1126/sciadv.abq2659. PMID  36260664.
66. Brukner, Časlav; Zeilinger, Anton (6 de octubre de 1997). "No equivalencia entre la óptica de ondas de materia estacionaria y la óptica de luz estacionaria". Cartas de revisión física . 79 (14): 2599–2603. Código bibliográfico : 1997PhRvL..79.2599B. doi :10.1103/PhysRevLett.79.2599. ISSN  0031-9007.
67. Tonomura, Akira; Endo, J.; Matsuda, T.; Kawasaki, T.; Ezawa, H. (1989). "Demostración de la acumulación de un solo electrón de un patrón de interferencia". Revista Estadounidense de Física . 57 (2): 117-120. Código Bib : 1989AmJPh..57..117T. doi :10.1119/1.16104.
68. Estermann, yo; Stern, O. (1 de enero de 1930). "Beugung von Molekularstrahlen". Zeitschrift für Physik (en alemán). 61 (1): 95-125. Código Bib : 1930ZPhy...61...95E. doi :10.1007/BF01340293. ISSN  0044-3328. S2CID  121757478.
69. Wollan, EO; Shull, CG (1948). "La difracción de neutrones por polvos cristalinos". Revisión física . 73 (8). Sociedad Estadounidense de Física: 830–841. Código Bib : 1948PhRv...73..830W. doi : 10.1103/PhysRev.73.830. hdl : 2027/mdp.39015086506584 .
70. Moskowitz, Philip E.; Gould, Phillip L.; Atlas, Susan R.; Pritchard, David E. (1 de agosto de 1983). "Difracción de un haz atómico por radiación de onda estacionaria". Cartas de revisión física . 51 (5): 370–373. Código bibliográfico : 1983PhRvL..51..370M. doi :10.1103/PhysRevLett.51.370.
71. Grisenti, RE; W. Schöllkopf; JP Toennies; J.R. Manson; TA Savas; Enrique I. Smith (2000). "Difracción de átomos de He a partir de rejillas de transmisión de nanoestructuras: el papel de las imperfecciones". Revisión física A. 61 (3): 033608. Código bibliográfico : 2000PhRvA..61c3608G. doi : 10.1103/PhysRevA.61.033608.
72. Chapman, Michael S.; Christopher R. Ekstrom; Troy D. Hammond; Richard A. Rubenstein; Jörg Schmiedmayer; Stefan Wehinger; David E. Pritchard (1995). "Óptica e interferometría con moléculas de Na ₂ ". Cartas de revisión física . 74 (24): 4783–4786. Código bibliográfico : 1995PhRvL..74.4783C. doi : 10.1103/PhysRevLett.74.4783. PMID  10058598.
73. Brezger, B.; Hackermüller, L.; Uttenthaler, S.; Petschinka, J.; Arndt, M.; Zeilinger, A. (febrero de 2002). "Interferómetro de materia-onda para moléculas grandes" (reimpresión) . Cartas de revisión física . 88 (10): 100404. arXiv : quant-ph/0202158 . Código Bib : 2002PhRvL..88j0404B. doi : 10.1103/PhysRevLett.88.100404. PMID  11909334. S2CID  19793304. Archivado (PDF) desde el original el 13 de agosto de 2007 . Consultado el 30 de abril de 2007 .
74. Shayeghi, A.; Rieser, P.; Richter, G.; Sezer, U.; Rodewald, JH; Geyer, P.; Martínez, TJ; Arndt, M. (19 de marzo de 2020). "Interferencia de materia-onda de un polipéptido nativo". Comunicaciones de la naturaleza . 11 (1): 1447. arXiv : 1910.14538 . Código Bib : 2020NatCo..11.1447S. doi :10.1038/s41467-020-15280-2. ISSN  2041-1723. PMC 7081299 . PMID  32193414. 
75. Fein, Yaakov Y.; Geyer, Philipp; Zwick, Patricio; Kiałka, Filip; Pedalino, Sebastián; el alcalde, Marcel; Gerlich, Stefan; Arndt, Markus (diciembre de 2019). "Superposición cuántica de moléculas más allá de 25 kDa". Física de la Naturaleza . 15 (12): 1242-1245. Código Bib : 2019NatPh..15.1242F. doi :10.1038/s41567-019-0663-9. ISSN  1745-2481. S2CID  256703296.
76. Nimmrichter, Stefan; Hornberger, Klaus (18 de abril de 2013). "Macroscopicidad de los estados mecánicos de superposición cuántica". Cartas de revisión física . 110 (16): 160403. arXiv : 1205.3447 . Código bibliográfico : 2013PhRvL.110p0403N. doi :10.1103/PhysRevLett.110.160403. PMID  23679586. S2CID  12088376.
77. Gerlich, Stefan; Fein, Yaakov Y.; Shayeghi, Armin; Köhler, Valentín; el alcalde, Marcel; Arndt, Markus (2021), Friedrich, Bretislav; Schmidt-Böcking, Horst (eds.), "El legado de Otto Stern en óptica cuántica: ondas de materia y deflectometría", Haces moleculares en física y química: desde las hazañas pioneras de Otto Stern hasta las hazañas actuales , Cham: Springer International Publishing, págs. 547–573, Bibcode : 2021mbpc.book..547G, doi : 10.1007/978-3-030-63963-1_24 , ISBN 978-3-030-63963-1

Otras lecturas

• L. de Broglie, Recherches sur la théorie des quanta (Investigaciones sobre la teoría cuántica), Tesis (París), 1924; L. de Broglie, Ann. Física. (París) 3 , 22 (1925). Traducción al inglés de AF Kracklauer.
• Broglie, Louis de, La naturaleza ondulatoria del electrón Conferencia Nobel, 12, 1929
• Tipler, Paul A. y Ralph A. Llewellyn (2003). Física Moderna . 4ª edición. Nueva York; WH Freeman y compañía ISBN 0-7167-4345-0 . págs. 203–4, 222–3, 236. 
• Zumdahl, Steven S. (2005). Principios químicos (5ª ed.). Boston: Houghton Mifflin. ISBN 978-0-618-37206-5.
• En julio de 2009 apareció un extenso artículo de revisión "Óptica e interferometría con átomos y moléculas": https://web.archive.org/web/20110719220930/http://www.atomwave.org/rmparticle/RMPLAO.pdf.
• "Artículos científicos presentados a Max Born tras su jubilación de la Cátedra Tait de Filosofía Natural en la Universidad de Edimburgo", 1953 (Oliver y Boyd)

enlaces externos

• Bowley, Roger. "Olas de Broglie". Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .