Relación energía-momento

En física , la relación energía-momento , o relación de dispersión relativista , es la ecuación relativista que relaciona la energía total (también llamada energía relativista ) con la masa invariante (también llamada masa en reposo) y el momento . Es la extensión de la equivalencia masa-energía para cuerpos o sistemas con momento distinto de cero.

Puede formularse como:

Esta ecuación es válida para un cuerpo o sistema , como una o más partículas , con energía total $E$ , masa invariante $m 0$ y momento de magnitud $p$ ; la constante $c$ es la velocidad de la luz . Supone el caso de relatividad especial del espacio-tiempo plano ^[1]^[2]^[3] y que las partículas son libres. La energía total es la suma de la energía en reposo y la energía cinética relativista : La masa invariante es la masa medida en un marco de centro de momento . Para cuerpos o sistemas con momento cero, se simplifica a la ecuación masa-energía , donde la energía total en este caso es igual a la energía en reposo. $E_{0}=m_{0}{\textrm {c}}^{2}$ $E_{K}=E-E_{0}={\sqrt {(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}}}-m_{0}c^{2}$ $E_{0}=m_{0}{\textrm {c}}^{2}$

El modelo del mar de Dirac , que se utilizó para predecir la existencia de antimateria , está estrechamente relacionado con la relación energía-momento.

Conexión ami=mc2

La relación energía-momento es consistente con la conocida relación masa-energía en ambas interpretaciones: $E = mc 2$ relaciona la energía total $E$ con la masa relativista (total) $m$ (alternativamente denotada $m rel$ o $m tot$ ), mientras que $E 0 = m 0 c 2$ relaciona la energía en reposo $E 0$ con la masa en reposo (invariante) $m 0$ .

A diferencia de cualquiera de esas ecuaciones, la ecuación de energía-momento ( 1 ) relaciona la energía total con la masa en reposo $m 0$ . Las tres ecuaciones son válidas simultáneamente.

Casos especiales

Si el cuerpo es una partícula sin masa ( $m 0 = 0$ ), entonces ( 1 ) se reduce a $E = pc$ . Para los fotones , esta es la relación, descubierta en el electromagnetismo clásico del siglo XIX , entre el momento radiante (que causa la presión de radiación ) y la energía radiante .
Si la velocidad del cuerpo $v$ es mucho menor que $c$ , entonces ( 1 ) se reduce a $E = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/2⁠ m 0 v 2 + m 0 c 2$ ; es decir, la energía total del cuerpo es simplemente su energía cinética clásica ( $⁠$ $1 / 2 ⁠ m 0 v 2$ ) más su energía en reposo.
Si el cuerpo está en reposo ( $v = 0$ ), es decir, en su marco de centro de momento ( $p = 0$ ), tenemos $E = E 0$ y $m = m 0$ ; por lo tanto, la relación energía-momento y ambas formas de la relación masa-energía (mencionadas anteriormente) se vuelven todas iguales.

Una forma más general de relación ( 1 ) se aplica a la relatividad general .

La masa invariante (o masa en reposo) es invariante para todos los marcos de referencia (de ahí el nombre), no solo en marcos inerciales en el espacio-tiempo plano, sino también en marcos acelerados que viajan a través del espacio-tiempo curvo (ver más abajo). Sin embargo, la energía total de la partícula $E$ y su momento relativista $p$ dependen del marco; el movimiento relativo entre dos marcos hace que los observadores en esos marcos midan diferentes valores de la energía y el momento de la partícula; un marco mide $E$ y $p$ , mientras que el otro marco mide $E'$ y $p'$ , donde $E' \neq E$ y $p' \neq p$ , a menos que no haya movimiento relativo entre observadores, en cuyo caso cada observador mide la misma energía y momentos. Aunque todavía tenemos, en el espacio-tiempo plano:

{E'}^{2}-\left(p'c\right)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.

Las cantidades $E$ , $p$ , $E'$ , $p'$ están todas relacionadas por una transformación de Lorentz . La relación permite evitar las transformaciones de Lorentz al determinar solo las magnitudes de la energía y los momentos al igualar las relaciones en los diferentes marcos. Nuevamente en el espacio-tiempo plano, esto se traduce en:

{E}^{2}-\left(pc\right)^{2}={E'}^{2}-\left(p'c\right)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.

Como $m 0$ no cambia de un marco a otro, la relación energía-momento se utiliza en cálculos de mecánica relativista y física de partículas , ya que la energía y el momento se dan en el marco de reposo de una partícula (es decir, $E'$ y $p'$ como concluiría un observador que se mueve con la partícula) y se miden en el marco de laboratorio (es decir, $E$ y $p$ como lo determinan los físicos de partículas en un laboratorio, y no moviéndose con las partículas).

En la mecánica cuántica relativista , es la base para construir ecuaciones de onda relativistas , ya que si la ecuación de onda relativista que describe la partícula es consistente con esta ecuación, es consistente con la mecánica relativista y es invariante de Lorentz . En la teoría cuántica de campos relativista , es aplicable a todas las partículas y campos. ^[4]

Orígenes y derivación de la ecuación

La relación energía-momento se remonta al artículo de Max Planck ^[5] publicado en 1906. Fue utilizada por Walter Gordon en 1926 y luego por Paul Dirac en 1928 bajo la forma , donde V es la cantidad de energía potencial. ^[6]^[7] ${\textstyle E={\sqrt {c^{2}p^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}}}+V}$

La ecuación se puede derivar de varias maneras, dos de las más simples incluyen:

A partir de la dinámica relativista de una partícula masiva,
Evaluando la norma del cuadrimpulso del sistema. Este método se aplica tanto a partículas masivas como a partículas sin masa, y puede extenderse a sistemas de múltiples partículas con relativamente poco esfuerzo (véase el § Sistemas de múltiples partículas más adelante).

Enfoque heurístico para partículas masivas

Para un objeto masivo que se mueve a tres velocidades $u = (u x, u y, u z)$ con magnitud $| u | = u$ en el marco del laboratorio : ^[1]

E=\gamma _{(\mathbf {u} )}m_{0}c^{2}

es la energía total del objeto en movimiento en el marco del laboratorio,

\mathbf {p} =\gamma _{(\mathbf {u} )}m_{0}\mathbf {u}

es el momento relativista tridimensional del objeto en el marco de referencia del laboratorio con magnitud $| p | = p$ . La energía relativista $E$ y el momento $p$ incluyen el factor de Lorentz definido por:

\gamma _{(\mathbf {u} )}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {u}{c}}\right)^{2}}}}

Algunos autores utilizan la masa relativista definida por:

m=\gamma _{(\mathbf {u} )}m_{0}

Aunque la masa en reposo $m 0$ tiene un significado más fundamental y se utilizará principalmente sobre la masa relativista $m$ en este artículo.

Elevando al cuadrado el momento 3 se obtiene:

p^{2}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} ={\frac {m_{0}^{2}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}={\frac {m_{0}^{2}u^{2}}{1-\left({\frac {u}{c}}\right)^{2}}}

Luego, resolviendo $u 2$ y sustituyendo en el factor de Lorentz, se obtiene su forma alternativa en términos de 3-momento y masa, en lugar de 3-velocidad:

\gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}

Insertando esta forma del factor de Lorentz en la ecuación de energía obtenemos:

E=m_{0}c^{2}{\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}

seguido de más reordenamientos produce ( 1 ). La eliminación del factor de Lorentz también elimina la dependencia implícita de la velocidad de la partícula en ( 1 ), así como cualquier inferencia a la "masa relativista" de una partícula masiva. Este enfoque no es general ya que no se consideran partículas sin masa. Establecer ingenuamente $m 0 = 0$ significaría que $E = 0$ y $p = 0$ y no se podría derivar ninguna relación energía-momento, lo cual no es correcto.

Norma de los cuatro momentos

Relatividad especial

En el espacio de Minkowski , la energía (dividida por $c$ ) y el momento son dos componentes de un cuatro-vector de Minkowski , es decir, el cuatro-momento ; ^[8]

\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)\,,

(estos son los componentes contravariantes ).

El producto interno de Minkowski $⟨ , ⟩$ de este vector consigo mismo da el cuadrado de la norma de este vector, es proporcional al cuadrado de la masa en reposo $m$ del cuerpo:

\left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=\left(m_{0}c\right)^{2}\,,

una cantidad invariante de Lorentz y, por lo tanto, independiente del marco de referencia . Utilizando la métrica de Minkowski $η$ con signatura métrica $(- + + +)$ , el producto interno es

\left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=-\left(m_{0}c\right)^{2}\,,

\left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =P^{\alpha }\eta _{\alpha \beta }P^{\beta }={\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}&p_{x}&p_{y}&p_{z}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}=-\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}+p^{2}\,,

entonces

-\left(m_{0}c\right)^{2}=-\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}+p^{2}

o, en unidades naturales donde $c$ = 1,

|\mathbf {P} |^{2}+(m_{0})^{2}=0

Relatividad general

En la relatividad general , el 4-momento es un cuatrivector definido en un marco de coordenadas local, aunque por definición el producto interno es similar al de la relatividad especial,

\left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=\left(m_{0}c\right)^{2}\,,

en el que la métrica de Minkowski $η$ se reemplaza por el campo tensorial métrico $g$ :

\left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=P^{\alpha }g_{\alpha \beta }P^{\beta }\,,

Resuelto a partir de las ecuaciones de campo de Einstein . Entonces: ^[9]

P^{\alpha }g_{\alpha \beta }P^{\beta }=\left(m_{0}c\right)^{2}\,.

Realizando las sumas sobre los índices seguido de la recopilación de términos "similares al tiempo", "similares al espacio-tiempo" y "similares al espacio" obtenemos:

\underbrace {g_{00}{\left(P^{0}\right)}^{2}} _{\text{time-like}}+2\underbrace {g_{0i}P^{0}P^{i}} _{\text{spacetime-like}}+\underbrace {g_{ij}P^{i}P^{j}} _{\text{space-like}}=\left(m_{0}c\right)^{2}\,.

donde el factor 2 surge porque la métrica es un tensor simétrico y se utiliza la convención de índices latinos $i$ , $j$ que toman valores espaciales 1, 2, 3. Como cada componente de la métrica tiene dependencia espacial y temporal en general, esto es significativamente más complicado que la fórmula citada al principio; consulte tensor métrico (relatividad general) para obtener más información.

Unidades de energía, masa y momento.

En unidades naturales donde $c = 1$ , la ecuación de energía-momento se reduce a

E^{2}=p^{2}+m_{0}^{2}\,.

En física de partículas , la energía se expresa típicamente en unidades de electrón-voltios (eV), el momento en unidades de eV· $c$ ⁻¹ y la masa en unidades de eV· $c$ ⁻² . En electromagnetismo , y debido a la invariancia relativista, es útil tener el campo eléctrico $E$ y el campo magnético $B$ en la misma unidad ( Gauss ), utilizando el sistema de unidades cgs (gaussiano) , donde la energía se expresa en unidades de erg , la masa en gramos (g) y el momento en g·cm·s ⁻¹ .

La energía también puede expresarse en teoría en unidades de gramos, aunque en la práctica se requiere una gran cantidad de energía para que sea equivalente a masas en este rango. Por ejemplo, la primera bomba atómica liberó alrededor de 1 gramo de calor , y las bombas termonucleares más grandes han generado un kilogramo o más de calor. Las energías de las bombas termonucleares se dan generalmente en decenas de kilotones y megatones, haciendo referencia a la energía liberada al explotar esa cantidad de trinitrotolueno (TNT).

Casos especiales

Marco del centro del momento (una partícula)

Para un cuerpo en su marco de reposo, el momento es cero, por lo que la ecuación se simplifica a

E_{0}=m_{0}c^{2}\,,

donde $m 0$ es la masa en reposo del cuerpo.

Partículas sin masa

Si el objeto no tiene masa, como es el caso de un fotón , entonces la ecuación se reduce a

E=pc\,.

Esta es una simplificación útil. Puede reescribirse de otras maneras utilizando las relaciones de De Broglie :

E={\frac {hc}{\lambda }}=\hbar ck\,.

si se dan la longitud de onda $λ$ o el número de onda $k .$

Principio de correspondencia

Reescribiendo la relación para partículas masivas como:

E=m_{0}c^{2}{\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,,

y expandiéndose en series de potencias por el teorema binomial (o una serie de Taylor ):

E=m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{4}+\cdots \right]\,,

en el límite que $u ≪ c$ , tenemos $γ (u) \approx 1$ por lo que el momento tiene la forma clásica $p \approx m 0 u$ , entonces a primer orden en $(⁠ pag / m0c ⁠) 2$ (es decir, conservar el término $(⁠ pag / m0c ⁠) 2 n$ para $n = 1$ y descuidamos todos los términos para $n \geq 2$ ) tenemos

E\approx m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {m_{0}u}{m_{0}c}}\right)^{2}\right]\,,

E\approx m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}u^{2}\,,

donde el segundo término es la energía cinética clásica y el primero es la energía en reposo de la partícula. Esta aproximación no es válida para partículas sin masa, ya que la expansión requirió la división del momento por la masa. Por cierto, no existen partículas sin masa en la mecánica clásica.

Sistemas de muchas partículas

Adición de cuatro momentos

En el caso de muchas partículas con momentos relativistas $p n$ y energía $E n$ , donde $n = 1, 2, ...$ (hasta el número total de partículas) simplemente etiqueta las partículas, tal como se miden en un marco particular, se pueden agregar los cuatro momentos en este marco;

\sum _{n}\mathbf {P} _{n}=\sum _{n}\left({\frac {E_{n}}{c}},\mathbf {p} _{n}\right)=\left(\sum _{n}{\frac {E_{n}}{c}},\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)\,,

y luego tomamos la norma; para obtener la relación para un sistema de muchas partículas:

\left|\left(\sum _{n}\mathbf {P} _{n}\right)\right|^{2}=\left(\sum _{n}{\frac {E_{n}}{c}}\right)^{2}-\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)^{2}=\left(M_{0}c\right)^{2}\,,

donde $M 0$ es la masa invariante de todo el sistema, y no es igual a la suma de las masas en reposo de las partículas a menos que todas las partículas estén en reposo (ver masa en relatividad especial para más detalles). Sustituyendo y reordenando se obtiene la generalización de ( 1 );

Las energías y los momentos en la ecuación dependen del marco, mientras que $M 0$ es independiente del marco.

Marco del centro del momento

En el marco del centro del momento (marco COM), por definición tenemos:

\sum _{n}\mathbf {p} _{n}={\boldsymbol {0}}\,,

con la implicación de ( 2 ) de que la masa invariante es también la masa-energía del centro de momento (COM), además del factor $c 2$ :

\left(\sum _{n}E_{n}\right)^{2}=\left(M_{0}c^{2}\right)^{2}\Rightarrow \sum _{n}E_{\mathrm {COM} \,n}=E_{\mathrm {COM} }=M_{0}c^{2}\,,

y esto es cierto para todos los sistemas, ya que $M 0$ es independiente del sistema. Las energías $E COM n$ son las del sistema COM, no las del sistema de laboratorio. Sin embargo, muchos sistemas acotados conocidos tienen el sistema de laboratorio como sistema COM, ya que el sistema en sí no está en movimiento y, por lo tanto, los momentos se cancelan a cero. Un ejemplo sería un objeto simple (donde los momentos vibracionales de los átomos se cancelan) o un recipiente de gas donde el recipiente está en reposo. En tales sistemas, todas las energías del sistema se miden como masa. Por ejemplo, el calor en un objeto en una balanza, o el total de energías cinéticas en un recipiente de gas en la balanza, todos se miden por la balanza como la masa del sistema.

Masas en reposo y masa invariante

Las energías o los momentos de las partículas, medidos en algún marco, se pueden eliminar utilizando la relación de energía-momento para cada partícula:

E_{n}^{2}-\left(\mathbf {p} _{n}c\right)^{2}=\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}\,,

permitiendo que $M 0$ se exprese en términos de energías y masas en reposo, o momentos y masas en reposo. En un marco particular, los cuadrados de las sumas se pueden reescribir como sumas de cuadrados (y productos):

\left(\sum _{n}E_{n}\right)^{2}=\left(\sum _{n}E_{n}\right)\left(\sum _{k}E_{k}\right)=\sum _{n,k}E_{n}E_{k}=2\sum _{n<k}E_{n}E_{k}+\sum _{n}E_{n}^{2}\,,

\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)^{2}=\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)\cdot \left(\sum _{k}\mathbf {p} _{k}\right)=\sum _{n,k}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}=2\sum _{n<k}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}+\sum _{n}\mathbf {p} _{n}^{2}\,,

Entonces, sustituyendo las sumas, podemos introducir sus masas en reposo $m n$ en ( 2 ):

\sum _{n}\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}+2\sum _{n<k}\left(E_{n}E_{k}-c^{2}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}\right)=\left(M_{0}c^{2}\right)^{2}\,.

Las energías se pueden eliminar mediante:

E_{n}={\sqrt {\left(\mathbf {p} _{n}c\right)^{2}+\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}}}\,,\quad E_{k}={\sqrt {\left(\mathbf {p} _{k}c\right)^{2}+\left(m_{k}c^{2}\right)^{2}}}\,,

De manera similar, los momentos se pueden eliminar mediante:

\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}=\left|\mathbf {p} _{n}\right|\left|\mathbf {p} _{k}\right|\cos \theta _{nk}\,,\quad |\mathbf {p} _{n}|={\frac {1}{c}}{\sqrt {E_{n}^{2}-\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}}}\,,\quad |\mathbf {p} _{k}|={\frac {1}{c}}{\sqrt {E_{k}^{2}-\left(m_{k}c^{2}\right)^{2}}}\,,

donde $θ nk$ es el ángulo entre los vectores de momento $p n$ y $p k$ .

Reorganizando:

\left(M_{0}c^{2}\right)^{2}-\sum _{n}\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}=2\sum _{n<k}\left(E_{n}E_{k}-c^{2}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}\right)\,.

Dado que la masa invariante del sistema y las masas en reposo de cada partícula son independientes del marco, el lado derecho también es invariante (aunque las energías y los momentos se midan en un marco particular).

Ondas de materia

Utilizando las relaciones de De Broglie para la energía y el momento de las ondas de materia ,

E=\hbar \omega \,,\quad \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \,,

donde $ω$ es la frecuencia angular y $k$ es el vector de onda con magnitud $| k | = k$ , igual al número de onda , la relación energía-momento se puede expresar en términos de cantidades de onda:

\left(\hbar \omega \right)^{2}=\left(c\hbar k\right)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,,

y ordenando dividiendo por $(ħc) 2$ en todo momento:

Esto también se puede derivar de la magnitud del vector de cuatro ondas.

\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},\mathbf {k} \right)\,,

de manera similar al de cuatro momentos anterior.

Dado que la constante de Planck reducida $ħ$ y la velocidad de la luz $c$ aparecen y estorban esta ecuación, es aquí donde las unidades naturales resultan especialmente útiles. Al normalizarlas de modo que $ħ = c = 1$ , tenemos:

\omega ^{2}=k^{2}+m_{0}^{2}\,.

Taquiones y materia exótica

La velocidad de un bradión con la relación energía-momento relativista

E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\,.

nunca puede ser mayor que $c$ . Por el contrario, siempre es mayor que $c$ para un taquión cuya ecuación de energía-momento es ^[10]

E^{2}=p^{2}c^{2}-m_{0}^{2}c^{4}\,.

Por el contrario, la materia exótica hipotética tiene una masa negativa ^[11] y la ecuación de energía-momento es

E^{2}=-p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\,.

Véase también

Referencias

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