Función de onda

Descripción matemática del estado cuántico de un sistema.

Comparación de las concepciones de oscilador armónico clásico y cuántico para una sola partícula sin espín. Los dos procesos difieren mucho. El proceso clásico (A – B) se representa como el movimiento de una partícula a lo largo de una trayectoria. El proceso cuántico (C – H) no tiene tal trayectoria. Más bien, se representa como una ola; aquí, el eje vertical muestra la parte real (azul) y la parte imaginaria (rojo) de la función de onda. Los paneles (C-F) muestran cuatro soluciones diferentes de onda estacionaria de la ecuación de Schrödinger . Los paneles (G – H) muestran además dos funciones de onda diferentes que son soluciones de la ecuación de Schrödinger pero no ondas estacionarias.

La función de onda de una partícula libre inicialmente muy localizada.

En física cuántica , una función de onda (o función de onda ) es una descripción matemática del estado cuántico de un sistema cuántico aislado . Los símbolos más comunes para una función de onda son las letras griegas ψ y Ψ ( psi en minúscula y mayúscula , respectivamente). Las funciones de onda tienen valores complejos . Por ejemplo, una función de onda podría asignar un número complejo a cada punto de una región del espacio. La regla de Born ^{[1] [2] [3]} proporciona los medios para convertir estas complejas amplitudes de probabilidad en probabilidades reales. En una forma común, dice que el módulo al cuadrado de una función de onda que depende de la posición es la densidad de probabilidad de medir que una partícula se encuentre en un lugar determinado. La integral del módulo cuadrado de una función de onda sobre todos los grados de libertad del sistema debe ser igual a 1, condición llamada normalización . Dado que la función de onda tiene valores complejos, sólo se pueden medir su fase relativa y su magnitud relativa; su valor, de forma aislada, no dice nada sobre las magnitudes o direcciones de los observables mensurables. Hay que aplicar operadores cuánticos , cuyos valores propios corresponden a conjuntos de posibles resultados de mediciones, a la función de onda ψ y calcular las distribuciones estadísticas para cantidades mensurables.

Las funciones de onda pueden ser funciones de variables distintas de la posición, como el momento . La información representada por una función de onda que depende de la posición se puede convertir en una función de onda que depende del momento y viceversa, mediante una transformada de Fourier . Algunas partículas, como los electrones y los fotones , tienen espín distinto de cero , y la función de onda de tales partículas incluye el espín como un grado de libertad intrínseco y discreto; También se pueden incluir otras variables discretas, como isospin . Cuando un sistema tiene grados de libertad internos, la función de onda en cada punto de los grados de libertad continuos (por ejemplo, un punto en el espacio) asigna un número complejo para cada valor posible de los grados de libertad discretos (por ejemplo, componente z de girar). Estos valores a menudo se muestran en una matriz de columnas (p. ej., un vector de columna de 2 × 1 para un electrón no relativista con espín 1 ⁄ 2 ).

Según el principio de superposición de la mecánica cuántica, las funciones de onda se pueden sumar y multiplicar por números complejos para formar nuevas funciones de onda y formar un espacio de Hilbert . El producto interno entre dos funciones de onda es una medida de la superposición entre los estados físicos correspondientes y se utiliza en la interpretación probabilística fundamental de la mecánica cuántica, la regla de Born , que relaciona las probabilidades de transición con los productos internos. La ecuación de Schrödinger determina cómo evolucionan las funciones de onda con el tiempo, y una función de onda se comporta cualitativamente como otras ondas , como las ondas de agua o las ondas en una cuerda, porque la ecuación de Schrödinger es matemáticamente un tipo de ecuación de onda . Esto explica el nombre de "función de onda" y da lugar a la dualidad onda-partícula . Sin embargo, la función de onda en mecánica cuántica describe un tipo de fenómeno físico, aún abierto a diferentes interpretaciones hasta 2023 , que se diferencia fundamentalmente de las ondas mecánicas clásicas . ^{[4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]}

Antecedentes históricos

En 1900, Max Planck postuló la proporcionalidad entre la frecuencia de un fotón y su energía , [ ^{11] [12] y en 1916 la relación correspondiente entre} el momento de un fotón y la longitud de onda , ^[13] donde es la constante de Planck . En 1923, De Broglie fue el primero en sugerir que la relación , ahora llamada relación de De Broglie , es válida para partículas masivas , siendo la clave principal la invariancia de Lorentz , ^[14] y esto puede verse como el punto de partida para el desarrollo moderno de mecánica cuántica. Las ecuaciones representan la dualidad onda-partícula tanto para partículas masivas como sin masa. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E=hf}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$

En las décadas de 1920 y 1930, la mecánica cuántica se desarrolló utilizando cálculo y álgebra lineal . Entre quienes utilizaron las técnicas del cálculo se encuentran Louis de Broglie , Erwin Schrödinger y otros, desarrollando la " mecánica ondulatoria ". Entre quienes aplicaron los métodos del álgebra lineal se encuentran Werner Heisenberg , Max Born y otros, desarrollando la " mecánica matricial ". Schrödinger demostró posteriormente que ambos enfoques eran equivalentes. ^[15]

En 1926, Schrödinger publicó la famosa ecuación de onda que ahora lleva su nombre, la ecuación de Schrödinger . Esta ecuación se basó en la conservación clásica de la energía utilizando operadores cuánticos y las relaciones de De Broglie y las soluciones de la ecuación son las funciones de onda del sistema cuántico. ^[16] Sin embargo, nadie tenía claro cómo interpretarlo. ^[17] Al principio, Schrödinger y otros pensaron que las funciones de onda representan partículas que están dispersas y la mayor parte de las partículas se encuentran donde la función de onda es grande. ^[18] Se demostró que esto es incompatible con la dispersión elástica de un paquete de ondas (que representa una partícula) fuera de un objetivo; se extiende en todas direcciones. ^[1] Si bien una partícula dispersa puede dispersarse en cualquier dirección, no se rompe ni despega en todas direcciones. En 1926, Born proporcionó la perspectiva de la amplitud de probabilidad . ^{[1] [2] [19]} Esto relaciona los cálculos de la mecánica cuántica directamente con observaciones experimentales probabilísticas. Se acepta como parte de la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica. Hay muchas otras interpretaciones de la mecánica cuántica . En 1927, Hartree y Fock dieron el primer paso en un intento de resolver la función de onda de N cuerpos y desarrollaron el ciclo de autoconsistencia : un algoritmo iterativo para aproximar la solución. Ahora también se le conoce como método Hartree-Fock . ^[20] El determinante y permanente de Slater (de una matriz ) era parte del método, proporcionado por John C. Slater .

Schrödinger encontró una ecuación para la función de onda que satisfacía la conservación de energía relativista antes de publicar la no relativista, pero la descartó porque predecía probabilidades y energías negativas . En 1927, Klein , Gordon y Fock también la encontraron, pero incorporaron la interacción electromagnética y demostraron que era invariante de Lorentz . De Broglie también llegó a la misma ecuación en 1928. Esta ecuación de onda relativista ahora se conoce más comúnmente como ecuación de Klein-Gordon . ^[21]

En 1927, Pauli encontró fenomenológicamente una ecuación no relativista para describir partículas de espín 1/2 en campos electromagnéticos, ahora llamada ecuación de Pauli . ^[22] Pauli descubrió que la función de onda no estaba descrita por una única función compleja del espacio y el tiempo, sino que necesitaba dos números complejos, que corresponden respectivamente a los estados de espín +1/2 y −1/2 del fermión. Poco después, en 1928, Dirac encontró una ecuación de la primera unificación exitosa de la relatividad especial y la mecánica cuántica aplicada al electrón , ahora llamada ecuación de Dirac . En esto, la función de onda es un espinor representado por cuatro componentes de valores complejos: ^{[20] dos para el electrón y dos para la} antipartícula del electrón , el positrón . En el límite no relativista, la función de onda de Dirac se parece a la función de onda de Pauli para el electrón. Posteriormente se encontraron otras ecuaciones de ondas relativistas .

Funciones de onda y ecuaciones de onda en las teorías modernas.

Todas estas ecuaciones de ondas son de importancia duradera. La ecuación de Schrödinger y la ecuación de Pauli son, en muchas circunstancias, excelentes aproximaciones de las variantes relativistas. Son considerablemente más fáciles de resolver en problemas prácticos que sus homólogos relativistas.

La ecuación de Klein-Gordon y la ecuación de Dirac , aunque relativistas, no representan una conciliación total de la mecánica cuántica y la relatividad especial. La rama de la mecánica cuántica donde estas ecuaciones se estudian de la misma manera que la ecuación de Schrödinger, a menudo llamada mecánica cuántica relativista , aunque tiene mucho éxito, tiene sus limitaciones (ver, por ejemplo, desplazamiento de Lamb ) y problemas conceptuales (ver, por ejemplo, Mar de Dirac ).

La relatividad hace inevitable que el número de partículas en un sistema no sea constante. Para una conciliación total, se necesita la teoría cuántica de campos . ^[23] En esta teoría, las ecuaciones de onda y las funciones de onda tienen su lugar, pero de una forma algo diferente. Los principales objetos de interés no son las funciones de onda, sino más bien los operadores, los llamados operadores de campo (o simplemente campos donde se entiende "operador") en el espacio de estados de Hilbert (que se describirá en la siguiente sección). Resulta que las ecuaciones de onda relativistas originales y sus soluciones todavía son necesarias para construir el espacio de Hilbert. Además, los operadores de campos libres , es decir, cuando se supone que no existen interacciones, satisfacen (formalmente) la misma ecuación que los campos (funciones de onda) en muchos casos.

Así, la ecuación de Klein-Gordon (espín 0 ) y la ecuación de Dirac (espín 1 ⁄ 2 ) en esta forma permanecen en la teoría. Los análogos de espín superior incluyen la ecuación de Proca (espín 1 ), la ecuación de Rarita-Schwinger (espín 3 ⁄ 2 ) y, de manera más general, las ecuaciones de Bargmann-Wigner . Para campos libres sin masa, dos ejemplos son la ecuación de Maxwell en campo libre (espín 1 ) y la ecuación de Einstein en campo libre (espín 2 ) para los operadores de campo. ^[24] Todos ellos son esencialmente una consecuencia directa del requisito de invariancia de Lorentz . Sus soluciones deben transformarse bajo la transformación de Lorentz de una manera prescrita, es decir, bajo una representación particular del grupo de Lorentz y eso, junto con algunas otras demandas razonables, por ejemplo, la propiedad de descomposición de conglomerados , ^[25] con implicaciones para la causalidad es suficiente para arreglar las ecuaciones.

Esto se aplica a las ecuaciones de campo libre; las interacciones no están incluidas. Si se dispone de una densidad lagrangiana (incluidas las interacciones), entonces el formalismo lagrangiano producirá una ecuación de movimiento en el nivel clásico. Esta ecuación puede ser muy compleja y no susceptible de solución. Cualquier solución se referiría a un número fijo de partículas y no tendría en cuenta el término "interacción" tal como se menciona en estas teorías, que implica la creación y aniquilación de partículas y no potenciales externos como en la teoría cuántica ordinaria "primera cuantificada".

En la teoría de cuerdas , la situación sigue siendo análoga. Por ejemplo, una función de onda en el espacio de momento tiene el papel de coeficiente de expansión de Fourier en un estado general de una partícula (cuerda) con un momento que no está claramente definido. ^[26]

Definición (una partícula sin espín en una dimensión)

Las partes reales de la función de onda de posición Ψ( x ) y la función de onda de momento Φ( p ) , y las correspondientes densidades de probabilidad |Ψ( x )| ² y |Φ( p )| ² , para una partícula de spin-0 en una dimensión xop . La opacidad del color de las partículas corresponde a la densidad de probabilidad ( no a la función de onda) de encontrar la partícula en la posición x o el momento p .

Por ahora, consideremos el caso simple de una partícula única no relativista, sin espín , en una dimensión espacial. A continuación se analizan casos más generales.

Según los postulados de la mecánica cuántica , el estado de un sistema físico, en un tiempo fijo , viene dado por la función de onda perteneciente a un espacio de Hilbert complejo separable . ^{[27] [28]} Como tal, el producto interno de dos funciones de onda Ψ ₁ y Ψ ₂ se puede definir como el número complejo (en el momento t ) ^{[nb 1]} ${\displaystyle t}$

${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Psi _{1}^{*}(x,t)\Psi _{2}(x,t)\,dx<\infty }$.

Se dan más detalles a continuación. Sin embargo, el producto interno de una función de onda Ψ consigo misma,

${\displaystyle (\Psi ,\Psi )=\|\Psi \|^{2}}$,

es siempre un número real positivo. El número ‖ Ψ ‖ (no ‖ Ψ ‖ ² ) se llama norma de la función de onda Ψ . El espacio de Hilbert separable que se está considerando es de dimensión infinita , ^{[nb 2],} lo que significa que no existe un conjunto finito de funciones cuadradas integrables que puedan sumarse en varias combinaciones para crear todas las funciones cuadradas integrables posibles .

Funciones de onda del espacio de posición

El estado de dicha partícula se describe completamente por su función de onda,

$${\displaystyle \Psi (x,t)\,,}$$

xtfunción de valores complejosxt

Para una partícula sin espín en una dimensión, si la función de onda se interpreta como una amplitud de probabilidad ; el módulo cuadrado de la función de onda, el número real positivo

$${\displaystyle \left|\Psi (x,t)\right|^{2}=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=\rho (x),}$$

densidad de probabilidadtconjugado complejomidedistribución de probabilidad

Condición de normalización

La probabilidad de que su posición x esté en el intervalo a ≤ x ≤ b es la integral de la densidad en este intervalo:

$${\displaystyle P_{a\leq x\leq b}(t)=\int _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}dx}$$

tcondición de normalización

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}dx=1\,,}$$

algún lugar

Para un sistema dado, el conjunto de todas las funciones de onda normalizables posibles (en un momento dado) forma un espacio vectorial matemático abstracto , lo que significa que es posible sumar diferentes funciones de onda y multiplicar funciones de onda por números complejos. Técnicamente, las funciones de onda forman un rayo en un espacio proyectivo de Hilbert en lugar de un espacio vectorial ordinario.

Estados cuánticos como vectores

En un instante de tiempo particular, todos los valores de la función de onda Ψ( x , t ) son componentes de un vector. Hay incontables infinitos de ellos y se utiliza la integración en lugar de la suma. En notación Bra-ket , este vector se escribe

$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int \Psi (x,t)|x\rangle dx}$$

• Se pueden utilizar todas las poderosas herramientas del álgebra lineal para manipular y comprender funciones de onda. Por ejemplo:
  • El álgebra lineal explica cómo a un espacio vectorial se le puede dar una base , y luego cualquier vector en el espacio vectorial se puede expresar en esta base. Esto explica la relación entre una función de onda en el espacio de posición y una función de onda en el espacio de momento y sugiere que también existen otras posibilidades.
  • La notación Bra-ket se puede utilizar para manipular funciones de onda.
• La idea de que los estados cuánticos son vectores en un espacio vectorial abstracto es completamente general en todos los aspectos de la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos , mientras que la idea de que los estados cuánticos son funciones de "onda" del espacio de valores complejos sólo es cierta en ciertas situaciones.

El parámetro de tiempo a menudo se suprime y así será a continuación. La coordenada x es un índice continuo. El | x ⟩ se denominan vectores impropios que, a diferencia de los vectores propios que son normalizables a la unidad, solo pueden normalizarse a una función delta de Dirac. ^{[nota 3] [nota 4] [29]}

$${\displaystyle \langle x'|x\rangle =\delta (x'-x)}$$

$${\displaystyle \langle x'|\Psi \rangle =\int \Psi (x)\langle x'|x\rangle dx=\Psi (x')}$$

$${\displaystyle |\Psi \rangle =\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\left(\int |x\rangle \langle x|dx\right)|\Psi \rangle }$$

operador de identidad

$${\displaystyle I=\int |x\rangle \langle x|dx\,.}$$

Encontrar el operador de identidad en una base permite que el estado abstracto se exprese explícitamente en una base, y más (el producto interno entre dos vectores de estado y otros operadores para observables se pueden expresar en la base).

Funciones de onda espacio-momento

La partícula también tiene una función de onda en el espacio de momento :

$${\displaystyle \Phi (p,t)}$$

pimpulso−∞+∞t

De manera análoga al caso de la posición, el producto interno de dos funciones de onda Φ ₁ ( p , t ) y Φ ₂ ( p , t ) se puede definir como:

$${\displaystyle (\Phi _{1},\Phi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Phi _{1}^{*}(p,t)\Phi _{2}(p,t)dp\,.}$$

Una solución particular a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es

$${\displaystyle \Psi _{p}(x)=e^{ipx/\hbar },}$$

onda planap

$${\displaystyle \{\Psi _{p}(x,t),-\infty \leq p\leq \infty \}}$$

base de impulsonormalizadas a una función delta^{[nb 4]}

$${\displaystyle (\Psi _{p},\Psi _{p'})=\delta (p-p').}$$

Por otra parte, aunque son linealmente independientes, hay demasiados (forman un conjunto incontable) como base para el espacio físico de Hilbert. Todavía se pueden usar para expresar todas las funciones que contiene usando transformadas de Fourier como se describe a continuación.

Relaciones entre representaciones de posición y momento.

Las representaciones x y p son

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\int \Psi (x)|x\rangle dx,\\|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |p\rangle \langle p|\Psi \rangle dp=\int \Phi (p)|p\rangle dp.\end{aligned}}}$$

Ahora tome la proyección del estado Ψ sobre funciones propias de momento usando la última expresión de las dos ecuaciones,

$${\displaystyle \int \Psi (x)\langle p|x\rangle dx=\int \Phi (p')\langle p|p'\rangle dp'=\int \Phi (p')\delta (p-p')dp'=\Phi (p).}$$

Luego, utilizando la expresión conocida para estados propios de momento adecuadamente normalizados en las soluciones de representación de posición de la ecuación de Schrödinger libre

$${\displaystyle \langle x|p\rangle =p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{{\frac {i}{\hbar }}px}\Rightarrow \langle p|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}px},}$$

$${\displaystyle \Phi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Psi (x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}px}dx\,.}$$

Asimismo, utilizando funciones propias de posición,

$${\displaystyle \Psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Phi (p)e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp\,.}$$

Por lo tanto, se encuentra que las funciones de onda posición-espacio y momento-espacio son transformadas de Fourier entre sí. ^[30] Son dos representaciones del mismo estado; contiene la misma información, y cualquiera de ellos es suficiente para calcular cualquier propiedad de la partícula.

En la práctica, la función de onda espacio-posición se utiliza mucho más a menudo que la función de onda espacio-momento. El potencial que entra en la ecuación correspondiente (Schrödinger, Dirac, etc.) determina en qué base la descripción es más sencilla. Para el oscilador armónico , x y p entran simétricamente, por lo que no importa qué descripción se use. Resulta la misma ecuación (módulo constantes). De esto, con un poco de reflexión, se deduce que las soluciones a la ecuación de onda del oscilador armónico son funciones propias de la transformada de Fourier en L ² . ^{[nota 5]}

Definiciones (otros casos)

A continuación se muestran las formas generales de la función de onda para sistemas en dimensiones superiores y más partículas, además de incluir otros grados de libertad además de las coordenadas de posición o los componentes del momento.

Espacio de Hilbert de dimensión finita

Si bien los espacios de Hilbert originalmente se refieren a espacios de productos internos completos de dimensiones infinitas , por definición, también incluyen espacios de productos internos completos de dimensiones finitas. ^[31] En física, a menudo se les conoce como espacios de Hilbert de dimensión finita . ^[32] Para cada espacio de Hilbert de dimensión finita existen kets de base ortonormal que abarcan todo el espacio de Hilbert.

Si el conjunto N -dimensional es ortonormal, entonces el operador de proyección para el espacio abarcado por estos estados viene dado por: ${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$

$${\displaystyle P=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=I}$$

${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$

En cambio, la función de onda viene dada por:

$${\displaystyle |\psi \rangle =I|\psi \rangle =\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\psi \rangle }$$

${\textstyle \{\langle \phi _{i}|\psi \rangle \}}$

Interpretación de probabilidad del producto interno.

Si el conjunto son mercados propios de un observable no degenerado con valores propios , según los postulados de la mecánica cuántica , la probabilidad de medir el observable está dada de acuerdo con la regla de Born como: ^[33] ${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ ${\textstyle \lambda _{i}}$ ${\textstyle \lambda _{i}}$

$${\displaystyle P_{\psi }(\lambda _{i})=|\langle \phi _{i}|\psi \rangle |^{2}}$$

Para no degenerado de algún observable, si los valores propios tienen un subconjunto de vectores propios etiquetados como , según los postulados de la mecánica cuántica , la probabilidad de medir el observable está dada por: ${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \{|\lambda ^{(j)}\rangle \}}$ ${\textstyle \lambda _{i}}$

$${\displaystyle P_{\psi }(\lambda )=\sum _{j}|\langle \lambda ^{(j)}|\psi \rangle |^{2}=|{\widehat {P}}_{\lambda }|\psi \rangle |^{2}}$$

${\textstyle {\widehat {P}}_{\lambda }=\sum _{j}|\lambda ^{(j)}\rangle \langle \lambda ^{(j)}|}$ ${\textstyle \{|\lambda ^{(j)}\rangle \}}$ ${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$

Por tanto, los que especifican el estado del sistema mecánico cuántico tienen magnitudes cuyo cuadrado da la probabilidad de medir el estado respectivo. ${\textstyle \{\langle \phi _{i}|\psi \rangle \}}$ ${\textstyle |\phi _{i}\rangle }$

Importancia física de la fase relativa.

Si bien la fase relativa tiene efectos observables en los experimentos, la fase global del sistema es experimentalmente indistinguible. Por ejemplo, en una partícula en superposición de dos estados, la fase global de la partícula no se puede distinguir encontrando el valor esperado de lo observable o las probabilidades de observar diferentes estados, pero las fases relativas pueden afectar los valores esperados de lo observable.

Si bien la fase general del sistema se considera arbitraria, la fase relativa para cada estado de un estado preparado en superposición se puede determinar en función del significado físico del estado preparado y su simetría. Por ejemplo, la construcción de estados de giro a lo largo de la dirección x como una superposición de estados de giro a lo largo de la dirección z se puede realizar aplicando una transformación de rotación apropiada en el giro a lo largo de los estados z que proporciona la fase apropiada de los estados entre sí. ${\textstyle |\phi _{i}\rangle }$

Aplicación para incluir giro

Se puede construir un ejemplo de espacio de Hilbert de dimensión finita utilizando mercados propios de espín de partículas de espín que forman un espacio de Hilbert dimensional . Sin embargo, la función de onda general de una partícula que describe completamente su estado siempre proviene de un espacio de Hilbert de dimensión infinita , ya que involucra un producto tensorial con el espacio de Hilbert relacionado con la posición o el momento de la partícula. No obstante, las técnicas desarrolladas para el espacio de Hilbert de dimensión finita son útiles ya que pueden tratarse de forma independiente o teniendo en cuenta la linealidad del producto tensorial. ${\textstyle s}$ ${\textstyle 2s+1}$

Dado que el operador de espín para una partícula de espín determinada se puede representar como una matriz finita que actúa sobre componentes independientes del vector de espín, normalmente es preferible denotar los componentes de espín utilizando notación de matriz/columna/fila, según corresponda. ${\textstyle s}$ ${\textstyle (2s+1)^{2}}$ ${\textstyle 2s+1}$

Por ejemplo, cada | s _z ⟩ generalmente se identifica como un vector de columna:

$${\displaystyle |s\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}\,,\quad |s-1\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}\,,\ldots \,,\quad |-(s-1)\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}\,,\quad |-s\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}}$$

pero es un abuso común de notación, porque los kets | s _z ⟩ no son sinónimos ni iguales a los vectores columna. Los vectores columna simplemente proporcionan una forma conveniente de expresar los componentes del espín.

En correspondencia con la notación, el operador de giro del componente z se puede escribir como:

$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}{\hat {S}}_{z}={\begin{bmatrix}s&0&\cdots &0&0\\0&s-1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &-(s-1)&0\\0&0&\cdots &0&-s\end{bmatrix}}}$$

dado que los vectores propios del operador de espín del componente z son los vectores de columna anteriores, siendo los valores propios los números cuánticos de espín correspondientes.

En correspondencia con la notación, un vector de un espacio de Hilbert de dimensión finita se representa como:

$${\displaystyle |\phi \rangle ={\begin{bmatrix}\langle s|\phi \rangle \\\langle s-1|\phi \rangle \\\vdots \\\langle -(s-1)|\phi \rangle \\\langle -s|\phi \rangle \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{s}\\\varepsilon _{s-1}\\\vdots \\\varepsilon _{-s+1}\\\varepsilon _{-s}\\\end{bmatrix}}}$$

${\textstyle \{\varepsilon _{i}\}}$

En la siguiente discusión sobre el espín, la función de onda completa se considera como producto tensorial de los estados de espín de espacios de Hilbert de dimensión finita y la función de onda que se desarrolló previamente. Por tanto, se consideran las bases de este espacio de Hilbert: . ${\displaystyle |\mathbf {r} ,s_{z}\rangle =|\mathbf {r} \rangle |s_{z}\rangle }$

Estados de una partícula en el espacio de posiciones 3d

La función de onda espacial-posición de una sola partícula sin espín en tres dimensiones espaciales es similar al caso de una dimensión espacial anterior:

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$$

rvector de posicióntΨ( r ,  t )notación de Dirac

$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,t)\,|\mathbf {r} \rangle }$$

Todas las observaciones anteriores sobre productos internos, funciones de onda espacial de momento, transformadas de Fourier, etc., se extienden a dimensiones superiores.

Para una partícula con espín , ignorando los grados de libertad de la posición, la función de onda es función únicamente del espín (el tiempo es un parámetro);

$${\displaystyle \xi (s_{z},t)}$$

s _znúmero cuántico de proyección de espínzzs _z , a diferencia de rtvariable discretade espín-1/2 , s _z+1/2−1/2ss _zs , s − 1, ..., − s + 1, − s2 s + 1vector de columna.

$${\displaystyle \xi ={\begin{bmatrix}\xi (s,t)\\\xi (s-1,t)\\\vdots \\\xi (-(s-1),t)\\\xi (-s,t)\\\end{bmatrix}}=\xi (s,t){\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (s-1,t){\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\cdots +\xi (-(s-1),t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (-s,t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}}$$

En notación entre corchetes , estos se organizan fácilmente en los componentes de un vector:

$${\displaystyle |\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}=-s}^{s}\xi (s_{z},t)\,|s_{z}\rangle }$$

El vector completo ξ es una solución de la ecuación de Schrödinger (con un hamiltoniano adecuado), que se despliega en un sistema acoplado de 2 s + 1 ecuaciones diferenciales ordinarias con soluciones ξ ( s , t ), ξ ( s − 1, t ), ..., ξ (- s , t ) . Algunos autores utilizan el término "función de giro" en lugar de "función de onda". Esto contrasta las soluciones de las funciones de onda del espacio de posición, siendo las coordenadas de posición grados de libertad continuos, porque entonces la ecuación de Schrödinger toma la forma de una ecuación de onda.

De manera más general, para una partícula en 3d con cualquier espín, la función de onda se puede escribir en "espacio de posición-espín" como:

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)}$$

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\Psi (\mathbf {r} ,s,t)\\\Psi (\mathbf {r} ,s-1,t)\\\vdots \\\Psi (\mathbf {r} ,-(s-1),t)\\\Psi (\mathbf {r} ,-s,t)\\\end{bmatrix}}}$$

Todos los valores de la función de onda, no solo para variables discretas sino también continuas, se reúnen en un solo vector.

$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)\,|\mathbf {r} ,s_{z}\rangle }$$

Para una sola partícula, el producto tensorial ⊗ de su vector de estado de posición | ψ ⟩ y vector de estado de espín | ξ ⟩ da el vector de estado compuesto de posición-giro

$${\displaystyle |\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)\,|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$$

$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =|\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle }$$

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)=\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)}$$

$${\displaystyle |\mathbf {r} ,s_{z}\rangle =|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$$

La factorización del producto tensorial de los estados propios de energía siempre es posible si los momentos angulares orbital y de espín de la partícula son separables en el operador hamiltoniano subyacente a la dinámica del sistema (en otras palabras, el hamiltoniano se puede dividir en la suma de los términos orbitales y de espín ^{[34] ]} ). La dependencia del tiempo se puede ubicar en cualquiera de los factores y la evolución temporal de cada uno se puede estudiar por separado. Bajo tales hamiltonianos, cualquier estado de producto tensorial evoluciona a otro estado de producto tensorial, lo que esencialmente significa que cualquier estado no entrelazado permanece desenredado bajo la evolución temporal. Se dice que esto sucede cuando no existe interacción física entre los estados de los productos tensoriales. En el caso de los hamiltonianos no separables, se dice que los estados propios de energía son una combinación lineal de dichos estados, que no necesitan ser factorizables; los ejemplos incluyen una partícula en un campo magnético y el acoplamiento espín-órbita .

La discusión anterior no se limita al espín como variable discreta; también se puede utilizar el momento angular total J. ^[35] Otros grados discretos de libertad, como el isospín , se pueden expresar de manera similar al caso del espín anterior.

Estados de muchas partículas en el espacio de posiciones 3d

Ondas viajeras de dos partículas libres, con dos de tres dimensiones suprimidas. Arriba está la función de onda espacio-posición, abajo es la función de onda espacio-momento, con sus correspondientes densidades de probabilidad.

Si hay muchas partículas, en general sólo hay una función de onda, no una función de onda separada para cada partícula. El hecho de que una función de onda describa muchas partículas es lo que hace posible el entrelazamiento cuántico y la paradoja EPR . La función de onda espacio-posición para N partículas se escribe: ^[20]

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)}$$

r _iit3 N + 1

En mecánica cuántica existe una distinción fundamental entre partículas idénticas y partículas distinguibles . Por ejemplo, dos electrones cualesquiera son idénticos y fundamentalmente indistinguibles entre sí; las leyes de la física hacen imposible "estampar un número de identificación" en un determinado electrón para seguirle la pista. ^[30] Esto se traduce en un requisito sobre la función de onda para un sistema de partículas idénticas:

$${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots \right)}$$

+todas las partículas son bosones-fermiones^[36]principio de Paulila estadística de partículas

Para N partículas distinguibles (no hay dos idénticas , es decir, no hay dos que tengan el mismo conjunto de números cuánticos), no es necesario que la función de onda sea simétrica o antisimétrica.

Para un conjunto de partículas, algunas idénticas con coordenadas r ₁ , r ₂ , ... y otras distinguibles x ₁ , x ₂ , ... (no idénticas entre sí y no idénticas a las partículas idénticas antes mencionadas), la onda La función es simétrica o antisimétrica en las coordenadas de partículas idénticas r _i únicamente:

$${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)}$$

Nuevamente, no existe ningún requisito de simetría para las coordenadas de partículas distinguibles x _i .

La función de onda para N partículas, cada una con espín, es la función de valores complejos

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1},s_{z\,2}\cdots s_{z\,N},t)}$$

Acumulando todos estos componentes en un solo vector,

$${\displaystyle |\Psi \rangle =\overbrace {\sum _{s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}}} ^{\text{discrete labels}}\overbrace {\int _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\cdots \int _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}} ^{\text{continuous labels}}\;\underbrace {{\Psi }(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N})} _{\begin{array}{c}{\text{wave function (component of }}\\{\text{ state vector along basis state)}}\end{array}}\;\underbrace {|\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}\rangle } _{\text{basis state (basis ket)}}\,.}$$

Para partículas idénticas, los requisitos de simetría se aplican tanto a los argumentos de posición como de espín de la función de onda para que tenga la simetría general correcta.

Las fórmulas para los productos internos son integrales de todas las coordenadas o momentos y sumas de todos los números cuánticos de espín. Para el caso general de N partículas con espín en 3-d,

$${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\sum _{s_{z\,N}}\cdots \sum _{s_{z\,2}}\sum _{s_{z\,1}}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{1}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{N}\Psi _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\Psi _{2}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)}$$

N integrales de volumenNd ³ r _idV _idx _i dy _i dz _i

Las transformadas multidimensionales de Fourier de las funciones de onda espacial de posición o posición-espín producen funciones de onda espacial de impulso o de impulso-espín.

Interpretación de probabilidad

Para el caso general de N partículas con espín en 3d, si Ψ se interpreta como una amplitud de probabilidad, la densidad de probabilidad es

$${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)=\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\right|^{2}}$$

y la probabilidad de que la partícula 1 esté en la región R ₁ con espín s _{z 1} = m ₁ y la partícula 2 esté en la región R ₂ con espín s _{z 2} = m ₂ , etc. en el tiempo t es la integral de la densidad de probabilidad sobre estas regiones y evaluado en estos números de giro:

${\displaystyle P_{\mathbf {r} _{1}\in R_{1},s_{z\,1}=m_{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}\in R_{N},s_{z\,N}=m_{N}}(t)=\int _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}\int _{R_{2}}d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},m_{1}\cdots m_{N},t\right)\right|^{2}}$

Importancia física de la fase.

En mecánica cuántica no relativista, se puede demostrar utilizando la ecuación de onda dependiente del tiempo de Schrodinger que la ecuación:

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}$$

flujo de probabilidad ${\textstyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}}$ ${\textstyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\hbar }{2im}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}{\text{Im}}(\psi ^{*}\nabla \psi )}$

Usando la siguiente expresión para la función de onda:

$${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)={\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}\exp {\frac {iS(\mathbf {x} ,t)}{\hbar }}}$$

${\textstyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}}$ ${\textstyle S(\mathbf {x} ,t)}$

$${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\rho \nabla S}{m}}}$$

Por tanto, la variación espacial de fase caracteriza el flujo de probabilidad .

En analogía clásica, para , la cantidad es análoga a la velocidad. Tenga en cuenta que esto no implica una interpretación literal de velocidad ya que la velocidad y la posición no se pueden determinar simultáneamente según el principio de incertidumbre . Sustituyendo la forma de la función de onda en la ecuación de onda dependiente del tiempo de Schrodinger y tomando el límite clásico ,: ${\textstyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} }$ ${\textstyle {\frac {\nabla S}{m}}}$ ${\textstyle {\frac {\nabla S}{m}}}$ ${\textstyle \hbar |\nabla ^{2}S|\ll |\nabla S|^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}|\nabla S(\mathbf {x} ,t)|^{2}+V(\mathbf {x} )+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$$

Lo cual es análogo a la ecuación de Hamilton-Jacobi de la mecánica clásica. Esta interpretación encaja con la teoría de Hamilton-Jacobi , en la que , donde S es la función principal de Hamilton . ^[37] ${\textstyle \mathbf {P} _{\text{class.}}=\nabla S}$

Dependencia del tiempo

Para sistemas en potenciales independientes del tiempo, la función de onda siempre se puede escribir como una función de los grados de libertad multiplicados por un factor de fase dependiente del tiempo, cuya forma viene dada por la ecuación de Schrödinger. Para N partículas, considerando únicamente sus posiciones y suprimiendo otros grados de libertad,

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=e^{-iEt/\hbar }\,\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\,,}$$

EΨestados estacionarios

La dependencia temporal del estado cuántico y de los operadores se puede situar según transformaciones unitarias de los operadores y estados. Para cualquier estado cuántico |Ψ⟩ y operador O , en la imagen de Schrödinger |Ψ( t )⟩ cambia con el tiempo de acuerdo con la ecuación de Schrödinger mientras O es constante. En la imagen de Heisenberg es al revés, |Ψ⟩ es constante mientras que O ( t ) evoluciona con el tiempo según la ecuación de movimiento de Heisenberg. La imagen de Dirac (o interacción) es intermedia, la dependencia del tiempo se da tanto en los operadores como en los estados que evolucionan de acuerdo con las ecuaciones de movimiento. Es útil principalmente para calcular elementos de matriz S. ^[38]

Ejemplos no relativistas

Las siguientes son soluciones a la ecuación de Schrödinger para una partícula sin espín no relativista.

Barrera de potencial finita

Dispersión en una barrera de potencial finita de altura V ₀ . Se indican las amplitudes y la dirección de las ondas que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha. En rojo, aquellas ondas utilizadas para la derivación de la amplitud de reflexión y transmisión. E > V ₀ para esta ilustración.

Una de las características más destacadas de la mecánica ondulatoria es la posibilidad de que una partícula alcance un lugar con un potencial de fuerza prohibitivo (en la mecánica clásica) . Un modelo común es la " barrera potencial ", el caso unidimensional tiene el potencial

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&|x|\geq a\end{cases}}}$$

k , κ

$${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }e^{ikx}+A_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x<-a,\\B_{\mathrm {r} }e^{\kappa x}+B_{\mathrm {l} }e^{-\kappa x}&|x|\leq a,\\C_{\mathrm {r} }e^{ikx}+C_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x>a.\end{cases}}}$$

Tenga en cuenta que estas funciones de onda no están normalizadas; consulte la teoría de la dispersión para una discusión.

La interpretación estándar de esto es como una corriente de partículas que se disparan en el paso desde la izquierda (la dirección de x negativa ): establecer Ar = 1 _corresponde a disparar partículas individualmente; los términos que contienen A _r y C _r significan movimiento hacia la derecha, mientras que _Al y C l _– hacia la izquierda. Según esta interpretación del haz, ponga C _l = 0 ya que no vienen partículas por la derecha. Al aplicar la continuidad de las funciones de onda y sus derivadas en los límites, es posible determinar las constantes anteriores.

Funciones de ondas de electrones confinadas en 3D en un punto cuántico. Aquí se muestran puntos cuánticos de forma rectangular y triangular. Los estados de energía en puntos rectangulares son más de tipo s y de tipo p . Sin embargo, en un punto triangular las funciones de onda se mezclan debido a la simetría de confinamiento. (Haga clic para ver la animación)

En un cristalito semiconductor cuyo radio es menor que el tamaño de su excitón ( radio de Bohr) , los excitones se comprimen, lo que lleva al confinamiento cuántico . Luego, los niveles de energía se pueden modelar utilizando el modelo de partícula en una caja en el que la energía de los diferentes estados depende de la longitud de la caja.

Oscilador armónico cuántico

Las funciones de onda del oscilador armónico cuántico se pueden expresar en términos de polinomios de Hermite H _n , son

$${\displaystyle \Psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}{\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)}}$$

n = 0, 1, 2, ...

La densidad de probabilidad de electrones para los primeros orbitales electrónicos del átomo de hidrógeno se muestra como secciones transversales. Estos orbitales forman una base ortonormal para la función de onda del electrón. Los diferentes orbitales se representan con diferentes escalas.

Átomo de hidrógeno

Las funciones de onda de un electrón en un átomo de hidrógeno se expresan en términos de armónicos esféricos y polinomios de Laguerre generalizados (estos se definen de manera diferente por diferentes autores; consulte el artículo principal sobre ellos y el átomo de hidrógeno).

Es conveniente utilizar coordenadas esféricas y la función de onda se puede separar en funciones de cada coordenada, ^[39]

$${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R(r)\,\,Y_{\ell }^{m}\!(\theta ,\phi )}$$

RY^metroℓ
_​( θ , φ )armónicos esféricosℓm^[40]

$${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}$$

a ₀ = 4 πε ₀ ħ ² / m _e e ²radio de BohrL^{2 ℓ + 1}
_{norte - ℓ - 1}polinomios de Laguerre generalizadosn − ℓ − 1n = 1, 2, ...número cuántico principalℓ = 0, 1, ..., n − 1número cuántico azimutalm = − ℓ , − ℓ + 1, ..., ℓ − 1, ℓnúmero cuántico magnéticoLos átomos similares al hidrógeno

Esta solución no tiene en cuenta el espín del electrón.

En la figura de los orbitales del hidrógeno, las 19 subimágenes son imágenes de funciones de onda en el espacio de posiciones (su norma al cuadrado). Las funciones de onda representan el estado abstracto caracterizado por la tripleta de números cuánticos ( n , ℓ , m ) , en la parte inferior derecha de cada imagen. Estos son el número cuántico principal, el número cuántico de momento angular orbital y el número cuántico magnético. Junto con un número cuántico de proyección de espín del electrón, este es un conjunto completo de observables.

La figura puede servir para ilustrar algunas propiedades adicionales de los espacios funcionales de las funciones de onda.

• En este caso, las funciones de onda son integrables al cuadrado. Inicialmente se puede tomar el espacio funcional como el espacio de funciones cuadradas integrables, normalmente denotado como L 2 .
• Las funciones mostradas son soluciones de la ecuación de Schrödinger. Obviamente, no todas las funciones en L ² satisfacen la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno. El espacio funcional es, por tanto, un subespacio de L ² .
• Las funciones mostradas forman parte de una base para el espacio funcional. A cada tripleta ( n , ℓ , m ) le corresponde una función de onda base. Si se tiene en cuenta el spin, existen dos funciones básicas para cada triple. Por tanto, el espacio funcional tiene una base contable .
• Las funciones de base son mutuamente ortonormales .

Funciones de onda y espacios funcionales.

El concepto de espacios funcionales entra naturalmente en la discusión sobre funciones de onda. Un espacio funcional es un conjunto de funciones, generalmente con algunos requisitos definitorios sobre las funciones (en el presente caso, que son integrables al cuadrado ), a veces con una estructura algebraica en el conjunto (en el presente caso, una estructura de espacio vectorial con un producto interno ), junto con una topología del conjunto. Este último se utilizará escasamente aquí, sólo es necesario para obtener una definición precisa de lo que significa que un subconjunto de un espacio funcional sea cerrado . A continuación se concluirá que el espacio funcional de funciones de onda es un espacio de Hilbert . Esta observación es la base de la formulación matemática predominante de la mecánica cuántica.

Estructura del espacio vectorial

Una función de onda es un elemento de un espacio funcional caracterizado parcialmente por las siguientes descripciones concretas y abstractas.

• La ecuación de Schrödinger es lineal. Esto significa que sus soluciones, funciones de onda, se pueden sumar y multiplicar por escalares para formar una nueva solución. El conjunto de soluciones de la ecuación de Schrödinger es un espacio vectorial.
• El principio de superposición de la mecánica cuántica. Si Ψ y Φ son dos estados en el espacio abstracto de estados de un sistema mecánico cuántico, y a y b son dos números complejos cualesquiera, entonces a Ψ + b Φ también es un estado válido. (Si el vector nulo cuenta como un estado válido ("no hay sistema presente") es una cuestión de definición. El vector nulo no describe en ningún caso el estado de vacío en la teoría cuántica de campos). El conjunto de estados permitidos es un espacio vectorial .

Por supuesto, esta similitud no es accidental. También hay que tener en cuenta las distinciones entre los espacios.

Representaciones

Los estados básicos se caracterizan por un conjunto de números cuánticos. Este es un conjunto de valores propios de un conjunto máximo de observables conmutantes . Los observables físicos están representados por operadores lineales, también llamados observables, en el espacio vectorial. Maximalidad significa que no se pueden agregar al conjunto más observables algebraicamente independientes que conmuten con los que ya están presentes. La elección de tal conjunto puede denominarse elección de representación .

• Es un postulado de la mecánica cuántica que una cantidad físicamente observable de un sistema, como la posición, el momento o el espín, está representada por un operador hermitiano lineal en el espacio de estados. Los posibles resultados de la medición de la cantidad son los valores propios del operador. ^[18] En un nivel más profundo, la mayoría de los observables, quizás todos, surgen como generadores de simetrías . ^{[18] [41] [nota 6]}
• La interpretación física es que tal conjunto representa lo que, en teoría, puede medirse simultáneamente con precisión arbitraria. La relación de incertidumbre de Heisenberg prohíbe mediciones exactas simultáneas de dos observables que no conmutan.
• El conjunto no es único. Para un sistema de una partícula, por ejemplo, puede ser una proyección de posición y espín z , ( x , S _z ) , o puede ser una proyección de impulso y espín y , ( p , S _y ) . En este caso, el operador correspondiente a la posición (un operador de multiplicación en la representación de la posición) y el operador correspondiente al impulso (un operador diferencial en la representación de la posición) no conmutan.
• Una vez que se elige una representación, todavía hay arbitrariedad. Queda por elegir un sistema de coordenadas. Esto puede corresponder, por ejemplo, a una elección de los ejes x , y y z , o a una elección de coordenadas curvilíneas, como lo ejemplifican las coordenadas esféricas utilizadas para las funciones de onda atómica del hidrógeno. Esta elección final también fija una base en el espacio abstracto de Hilbert. Los estados básicos están etiquetados por los números cuánticos correspondientes al conjunto máximo de observables conmutantes y un sistema de coordenadas apropiado. ^{[nota 7]}

Los estados abstractos son "abstractos" sólo en el sentido de que no se da una elección arbitraria necesaria para una descripción explícita particular del mismo. Esto es lo mismo que decir que no se ha dado ninguna opción sobre el conjunto máximo de observables conmutantes. Esto es análogo a un espacio vectorial sin una base especificada. Por consiguiente, las funciones de onda correspondientes a un estado no son únicas. Esta no unicidad refleja la no unicidad en la elección de un conjunto máximo de observables conmutantes. Para una partícula de espín en una dimensión, a un estado particular corresponden dos funciones de onda, Ψ( x , S _z ) y Ψ( p , S _y ) , ambas describiendo el mismo estado.

• Para cada elección de conjuntos de observables de conmutación máxima para el espacio de estados abstracto, hay una representación correspondiente que está asociada a un espacio funcional de funciones de onda.
• Entre todos estos diferentes espacios funcionales y el espacio de estados abstractos, existen correspondencias uno a uno (aquí sin tener en cuenta la normalización y los factores de fase no observables), siendo el denominador común aquí un estado abstracto particular. La relación entre las funciones de onda espacial de impulso y posición, por ejemplo, que describen el mismo estado es la transformada de Fourier .

Se debe pensar que cada elección de representación especifica un espacio funcional único en el que viven las funciones de onda correspondientes a esa elección de representación. Es mejor mantener esta distinción, incluso si se pudiera argumentar que dos de esos espacios funcionales son matemáticamente iguales, por ejemplo, siendo el conjunto de funciones cuadradas integrables. Entonces podemos pensar en los espacios funcionales como dos copias distintas de ese conjunto.

Producto Interno

Existe una estructura algebraica adicional en los espacios vectoriales de funciones de onda y el espacio de estados abstracto.

• Físicamente, se interpreta que diferentes funciones de onda se superponen hasta cierto punto. No se puede encontrar que un sistema en un estado Ψ que no se superponga con un estado Φ esté en el estado Φ tras la medición. Pero si Φ ₁ , Φ ₂ ,… se superponen a Ψ en algún grado, existe la posibilidad de que la medición de un sistema descrito por Ψ se encuentre en los estados Φ ₁ , Φ ₂ ,… . También se aplican las reglas de selección . Estos suelen formularse en la preservación de algunos números cuánticos. Esto significa que ciertos procesos permisibles desde algunas perspectivas (por ejemplo, conservación de energía y momento) no ocurren porque las funciones de onda totales inicial y final no se superponen.
• Matemáticamente, resulta que las soluciones de la ecuación de Schrödinger para potenciales particulares son ortogonales de alguna manera, esto generalmente se describe mediante una integral
  $${\displaystyle \int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}w\,dV=\delta _{nm},}$$
  donde m , n son (conjuntos de) índices (números cuánticos) que etiquetan diferentes soluciones, la función estrictamente positiva w se llama función de peso y δ _mn es el delta de Kronecker . La integración se realiza en todo el espacio relevante.

Esto motiva la introducción de un producto interno en el espacio vectorial de estados cuánticos abstractos, compatible con las observaciones matemáticas anteriores al pasar a una representación. Se denota (Ψ, Φ) , o en la notación Bra-ket ⟨Ψ|Φ⟩ . Da como resultado un número complejo. Con el producto interno, el espacio funcional es un espacio de producto interno . La apariencia explícita del producto interno (normalmente una integral o una suma de integrales) depende de la elección de la representación, pero el número complejo (Ψ, Φ) no. Gran parte de la interpretación física de la mecánica cuántica surge de la regla de Born . Afirma que la probabilidad p de encontrar al medir el estado Φ dado que el sistema está en el estado Ψ es

$${\displaystyle p=|(\Phi ,\Psi )|^{2},}$$

ΦΨexperimento de dispersiónΦ _fueraΨ _en(Φ _out , Ψ _in )Φ _outΨ _inmatriz Smatriz de dispersiónresueltotasas de desintegraciónsecciones transversales de dispersión . ^[42]

Espacio de Hilbert

Las observaciones anteriores resumen la esencia de los espacios funcionales de los cuales las funciones de onda son elementos. Sin embargo, la descripción aún no está completa. Existe un requisito técnico adicional en el espacio funcional, el de la integridad , que permite tomar límites de secuencias en el espacio funcional y asegurarse de que, si el límite existe, sea un elemento del espacio funcional. Un espacio producto interno completo se llama espacio de Hilbert . La propiedad de completitud es crucial en tratamientos y aplicaciones avanzados de la mecánica cuántica. Por ejemplo, la existencia de operadores de proyección o proyecciones ortogonales depende de la integridad del espacio. ^[43] Estos operadores de proyección, a su vez, son esenciales para el enunciado y prueba de muchos teoremas útiles, por ejemplo, el teorema espectral . No es muy importante en la introducción a la mecánica cuántica, y los detalles técnicos y los enlaces se pueden encontrar en notas a pie de página como la que sigue. ^{[nb 8]} El espacio L ² es un espacio de Hilbert, cuyo producto interno se presenta más adelante. El espacio funcional del ejemplo de la figura es un subespacio de L ² . Un subespacio de un espacio de Hilbert es un espacio de Hilbert si es cerrado.

En resumen, el conjunto de todas las funciones de onda normalizables posibles para un sistema con una elección particular de base, junto con el vector nulo, constituyen un espacio de Hilbert.

No todas las funciones de interés son elementos de algún espacio de Hilbert, digamos L ² . El ejemplo más evidente es el conjunto de funciones e ^{2 πi p · x ⁄ h} . Éstas son soluciones de onda plana de la ecuación de Schrödinger para una partícula libre, pero no son normalizables y, por tanto, no están en L ² . Pero no por ello dejan de ser fundamentales para la descripción. Utilizándolos, se pueden expresar funciones que son normalizables mediante paquetes de ondas . Son, en cierto sentido, una base (pero no una base espacial de Hilbert ni una base de Hamel ) en la que se pueden expresar funciones de onda de interés. También existe el artefacto "normalización a una función delta" que se emplea con frecuencia por conveniencia de notación, ver más abajo. Las funciones delta en sí mismas tampoco son integrables al cuadrado.

La descripción anterior del espacio funcional que contiene las funciones de onda tiene una motivación principalmente matemática. Los espacios funcionales son, debido a su integridad, en cierto sentido muy grandes . No todas las funciones son descripciones realistas de ningún sistema físico. Por ejemplo, en el espacio funcional L ² se puede encontrar la función que toma el valor 0 para todos los números racionales y -i para los irracionales en el intervalo [0, 1] . Esto es integrable al cuadrado, ^{[nb 9]} pero difícilmente puede representar un estado físico.

Espacios comunes de Hilbert

Si bien el espacio de soluciones en su conjunto es un espacio de Hilbert, existen muchos otros espacios de Hilbert que comúnmente aparecen como ingredientes.

• Funciones cuadradas integrables de valores complejos en el intervalo [0, 2 π ] . El conjunto { e ^int /2 π , n ∈ Z } es una base espacial de Hilbert, es decir, un conjunto ortonormal máximo.
• La transformada de Fourier lleva funciones en el espacio anterior a elementos de l ² ( Z ) , el espacio de funciones cuadradas sumables Z → C. Este último espacio es un espacio de Hilbert y la transformada de Fourier es un isomorfismo de los espacios de Hilbert. ^{[nb 10]} Su base es { e _i , i ∈ Z } con e _i ( j ) = δ _ij , i , j ∈ Z .
• El ejemplo más básico de polinomios generadores se encuentra en el espacio de funciones cuadradas integrables en el intervalo [–1, 1] para el cual los polinomios de Legendre son una base espacial de Hilbert (conjunto ortonormal completo).
• Las funciones cuadradas integrables en la esfera unitaria S ² son un espacio de Hilbert. Las funciones base en este caso son los armónicos esféricos . Los polinomios de Legendre son ingredientes de los armónicos esféricos. La mayoría de los problemas con simetría rotacional tendrán "la misma" solución (conocida) con respecto a esa simetría, por lo que el problema original se reduce a un problema de menor dimensionalidad.
• Los polinomios de Laguerre asociados aparecen en el problema de la función de onda hidrogenética después de factorizar los armónicos esféricos. Estos abarcan el espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables en el intervalo semiinfinito [0, ∞) .

De manera más general, se puede considerar un tratamiento unificado de todas las soluciones polinómicas de segundo orden de las ecuaciones de Sturm-Liouville en el contexto del espacio de Hilbert. Estos incluyen los polinomios de Legendre y Laguerre, así como los polinomios de Chebyshev , los polinomios de Jacobi y los polinomios de Hermite . Todos estos aparecen en realidad en problemas físicos, estos últimos en el oscilador armónico , y lo que de otro modo sería un desconcertante laberinto de propiedades de funciones especiales se convierte en un cuerpo organizado de hechos. Para esto, véase Byron y Fuller (1992, capítulo 5).

También existen espacios de Hilbert de dimensión finita. El espacio C ⁿ es un espacio de Hilbert de dimensión n . El producto interior es el producto interior estándar en estos espacios. En él reside la "parte de giro" de una función de onda de una sola partícula.

• En la descripción no relativista de un electrón se tiene n = 2 y la función de onda total es una solución de la ecuación de Pauli .
• En el tratamiento relativista correspondiente, n = 4 y la función de onda resuelve la ecuación de Dirac .

Con más partículas, la situación es más complicada. Hay que emplear productos tensoriales y utilizar la teoría de representación de los grupos de simetría involucrados (el grupo de rotación y el grupo de Lorentz respectivamente) para extraer del producto tensorial los espacios en los que residen las funciones de onda de espín (totales). (Surgen más problemas en el caso relativista a menos que las partículas estén libres. ^[44] Véase la ecuación de Bethe-Salpeter .) Las observaciones correspondientes se aplican al concepto de isospín , para el cual el grupo de simetría es SU(2) . Los modelos de fuerzas nucleares de los años sesenta (aún útiles hoy en día, véase fuerza nuclear ) utilizaban el grupo de simetría SU(3) . También en este caso la parte de las funciones de onda correspondientes a las simetrías internas reside en algunos C ⁿ o subespacios de productos tensoriales de dichos espacios.

• En la teoría cuántica de campos, el espacio de Hilbert subyacente es el espacio de Fock . Se construye a partir de estados libres de una sola partícula, es decir, funciones de onda cuando se elige una representación, y puede acomodar cualquier número finito, no necesariamente constante en el tiempo, de partículas. La dinámica interesante (o más bien manejable ) no reside en las funciones de onda sino en los operadores de campo que son operadores que actúan en el espacio de Fock. Por tanto, la imagen de Heisenberg es la opción más común (estados constantes, operadores que varían en el tiempo).

Debido a la naturaleza de dimensión infinita del sistema, las herramientas matemáticas apropiadas son objetos de estudio en el análisis funcional .

Descripción simplificada

Continuidad de la función de onda y su primera derivada espacial (en la dirección x , no se muestran las coordenadas y y z ), en algún momento t .

No todos los libros de texto introductorios toman el camino largo e introducen toda la maquinaria espacial de Hilbert, pero la atención se centra en la ecuación no relativista de Schrödinger en la representación de posición para ciertos potenciales estándar. Las siguientes restricciones sobre la función de onda a veces se formulan explícitamente para que los cálculos y la interpretación física tengan sentido: ^{[45] [46]}

• La función de onda debe ser integrable al cuadrado . Esto está motivado por la interpretación de Copenhague de la función de onda como amplitud de probabilidad.
• Debe ser continuo en todas partes y continuamente diferenciable en todas partes . Esto está motivado por la aparición de la ecuación de Schrödinger para la mayoría de los potenciales físicamente razonables.

Es posible relajar un poco estas condiciones para fines especiales. ^{[nb 11]} Si no se cumplen estos requisitos, no es posible interpretar la función de onda como una amplitud de probabilidad. ^[47] Tenga en cuenta que pueden surgir excepciones a la regla de continuidad de las derivadas en puntos de discontinuidad infinita del campo potencial. Por ejemplo, en una partícula en una caja donde la derivada de la función de onda puede ser discontinua en el límite de la caja donde se sabe que el potencial tiene una discontinuidad infinita.

Esto no altera la estructura del espacio de Hilbert en el que habitan estas funciones de onda particulares, pero el subespacio de las funciones integrables al cuadrado L ² , que es un espacio de Hilbert, que satisface el segundo requisito, no está cerrado en L ² , por lo tanto no es un espacio de Hilbert. espacio en sí mismo. ^{[nb 12]} Las funciones que no cumplen los requisitos siguen siendo necesarias por razones tanto técnicas como prácticas. ^{[nota 13] [nota 14]}

Más sobre funciones de onda y espacio de estados abstractos

Como se ha demostrado, el conjunto de todas las funciones de onda posibles en alguna representación de un sistema constituye un espacio de Hilbert en general de dimensión infinita . Debido a las múltiples opciones posibles de base de representación, estos espacios de Hilbert no son únicos. Por tanto, se habla de un espacio de Hilbert abstracto, el espacio de estados , donde la elección de la representación y la base queda indeterminada. Específicamente, cada estado se representa como un vector abstracto en el espacio de estados. ^[48] ​​Un estado cuántico |Ψ⟩ en cualquier representación generalmente se expresa como un vector

$${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\boldsymbol {\alpha }}\int d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}\,\,\Psi ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }},t)\,|{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }}\rangle }$$

• | α , ω ⟩ los vectores base de la representación elegida
• d ^m ω = dω ₁ dω ₂ ... dω _m un " elemento de volumen diferencial " en los grados de libertad continuos
• Ψ( α , ω , t ) una componente del vector |Ψ⟩ , llamada función de onda del sistema
• α = ( α ₁ , α ₂ , ..., α _n ) números cuánticos discretos adimensionales
• ω = ( ω ₁ , ω ₂ , ..., ω _m ) variables continuas (no necesariamente adimensionales)

Estos números cuánticos indexan los componentes del vector de estado. Más aún, todos los α están en un conjunto de n dimensiones A = A ₁ × A ₂ × ... × A _n donde cada _Ai es el conjunto de valores permitidos para α _i ; todos los ω están en un "volumen" m -dimensional Ω ⊆ ℝ ^m donde Ω = Ω ₁ × Ω ₂ × ... × Ω _m y cada Ω _i ⊆ R es el conjunto de valores permitidos para ω _i , un subconjunto del números reales R . Por generalidad, n y m no son necesariamente iguales.

Ejemplo:

1. Para una sola partícula en 3d con espín s , ignorando otros grados de libertad, usando coordenadas cartesianas, podríamos tomar α = ( s _z ) para el número cuántico de espín de la partícula a lo largo de la dirección z, y ω = ( x , y , z ) para las coordenadas de posición de la partícula. Aquí A = {− s , − s + 1, ..., s − 1, s } es el conjunto de números cuánticos de espín permitidos y Ω = R ³ es el conjunto de todas las posiciones posibles de partículas en todo el espacio de posiciones 3D.
2. Una opción alternativa es α = ( s _y ) para el número cuántico de espín a lo largo de la dirección y y ω = ( p _x , p _y , p _z ) para los componentes del momento de la partícula. En este caso A y Ω son iguales que antes.

La densidad de probabilidad de encontrar el sistema en el momento del estado | α , ω ⟩ es ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \rho _{\alpha ,\omega }(t)=|\Psi ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }},t)|^{2}}$$

La probabilidad de encontrar un sistema con α en algunas o todas las posibles configuraciones de variables discretas, D ⊆ A , y ω en algunas o todas las posibles configuraciones de variables continuas, C ⊆ Ω , es la suma y la integral sobre la densidad, ^{[nb 15]}

$${\displaystyle P(t)=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in D}\int _{C}\rho _{\alpha ,\omega }(t)\,\,d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}}$$

Dado que la suma de todas las probabilidades debe ser 1, la condición de normalización

$${\displaystyle 1=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in A}\int _{\Omega }\rho _{\alpha ,\omega }(t)\,d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}}$$

La condición de normalización requiere que ρ d ^m ω sea adimensional, por análisis dimensional Ψ debe tener las mismas unidades que ( ω ₁ ω ₂ ... ω _m ) ^−1/2 .

Ontología

Si la función de onda realmente existe y qué representa son cuestiones importantes en la interpretación de la mecánica cuántica . Muchos físicos famosos de la generación anterior se preguntaron sobre este problema, como Schrödinger , Einstein y Bohr . Algunos defienden formulaciones o variantes de la interpretación de Copenhague (por ejemplo, Bohr, Wigner y von Neumann ), mientras que otros, como Wheeler o Jaynes , adoptan el enfoque más clásico ^[49] y consideran que la función de onda representa información en la mente del observador. es decir, una medida de nuestro conocimiento de la realidad. Algunos, incluidos Schrödinger, Bohm y Everett y otros, argumentaron que la función de onda debe tener una existencia física objetiva. Einstein pensó que una descripción completa de la realidad física debería referirse directamente al espacio y al tiempo físicos, a diferencia de la función de onda, que se refiere a un espacio matemático abstracto. ^[50]

Ver también

• bosón
• Teoría de De Broglie-Bohm
• Experimento de doble rendija
• onda de faraday
• Fermión
• Formulación en espacio de fases.
• ecuación de Schrödinger
• Colapso de la función de onda
• Paquete de olas

Observaciones

1. Aquí se supone que las funciones son elementos de L 2 , el espacio de funciones cuadradas integrables. Los elementos de este espacio son más precisamente clases de equivalencia de funciones cuadradas integrables, dos funciones declaradas equivalentes si difieren en un conjunto de medida de Lebesgue 0 . Esto es necesario para obtener un producto interno (es decir, (Ψ, Ψ) = 0 ⇒ Ψ ≡ 0 ) en lugar de un producto semiinterno . La integral se toma como la integral de Lebesgue . Esto es esencial para la integridad del espacio, lo que produce un espacio producto interno completo = espacio de Hilbert.
2. En mecánica cuántica, sólo se consideran espacios de Hilbert separables , lo que, utilizando el lema de Zorn , implica que admite una base de Schauder contablemente infinita en lugar de una base ortonormal en el sentido del álgebra lineal ( base de Hamel ).
3. Porque, técnicamente, no están en el espacio de Hilbert. Consulte el teorema espectral para obtener más detalles.
4. También llamada "ortonormalidad de Dirac", según Griffiths, David J. Introducción a la mecánica cuántica (3ª ed.).
5. La transformada de Fourier vista como un operador unitario en el espacio L ² tiene valores propios ±1, ± i . Los vectores propios son "funciones de Hermite", es decir, polinomios de Hermite multiplicados por una función gaussiana . Véase Byron y Fuller (1992) para obtener una descripción de la transformada de Fourier como transformación unitaria. Para valores propios y valores propios, consulte el Problema 27 Cap. 9.
6. Para que esta afirmación tenga sentido, los observables deben ser elementos de un conjunto de conmutación máximo. Para ver esto, es sencillo observar que, por ejemplo, el operador de momento de la i-ésima partícula en un sistema de n partículas no es un generador de simetría alguna en la naturaleza. Por otro lado, el impulso total es generador de una simetría en la naturaleza; La simetría traslacional.
7. La base resultante puede o no ser técnicamente una base en el sentido matemático de los espacios de Hilbert. Por ejemplo, los estados de posición definida y momento definido no son integrables al cuadrado. Esto se puede solucionar con el uso de paquetes de ondas o encerrando el sistema en una "caja". Vea más comentarios a continuación.
8. En términos técnicos, esto se formula de la siguiente manera. El producto interno produce una norma . Esta norma, a su vez, induce una métrica . Si esta métrica está completa , entonces los límites antes mencionados estarán en el espacio funcional. El espacio producto interior se llama entonces completo. Un espacio de producto interior completo es un espacio de Hilbert . El espacio de estados abstracto siempre se toma como un espacio de Hilbert. El requisito de adecuación de los espacios funcionales es natural. La propiedad del espacio de Hilbert del espacio de estados abstracto se extrajo originalmente de la observación de que los espacios funcionales que forman soluciones normalizables a la ecuación de Schrödinger son espacios de Hilbert.
9. Como se explica en una nota a pie de página posterior, la integral debe considerarse la integral de Lebesgue ; la integral de Riemann no es suficiente.
10. Conway 1990. Esto significa que los productos internos, por tanto, las normas, se conservan y que el mapeo es una biyección lineal limitada y, por tanto, continua. También se conserva la propiedad de integridad. Por tanto, este es el concepto correcto de isomorfismo en la categoría de espacios de Hilbert.
11. Una de esas flexibilizaciones es que la función de onda debe pertenecer al espacio de Sobolev W ^1,2 . Significa que es diferenciable en el sentido de distribuciones y su gradiente es integrable al cuadrado . Esta relajación es necesaria para potenciales que no son funciones sino distribuciones, como la función delta de Dirac .
12. Es fácil visualizar una secuencia de funciones que cumplen el requisito y que converge en una función discontinua . Para ello, modifique un ejemplo que se proporciona en Espacio interno del producto#Algunos ejemplos . Sin embargo, este elemento es un elemento de L ² .
13. Por ejemplo, en la teoría de la perturbación se puede construir una secuencia de funciones que se aproxime a la función de onda verdadera. Se garantizará que esta secuencia convergerá en un espacio más grande, pero sin el supuesto de un espacio de Hilbert completo, no se garantizará que la convergencia sea hacia una función en el espacio relevante y, por lo tanto, resuelva el problema original.
14. Algunas funciones que no son integrables al cuadrado, como las soluciones de partículas libres de ondas planas, son necesarias para la descripción como se describe en una nota anterior y también más adelante.
15. Aquí:
    $${\displaystyle \sum _{\boldsymbol {\alpha }}\equiv \sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}\equiv \sum _{\alpha _{1}}\sum _{\alpha _{2}}\cdots \sum _{\alpha _{n}}}$$
    es una suma múltiple.

Citas

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23. Weinberg (2002) adopta el punto de vista de que la teoría cuántica de campos aparece como aparece porque es la única forma de conciliar la mecánica cuántica con la relatividad especial.
24. Weinberg (2002) Véase especialmente el capítulo 5, donde se derivan algunos de estos resultados.
25. Weinberg 2002 Capítulo 4.
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Otras lecturas

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enlaces externos

• Mecánica cuántica para ingenieros
• Funciones de onda de espín NYU
• Partículas idénticas revisadas, Michael Fowler
• La naturaleza de las funciones de onda de muchos electrones
• Mecánica cuántica y computación cuántica en BerkeleyX Archivado el 13 de mayo de 2013 en Wayback Machine.
• Einstein, La teoría cuántica de la radiación.