Longitud de onda Compton

Propiedad mecánica cuántica de las partículas.

La longitud de onda de Compton es una propiedad de la mecánica cuántica de una partícula , definida como la longitud de onda de un fotón cuya energía es la misma que la energía en reposo de esa partícula (ver equivalencia masa-energía ). Fue introducido por Arthur Compton en 1923 en su explicación de la dispersión de fotones por electrones (proceso conocido como dispersión de Compton ).

La longitud de onda estándar Compton λ de una partícula de masa viene dada por ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mc}},}$$

hconstante de Planckcvelocidad de la luzf

$${\displaystyle f={\frac {mc^{2}}{h}},}$$

ω

$${\displaystyle \omega ={\frac {mc^{2}}{\hbar }}.}$$

El valor CODATA 2018 para la longitud de onda Compton del electrón es2,426 310 238 67 (73) × 10 ⁻¹²  m . ^[1] Otras partículas tienen diferentes longitudes de onda Compton.

Longitud de onda Compton reducida

La longitud de onda de Compton reducida ƛ ( lambda barrada , indicada a continuación por ) se define como la longitud de onda de Compton dividida por 2 π : ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$

${\displaystyle {\bar {\lambda }}={\frac {\lambda }{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}},}$

donde ħ es la constante de Planck reducida .

Papel en las ecuaciones para partículas masivas.

La longitud de onda de Compton reducida inversa es una representación natural de la masa en la escala cuántica y, como tal, aparece en muchas de las ecuaciones fundamentales de la mecánica cuántica. La longitud de onda de Compton reducida aparece en la ecuación relativista de Klein-Gordon para una partícula libre:

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi .}$$

Aparece en la ecuación de Dirac (la siguiente es una forma explícitamente covariante que emplea la convención de suma de Einstein ):

$${\displaystyle -i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0.}$$

La longitud de onda de Compton reducida también está presente en la ecuación de Schrödinger , aunque esto no es evidente en las representaciones tradicionales de la ecuación. La siguiente es la representación tradicional de la ecuación de Schrödinger para un electrón en un átomo similar al hidrógeno :

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi .}$$

Dividiendo por y reescribiendo en términos de la constante de estructura fina , se obtiene: ${\displaystyle \hbar c}$

$${\displaystyle {\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\bar {\lambda }}{2}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi .}$$

Distinción entre reducido y no reducido

La longitud de onda de Compton reducida es una representación natural de la masa en la escala cuántica y se utiliza en ecuaciones relacionadas con la masa inercial, como las ecuaciones de Klein-Gordon y Schrödinger. ^{[2] : 18-22}

Las ecuaciones que pertenecen a las longitudes de onda de los fotones que interactúan con la masa utilizan la longitud de onda Compton no reducida. Una partícula de masa m tiene una energía en reposo de E = mc ² . La longitud de onda Compton para esta partícula es la longitud de onda de un fotón de la misma energía. Para fotones de frecuencia f , la energía viene dada por

$${\displaystyle E=hf={\frac {hc}{\lambda }}=mc^{2},}$$

λ

Limitación de la medición

La longitud de onda de Compton expresa una limitación fundamental a la hora de medir la posición de una partícula, teniendo en cuenta la mecánica cuántica y la relatividad especial . ^[3]

Esta limitación depende de la masa m de la partícula. Para ver cómo, observemos que podemos medir la posición de una partícula haciendo rebotar la luz en ella, pero medir la posición con precisión requiere luz de longitud de onda corta. La luz de longitud de onda corta está formada por fotones de alta energía. Si la energía de estos fotones excede mc ² , cuando uno golpea la partícula cuya posición se está midiendo, la colisión puede producir suficiente energía para crear una nueva partícula del mismo tipo. ^{[ cita necesaria ]} Esto hace que la cuestión de la ubicación de la partícula original sea discutible.

Este argumento también muestra que la longitud de onda reducida de Compton es el límite por debajo del cual la teoría cuántica de campos , que puede describir la creación y aniquilación de partículas, adquiere importancia. El argumento anterior puede hacerse un poco más preciso de la siguiente manera. Supongamos que deseamos medir la posición de una partícula con una precisión Δ x . Entonces la relación de incertidumbre para la posición y el impulso dice que

$${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},}$$

$${\displaystyle \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}.}$$

Usando la relación relativista entre impulso y energía E ² = ( pc ) ² + ( mc ² ) ² , cuando Δ p excede mc entonces la incertidumbre en la energía es mayor que mc ² , que es suficiente energía para crear otra partícula del mismo tipo . Pero debemos excluir esta mayor incertidumbre energética. Físicamente, esto se excluye mediante la creación de una o más partículas adicionales para mantener la incertidumbre del momento de cada partícula en mc o por debajo . En particular, la incertidumbre mínima se produce cuando el fotón dispersado tiene una energía límite igual a la energía incidente de observación. De ello se deduce que existe un mínimo fundamental para Δ x :

$${\displaystyle \Delta x\geq {\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right).}$$

Por lo tanto, la incertidumbre en la posición debe ser mayor que la mitad de la longitud de onda Compton reducida ħ / mc .

Relación con otras constantes

Las longitudes atómicas típicas, los números de onda y las áreas de la física se pueden relacionar con la longitud de onda de Compton reducida para el electrón ( ) ${\textstyle {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\equiv {\tfrac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\simeq 386~{\textrm {fm}}}$ y la constante electromagnética de estructura fina ( ). ${\textstyle \alpha \simeq {\tfrac {1}{137}}}$

El radio de Bohr está relacionado con la longitud de onda de Compton mediante:

$${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)={\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha }}\simeq 137\times {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq 5.29\times 10^{4}~{\textrm {fm}}}$$

El radio clásico del electrón es aproximadamente 3 veces mayor que el radio del protón y se escribe:

$${\displaystyle r_{\text{e}}=\alpha \left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq {\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{137}}\simeq 2.82~{\textrm {fm}}}$$

La constante de Rydberg , que tiene dimensiones de número de onda lineal , se escribe:

$${\displaystyle {\frac {1}{R_{\infty }}}={\frac {2\lambda _{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 91.1~{\textrm {nm}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi R_{\infty }}}={\frac {2}{\alpha ^{2}}}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=2{\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 14.5~{\textrm {nm}}}$$

Esto produce la secuencia:

$${\displaystyle r_{\text{e}}=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}=\alpha ^{2}a_{0}=\alpha ^{3}{\frac {1}{4\pi R_{\infty }}}.}$$

Para los fermiones , la longitud de onda de Compton reducida establece la sección transversal de las interacciones. Por ejemplo, la sección transversal para la dispersión Thomson de un fotón de un electrón es igual a ^{[ se necesita aclaración ]}

$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {T} }={\frac {8\pi }{3}}\alpha ^{2}{\bar {\lambda }}_{\text{e}}^{2}\simeq 66.5~{\textrm {fm}}^{2},}$$

los bosones de calibreinteracción Yukawafotón

La masa de Planck es el orden de masa para el cual la longitud de onda de Compton y el radio de Schwarzschild son iguales, cuando su valor es cercano a la longitud de Planck ( ). El radio de Schwarzschild es proporcional a la masa, mientras que la longitud de onda de Compton es proporcional a la inversa de la masa. La masa y la longitud de Planck están definidas por: ${\displaystyle r_{\rm {S}}=2GM/c^{2}}$ ${\displaystyle l_{\rm {P}}}$

$${\displaystyle m_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar c/G}}}$$

$${\displaystyle l_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar G/c^{3}}}.}$$

Interpretación geométrica

Se ha demostrado un origen geométrico de la longitud de onda de Compton mediante ecuaciones semiclásicas que describen el movimiento de un paquete de ondas. ^[4] En este caso, la longitud de onda de Compton es igual a la raíz cuadrada de la métrica cuántica, una métrica que describe el espacio cuántico: ${\displaystyle {\sqrt {g_{kk}}}=\lambda _{\mathrm {C} }}$

Ver también

• longitud de onda de Broglie
• Relación de Planck-Einstein

Referencias

1. Valor CODATA 2018 para la longitud de onda Compton para el electrón del NIST .
2. Greiner, W. , Mecánica cuántica relativista: ecuaciones de ondas ( Berlín / Heidelberg : Springer , 1990), págs.
3. Garay, Luis J. (1995). "Gravedad cuántica y longitud mínima". Revista Internacional de Física Moderna A. 10 (2): 145–65. arXiv : gr-qc/9403008 . Código Bib : 1995IJMPA..10..145G. doi :10.1142/S0217751X95000085. S2CID  119520606.
4. Leblanc, C.; Malpuech, G.; Solnyshkov, DD (26 de octubre de 2021). "Ecuaciones semiclásicas universales basadas en la métrica cuántica para un sistema de dos bandas". Revisión física B. 104 (13): 134312. arXiv : 2106.12383 . Código Bib : 2021PhRvB.104m4312L. doi : 10.1103/PhysRevB.104.134312. ISSN  2469-9950. S2CID  235606464.

enlaces externos

• Escalas de longitud en física: la longitud de onda de Compton