Teoría de campos conforme bidimensional

Conformal field theory on a 2D spacetime

Una teoría de campos conforme bidimensional es una teoría cuántica de campos en un espacio bidimensional euclidiano, que es invariante bajo transformaciones conformes locales .

A diferencia de otros tipos de teorías de campos conformes , las teorías de campos conformes bidimensionales tienen álgebras de simetría de dimensión infinita . En algunos casos, esto permite resolverlos exactamente, utilizando el método de arranque conforme .

Las teorías de campos conformes bidimensionales notables incluyen modelos mínimos , teoría de Liouville , teorías bosónicas libres sin masa , modelos de Wess-Zumino-Witten y ciertos modelos sigma .

Estructuras básicas

Geometría

Las teorías de campos conformes (CFT) bidimensionales se definen en superficies de Riemann , donde los mapas conformes locales son funciones holomorfas . Si bien es concebible que una CFT exista sólo en una superficie de Riemann determinada, su existencia en cualquier superficie distinta de la esfera implica su existencia en todas las superficies. ^{[1] [2]} Dado un CFT, es posible pegar dos superficies de Riemann donde existan y obtener el CFT en la superficie pegada. ^{[1] [3]} Por otro lado, algunos CFT existen sólo en la esfera. A menos que se indique lo contrario, consideramos CFT en el ámbito de este artículo.

Simetrías e integrabilidad

Dada una coordenada compleja local , el espacio vectorial real de aplicaciones conformes infinitesimales tiene la base , con . (Por ejemplo, y generar traducciones.) Relajando la suposición de que es el conjugado complejo de , es decir, complejizando el espacio de aplicaciones conformes infinitesimales, se obtiene un espacio vectorial complejo con la base . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (\ell _{n}+{\bar {\ell }}_{n})_{n\in \mathbb {Z} }\cup (i(\ell _{n}-{\bar {\ell }}_{n}))_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \ell _{n}=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}}$ ${\displaystyle \ell _{-1}+{\bar {\ell }}_{-1}}$ ${\displaystyle i(\ell _{-1}-{\bar {\ell }}_{-1})}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (\ell _{n})_{n\in \mathbb {Z} }\cup ({\bar {\ell }}_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$

Con sus conmutadores naturales , los operadores diferenciales generan un álgebra de Witt . Según los argumentos estándar de la mecánica cuántica, el álgebra de simetría de la teoría conforme de campos debe ser la extensión central del álgebra de Witt, es decir, el álgebra de Virasoro , cuyos generadores son , más un generador central. En una CFT determinada, el generador central toma un valor constante , llamado carga central. ${\displaystyle \ell _{n}}$ ${\displaystyle (L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle c}$

El álgebra de simetría es, por tanto, el producto de dos copias del álgebra de Virasoro: el álgebra holomorfa o que se mueve hacia la izquierda, con generadores , y el álgebra antiholomórfica o que se mueve hacia la derecha, con generadores . ^[4] ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle {\bar {L}}_{n}}$

En el álgebra envolvente universal del álgebra de Virasoro, es posible construir un conjunto infinito de cargas que se conmutan entre sí. La primera carga es , la segunda carga es cuadrática en los generadores Virasoro, la tercera carga es cúbica, y así sucesivamente. Esto muestra que cualquier teoría de campos conforme bidimensional es también un sistema cuántico integrable . ^[5] ${\displaystyle L_{0}-{\frac {c}{24}}}$

Espacio de estados

El espacio de estados , también llamado espectro , de un CFT, es una representación del producto de las dos álgebras de Virasoro.

Para un estado que es un vector propio de y con los valores propios y , ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle {\bar {L}}_{0}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\bar {\Delta }}}$

• ${\displaystyle \Delta }$es la dimensión conforme izquierda ,
• ${\displaystyle {\bar {\Delta }}}$es la dimensión conforme correcta ,
• ${\displaystyle \Delta +{\bar {\Delta }}}$es la dimensión conforme total o la energía,
• ${\displaystyle \Delta -{\bar {\Delta }}}$es el giro conforme .

Un CFT se llama racional si su espacio de estados se descompone en un número finito de representaciones irreducibles del producto de las dos álgebras de Virasoro. En un CFT racional que se define en todas las superficies de Riemann, la carga central y las dimensiones conformes son números racionales. ^[6]

Una CFT se llama diagonal si su espacio de estados es una suma directa de representaciones del tipo , donde es una representación indescomponible del álgebra de Virasoro izquierda, y es la misma representación del álgebra de Virasoro derecha. ${\displaystyle R\otimes {\bar {R}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\bar {R}}}$

El CFT se llama unitario si el espacio de estados tiene una forma hermitiana definida positiva tal que y son autojuntos, y . Esto implica en particular que , y que la carga central es real. El espacio de estados es entonces un espacio de Hilbert . Si bien la unitaridad es necesaria para que una CFT sea un sistema cuántico adecuado con una interpretación probabilística, muchas CFT interesantes no son unitarias, incluidos los modelos mínimos y la teoría de Liouville para la mayoría de los valores permitidos de la carga central. ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle {\bar {L}}_{0}}$ ${\displaystyle L_{0}^{\dagger }=L_{0}}$ ${\displaystyle {\bar {L}}_{0}^{\dagger }={\bar {L}}_{0}}$ ${\displaystyle L_{n}^{\dagger }=L_{-n}}$

Campos y funciones de correlación.

La correspondencia estado-campo es una aplicación lineal desde el espacio de estados al espacio de campos, que conmuta con la acción del álgebra de simetría. ${\displaystyle v\mapsto V_{v}(z)}$

En particular, la imagen de un estado primario de una representación de menor peso del álgebra de Virasoro es un campo primario ^[7] , tal que ${\displaystyle V_{\Delta }(z)}$

${\displaystyle L_{n>0}V_{\Delta }(z)=0\quad ,\quad L_{0}V_{\Delta }(z)=\Delta V_{\Delta }(z)\ .}$

Los campos descendientes se obtienen de los campos primarios actuando con modos de creación . Los campos degenerados corresponden a estados primarios de representaciones degeneradas. Por ejemplo, el campo degenerado obedece a , debido a la presencia de un vector nulo en la representación degenerada correspondiente. ${\displaystyle L_{n<0}}$ ${\displaystyle V_{1,1}(z)}$ ${\displaystyle L_{-1}V_{1,1}(z)=0}$

Una función de correlación de puntos es un número que depende linealmente de los campos, denotado como . En la formulación de integral de trayectoria de la teoría de campos conforme, las funciones de correlación se definen como integrales funcionales. En el enfoque de arranque conforme , las funciones de correlación se definen mediante axiomas. En particular, se supone que existe una expansión del producto del operador (OPE), ^[7] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left\langle V_{1}(z_{1})\cdots V_{N}(z_{N})\right\rangle }$ ${\displaystyle i\neq j\Rightarrow z_{i}\neq z_{j}}$

${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=\sum _{i}C_{12}^{v_{i}}(z_{1},z_{2})V_{v_{i}}(z_{2})\ ,}$

donde es la base del espacio de estados y los números se llaman coeficientes OPE. Además, se supone que las funciones de correlación son invariantes ante permutaciones en los campos; en otras palabras, se supone que la OPE es asociativa y conmutativa. (La conmutatividad de OPE no implica que los coeficientes de OPE sean invariantes bajo , porque la expansión de campos rompe esa simetría). ${\displaystyle \{v_{i}\}}$ ${\displaystyle C_{12}^{v_{i}}(z_{1},z_{2})}$ ${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=V_{2}(z_{2})V_{1}(z_{1})}$ ${\displaystyle 1\leftrightarrow 2}$ ${\displaystyle V_{v_{i}}(z_{2})}$

La conmutatividad OPE implica que los campos primarios tienen espines conformes enteros . Un campo primario con espín conforme cero se llama campo diagonal . También existen CFT fermiónicos que incluyen campos fermiónicos con espines conformes semienteros , que anticonmutan. ^[8] También existen CFT parafermiónicos que incluyen campos con espines racionales más generales . No sólo los parafermiones no conmutan, sino que además sus funciones de correlación son multivaluadas. ${\displaystyle S\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S\in {\tfrac {1}{2}}+\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S\in \mathbb {Q} }$

La función de partición toroidal es una función de correlación particular que depende únicamente del espectro y no de los coeficientes OPE. Para un toro complejo con módulo , la función de partición es ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} }{\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle Z(\tau )=\operatorname {Tr} _{\mathcal {S}}q^{L_{0}-{\frac {c}{24}}}{\bar {q}}^{{\bar {L}}_{0}-{\frac {c}{24}}}}$

dónde . La función de partición del toro coincide con el carácter del espectro, considerado como una representación del álgebra de simetría. ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

Teoría de campos conforme quiral

En una teoría de campos conforme bidimensional, las propiedades se denominan quirales si se derivan de la acción de una de las dos álgebras de Virasoro. Si el espacio de estados puede descomponerse en representaciones factorizadas del producto de las dos álgebras de Virasoro, entonces todas las consecuencias de la simetría conforme son quirales. En otras palabras, las acciones de las dos álgebras de Virasoro se pueden estudiar por separado.

Tensor de energía-momento

Se supone que la dependencia de un campo de su posición está determinada por ${\displaystyle V(z)}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}V(z)=L_{-1}V(z).}$

De ello se deduce que la OPE

${\displaystyle T(y)V(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {L_{n}V(z)}{(y-z)^{n+2}}},}$

define un campo localmente holomórfico que no depende de Este campo se identifica con (un componente de) el tensor de energía-momento . ^[4] En particular, la OPE del tensor de energía-momento con un campo primario es ${\displaystyle T(y)}$ ${\displaystyle z.}$

${\displaystyle T(y)V_{\Delta }(z)={\frac {\Delta }{(y-z)^{2}}}V_{\Delta }(z)+{\frac {1}{y-z}}{\frac {\partial }{\partial z}}V_{\Delta }(z)+O(1).}$

La OPE del tensor de energía-momento consigo mismo es

${\displaystyle T(y)T(z)={\frac {\frac {c}{2}}{(y-z)^{4}}}+{\frac {2T(z)}{(y-z)^{2}}}+{\frac {\partial T(z)}{y-z}}+O(1),}$

¿ Dónde está la carga central? (Este OPE es equivalente a las relaciones de conmutación del álgebra de Virasoro). ${\displaystyle c}$

Identidades de barrio conformal

Las identidades conformales de Ward son ecuaciones lineales a las que obedecen las funciones de correlación como consecuencia de la simetría conforme. ^[4] Pueden derivarse estudiando funciones de correlación que involucran inserciones del tensor de energía-momento. Sus soluciones son bloques conformes .

Por ejemplo, considere las identidades Ward conformes en la esfera. Sea una coordenada compleja global en la esfera, vista como La holomorfía del tensor de energía-momento en es equivalente a ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}.}$ ${\displaystyle z=\infty }$

${\displaystyle T(z){\underset {z\to \infty }{=}}O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right).}$

Además, insertar en una función de punto de campos primarios produce ${\displaystyle T(z)}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \left\langle T(z)\prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\Delta _{i}}{(z-z_{i})^{2}}}+{\frac {1}{z-z_{i}}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle .}$

De las dos últimas ecuaciones, es posible deducir identidades de Ward locales que expresan funciones puntuales de campos descendientes en términos de funciones puntuales de campos primarios. Además, es posible deducir tres ecuaciones diferenciales para cualquier función puntual de campos primarios, llamadas identidades de Ward conformes globales : ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left(z_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}+\Delta _{i}kz_{i}^{k-1}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =0,\qquad (k\in \{0,1,2\}).}$

Estas identidades determinan cómo las funciones de dos y tres puntos dependen de ${\displaystyle z,}$

${\displaystyle \left\langle V_{\Delta _{1}}(z_{1})V_{\Delta _{2}}(z_{2})\right\rangle {\begin{cases}=0&\ \ (\Delta _{1}\neq \Delta _{2})\\\propto (z_{1}-z_{2})^{-2\Delta _{1}}&\ \ (\Delta _{1}=\Delta _{2})\end{cases}}}$

${\displaystyle \left\langle V_{\Delta _{1}}(z_{1})V_{\Delta _{2}}(z_{2})V_{\Delta _{3}}(z_{3})\right\rangle \propto (z_{1}-z_{2})^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(z_{2}-z_{3})^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}}(z_{1}-z_{3})^{\Delta _{2}-\Delta _{1}-\Delta _{3}},}$

donde los coeficientes de proporcionalidad indeterminados son funciones de ${\displaystyle {\bar {z}}.}$

ecuaciones BPZ

Una función de correlación que involucra un campo degenerado satisface una ecuación diferencial parcial lineal llamada ecuación de Belavin-Polyakov-Zamolodchikov en honor a Alexander Belavin , Alexander Polyakov y Alexander Zamolodchikov . ^[7] El orden de esta ecuación es el nivel del vector nulo en la representación degenerada correspondiente.

Un ejemplo trivial es la ecuación BPZ de orden uno.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\left\langle V_{1,1}(z_{1})V_{2}(z_{2})\cdots V_{N}(z_{N})\right\rangle =0.}$

que se sigue de

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}V_{1,1}(z_{1})=L_{-1}V_{1,1}(z_{1})=0.}$

El primer ejemplo no trivial involucra un campo degenerado con un vector nulo evanescente en el nivel dos, ${\displaystyle V_{2,1}}$

${\displaystyle \left(L_{-1}^{2}+b^{2}L_{-2}\right)V_{2,1}=0,}$

donde se relaciona con la carga central por ${\displaystyle b}$

${\displaystyle c=1+6\left(b+b^{-1}\right)^{2}.}$

Entonces obedece una función de punto de y otros campos primarios: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V_{2,1}}$ ${\displaystyle N-1}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{b^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{1}^{2}}}+\sum _{i=2}^{N}\left({\frac {1}{z_{1}-z_{i}}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}+{\frac {\Delta _{i}}{(z_{1}-z_{i})^{2}}}\right)\right)\left\langle V_{2,1}(z_{1})\prod _{i=2}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =0.}$

Se puede deducir una ecuación de orden BPZ para una función de correlación que involucra el campo degenerado a partir de la desaparición del vector nulo y las identidades locales de Ward . Gracias a las identidades globales de Ward, las funciones de cuatro puntos se pueden escribir en términos de una variable en lugar de cuatro, y las ecuaciones BPZ para funciones de cuatro puntos se pueden reducir a ecuaciones diferenciales ordinarias. ${\displaystyle rs}$ ${\displaystyle V_{r,s}}$

Reglas de fusión

En una OPE que involucra un campo degenerado, la desaparición del vector nulo (más la simetría conforme) limita qué campos primarios pueden aparecer. Las restricciones resultantes se denominan reglas de fusión . ^[4] Usando el impulso tal que ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \Delta =\alpha \left(b+b^{-1}-\alpha \right)}$

en lugar de la dimensión conforme para parametrizar campos primarios, las reglas de fusión son ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle V_{r,s}\times V_{\alpha }=\sum _{i=0}^{r-1}\sum _{j=0}^{s-1}V_{\alpha +\left(i-{\frac {r-1}{2}}\right)b+\left(j-{\frac {s-1}{2}}\right)b^{-1}}}$

En particular

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1,1}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha }\\[6pt]V_{2,1}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha -{\frac {b}{2}}}+V_{\alpha +{\frac {b}{2}}}\\[6pt]V_{1,2}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha -{\frac {1}{2b}}}+V_{\alpha +{\frac {1}{2b}}}\end{aligned}}}$

Alternativamente, las reglas de fusión tienen una definición algebraica en términos de un producto de fusión asociativo de representaciones del álgebra de Virasoro en una carga central determinada. El producto de fusión se diferencia del producto tensorial de representaciones. (En un producto tensorial, las cargas centrales se suman). En ciertos casos finitos, esto conduce a la estructura de una categoría de fusión .

Una teoría de campos conforme es cuasi racional : el producto de fusión de dos representaciones indescomponibles es una suma de un número finito de representaciones indescomponibles. ^[9] Por ejemplo, los modelos mínimos generalizados son cuasi-racionales sin ser racionales.

Arranque conforme

El método de arranque conforme consiste en definir y resolver CFT utilizando únicamente supuestos de simetría y consistencia, reduciendo todas las funciones de correlación a combinaciones de constantes estructurales y bloques conformes. En dos dimensiones, este método conduce a soluciones exactas de ciertas CFT y a clasificaciones de teorías racionales.

Constantes de estructura

Sea un campo primario izquierdo y derecho con dimensiones conformes izquierdo y derecho y . Según las identidades globales de Ward izquierda y derecha, las funciones de tres puntos de dichos campos son del tipo ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \Delta _{i}}$ ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})V_{3}(z_{3})\right\rangle =C_{123}\\&\qquad \times (z_{1}-z_{2})^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(z_{2}-z_{3})^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}}(z_{1}-z_{3})^{\Delta _{2}-\Delta _{1}-\Delta _{3}}\\&\qquad \times ({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{{\bar {\Delta }}_{3}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}}({\bar {z}}_{2}-{\bar {z}}_{3})^{{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}-{\bar {\Delta }}_{3}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{3})^{{\bar {\Delta }}_{2}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{3}}\ ,\end{aligned}}}$

donde el número independiente se llama constante de estructura de tres puntos . Para que la función de tres puntos tenga un solo valor, las dimensiones conformes a la izquierda y a la derecha de los campos primarios deben obedecer ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle C_{123}}$

${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} \ .}$

Esta condición la satisfacen los campos bosónicos ( ) y fermiónicos ( ). Sin embargo, es violada por los campos parafermiónicos ( ), cuyas funciones de correlación, por lo tanto, no tienen un solo valor en la esfera de Riemann. ${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Q} }$

Las constantes de estructura de tres puntos también aparecen en las OPE,

${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=\sum _{i}C_{12i}(z_{1}-z_{2})^{\Delta _{i}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{{\bar {\Delta }}_{i}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}}{\Big (}V_{i}(z_{2})+\cdots {\Big )}\ .}$

Las contribuciones de los campos descendientes, indicadas por los puntos, están completamente determinadas por la simetría conforme. ^[4]

Bloques conformes

Cualquier función de correlación se puede escribir como una combinación lineal de bloques conformes : funciones que están determinadas por simetría conforme y etiquetadas por representaciones del álgebra de simetría. Los coeficientes de la combinación lineal son productos de constantes estructurales. ^[7]

En CFT bidimensional, el álgebra de simetría se factoriza en dos copias del álgebra de Virasoro, y un bloque conforme que involucra campos primarios tiene una factorización holomorfa : es un producto de un factor localmente holomórfico que está determinado por el Virasoro que se mueve hacia la izquierda. álgebra, y un factor localmente antiholomórfico que está determinado por el álgebra de Virasoro que se mueve hacia la derecha. Estos factores se denominan a su vez bloques conformes.

Por ejemplo, usar el OPE de los dos primeros campos en una función de cuatro puntos de los campos primarios produce

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}V_{i}(z_{i})\right\rangle =\sum _{s}C_{12s}C_{s34}{\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\},\{z_{i}\}){\mathcal {F}}_{{\bar {\Delta }}_{s}}^{(s)}(\{{\bar {\Delta }}_{i}\},\{{\bar {z}}_{i}\})\ ,}$

donde es un bloque conforme de cuatro puntos de canal s . Los bloques conformes de cuatro puntos son funciones complicadas que se pueden calcular de manera eficiente utilizando las relaciones de recursividad de Alexei Zamolodchikov . Si uno de los cuatro campos es degenerado, entonces los bloques conformes correspondientes obedecen a las ecuaciones BPZ. Si en particular uno de los cuatro campos es , entonces los bloques conformes correspondientes se pueden escribir en términos de la función hipergeométrica . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\},\{z_{i}\})}$ ${\displaystyle V_{2,1}}$

Como lo explicó por primera vez Witten, ^[10] el espacio de bloques conformes de una CFT bidimensional se puede identificar con el espacio cuántico de Hilbert de una teoría de Chern-Simons de 2+1 dimensiones , que es un ejemplo de teoría de campos topológicos . Esta conexión ha sido muy fructífera en la teoría del efecto Hall cuántico fraccionario .

Ecuaciones de arranque conformes

Cuando una función de correlación se puede escribir en términos de bloques conformes de varias maneras diferentes, la igualdad de las expresiones resultantes proporciona restricciones en el espacio de estados y en las constantes de estructura de tres puntos. Estas restricciones se denominan ecuaciones de arranque conformes . Si bien las identidades de Ward son ecuaciones lineales para funciones de correlación, las ecuaciones de arranque conformes dependen de forma no lineal de las constantes de la estructura de tres puntos.

Por ejemplo, una función de cuatro puntos se puede escribir en términos de bloques conformes de tres formas no equivalentes, correspondientes al uso de los OPE ( canal s ), ( canal t ) o ( canal u ). La igualdad de las tres expresiones resultantes se llama simetría de cruce de la función de cuatro puntos y equivale a la asociatividad de la OPE. ^[7] ${\displaystyle \left\langle V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}\right\rangle }$ ${\displaystyle V_{1}V_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}V_{4}}$ ${\displaystyle V_{1}V_{3}}$

Por ejemplo, la función de partición del toro es invariante bajo la acción del grupo modular sobre el módulo del toro, de manera equivalente . Esta invariancia es una limitación del espacio de los estados. El estudio de las funciones de partición toroidal invariantes modulares a veces se denomina bootstrap modular . ${\displaystyle Z(\tau )=Z(\tau +1)=Z(-{\frac {1}{\tau }})}$

La consistencia de una CFT en la esfera equivale a cruzar la simetría de la función de cuatro puntos. La consistencia de un CFT en todas las superficies de Riemann también requiere invariancia modular de la función de un punto del toro. ^[1] Por lo tanto, la invariancia modular de la función de partición toroidal no es necesaria ni suficiente para que exista una CFT. Sin embargo, se ha estudiado ampliamente en CFT racionales, porque los caracteres de las representaciones son más simples que otros tipos de bloques conformes, como los bloques conformes de esfera de cuatro puntos.

Ejemplos

Modelos mínimos

Un modelo mínimo es un CFT cuyo espectro se construye a partir de un número finito de representaciones irreducibles del álgebra de Virasoro. Los modelos mínimos sólo existen para valores particulares de la carga central, ^[4]

${\displaystyle c_{p,q}=1-6{\frac {(p-q)^{2}}{pq}},\qquad p>q\in \{2,3,\ldots \}.}$

Existe una clasificación ADE de modelos mínimos. ^[11] En particular, el modelo mínimo de la serie A con carga central es un CFT diagonal cuyo espectro se construye a partir de representaciones degeneradas de menor peso del álgebra de Virasoro. Estas representaciones degeneradas están etiquetadas por pares de números enteros que forman la tabla Kac , ${\displaystyle c=c_{p,q}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(p-1)(q-1)}$

${\displaystyle (r,s)\in \{1,\ldots ,p-1\}\times \{1,\ldots ,q-1\}\qquad {\text{with}}\qquad (r,s)\simeq (p-r,q-s).}$

Por ejemplo, el modelo mínimo de la serie A describe correlacionadores de espín y energía del modelo crítico bidimensional de Ising . ${\displaystyle c=c_{4,3}={\tfrac {1}{2}}}$

Teoría de Liouville

Para cualquier teoría de Liouville es un CFT diagonal cuyo espectro se construye a partir de módulos Verma con dimensiones conformes. ${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle \Delta \in {\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}$

La teoría de Liouville ha sido resuelta, en el sentido de que sus constantes de estructura de tres puntos se conocen explícitamente. La teoría de Liouville tiene aplicaciones a la teoría de cuerdas y a la gravedad cuántica bidimensional.

Álgebras de simetría extendida

En algunos CFT, el álgebra de simetría no es sólo el álgebra de Virasoro, sino un álgebra asociativa (es decir, no necesariamente un álgebra de Lie) que contiene el álgebra de Virasoro. Luego, el espectro se descompone en representaciones de ese álgebra, y las nociones de CFT diagonales y racionales se definen con respecto a esa álgebra. ^[4]

Teorías bosónicas libres sin masa

En dos dimensiones, las teorías bosónicas libres sin masa son conformemente invariantes. Su álgebra de simetría es el álgebra de Lie afín construida a partir del álgebra de Lie abeliana de rango uno. El producto de fusión de dos representaciones cualesquiera de este álgebra de simetría produce sólo una representación, y esto hace que las funciones de correlación sean muy simples. ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}}$

Ver los modelos mínimos y la teoría de Liouville como teorías bosónicas libres perturbadas conduce al método del gas de Coulomb para calcular sus funciones de correlación. Además, existe una familia de teorías bosónicas libres de un solo parámetro con espectros discretos infinitos, que describen bosones libres compactados , siendo el parámetro el radio de compactación. ^[4] ${\displaystyle c=1,}$

Modelos de Wess-Zumino-Witten

Dado un grupo de Lie , el modelo de Wess-Zumino-Witten correspondiente es un CFT cuyo álgebra de simetría es el álgebra de Lie afín construida a partir del álgebra de Lie de Si es compacto, entonces este CFT es racional, su carga central toma valores discretos y su espectro es conocido. ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$

Teorías de campos superconformes

El álgebra de simetría de una CFT supersimétrica es una súper álgebra de Virasoro , o un álgebra más grande. Las CFT supersimétricas son particularmente relevantes para la teoría de supercuerdas.

Teorías basadas en W-álgebras

Las W-álgebras son extensiones naturales del álgebra de Virasoro. Los CFT basados ​​en álgebras W incluyen generalizaciones de modelos mínimos y teoría de Liouville, llamados respectivamente modelos W-mínimos y teorías conformales de Toda . Las teorías conformes de Toda son más complicadas que la teoría de Liouville y menos comprendidas.

Modelos sigma

En dos dimensiones, los modelos sigma clásicos son conformemente invariantes, pero sólo algunas variedades objetivo conducen a modelos cuánticos sigma que son conformemente invariantes. Ejemplos de tales variedades objetivo incluyen toros y variedades Calabi-Yau .

Teorías de campos conformes logarítmicas

Las teorías logarítmicas de campos conformes son CFT bidimensionales de modo que la acción del generador de álgebra de Virasoro en el espectro no es diagonalizable. En particular, el espectro no puede construirse únicamente a partir de representaciones de menor peso . Como consecuencia, la dependencia de las funciones de correlación de las posiciones de los campos puede ser logarítmica. Esto contrasta con la dependencia de poder de las funciones de dos y tres puntos que están asociadas a representaciones de menor peso. ${\displaystyle L_{0}}$

Modelo crítico de Potts del estado Q

El modelo de Potts de estado crítico o modelo de conglomerado aleatorio crítico es una teoría de campo conforme que generaliza y unifica el modelo crítico de Ising , el modelo de Potts y la percolación . El modelo tiene un parámetro , que debe ser un número entero en el modelo de Potts, pero que puede tomar cualquier valor complejo en el modelo de conglomerados aleatorios. ^[12] Este parámetro está relacionado con la carga central mediante ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q=4\cos ^{2}(\pi \beta ^{2})\qquad {\text{with}}\qquad c=13-6\beta ^{2}-6\beta ^{-2}\ .}$

Los valores especiales de incluyen: ^[13] ${\displaystyle Q}$

La conocida función de partición toroidal ^[14] sugiere que el modelo no es racional con un espectro discreto.

Referencias

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14. Di Francesco, P.; Saleur, H.; Zuber, JB (1987). "Invariancia modular en teorías conformes bidimensionales no mínimas". Física Nuclear B. 285 : 454–480. Código bibliográfico : 1987NuPhB.285..454D. doi :10.1016/0550-3213(87)90349-x. ISSN  0550-3213.

Otras lecturas

• P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, Teoría de campos conforme , Springer-Verlag, Nueva York, 1997. ISBN 0-387-94785-X . 
• La página de Teoría de campos conforme en String Theory Wiki enumera libros y reseñas.
• Ribault, Sylvain (2014). "Teoría de campos conforme en el avión". arXiv : 1406.4290 [hep-th].