Transformación de Weyl

Véase también la transformada de Wigner-Weyl , para otra definición de la transformada de Weyl.

En física teórica , la transformación de Weyl , llamada así en honor a Hermann Weyl , es un reescalamiento local del tensor métrico :

${\displaystyle g_{ab}\rightarrow e^{-2\omega (x)}g_{ab}}$

que produce otra métrica en la misma clase conforme . Una teoría o una expresión invariante bajo esta transformación se llama invariante conforme , o se dice que posee invariancia de Weyl o simetría de Weyl . La simetría de Weyl es una simetría importante en la teoría de campos conforme . Es, por ejemplo, una simetría de la acción de Polyakov . Cuando los efectos mecánicos cuánticos rompen la invariancia conforme de una teoría, se dice que exhibe una anomalía conforme o anomalía de Weyl .

La conexión Levi-Civita ordinaria y las conexiones de espín asociadas no son invariantes bajo transformaciones de Weyl. Las conexiones de Weyl son una clase de conexiones afines que son invariantes, aunque ninguna conexión de Weyl es invariante individualmente bajo transformaciones de Weyl.

Peso conforme

Una cantidad tiene peso conforme si, bajo la transformación de Weyl, se transforma mediante ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \varphi \to \varphi e^{k\omega }.}$

Por lo tanto, las cantidades ponderadas conformemente pertenecen a ciertos fibrados de densidad ; véase también dimensión conforme . Sea la forma unitaria de conexión asociada a la conexión de Levi-Civita de . Introduzca una conexión que dependa también de una forma unitaria inicial mediante ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\omega }$

${\displaystyle B_{\mu }=A_{\mu }+\partial _{\mu }\omega .}$

Entonces es covariante y tiene peso conforme . ${\displaystyle D_{\mu }\varphi \equiv \partial _{\mu }\varphi +kB_{\mu }\varphi }$ ${\displaystyle k-1}$

Fórmulas

Para la transformación

${\displaystyle g_{ab}=f(\phi (x)){\bar {g}}_{ab}}$

Podemos derivar las siguientes fórmulas

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{ab}&={\frac {1}{f(\phi (x))}}{\bar {g}}^{ab}\\{\sqrt {-g}}&={\sqrt {-{\bar {g}}}}f^{D/2}\\\Gamma _{ab}^{c}&={\bar {\Gamma }}_{ab}^{c}+{\frac {f'}{2f}}\left(\delta _{b}^{c}\partial _{a}\phi +\delta _{a}^{c}\partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial ^{c}\phi \right)\equiv {\bar {\Gamma }}_{ab}^{c}+\gamma _{ab}^{c}\\R_{ab}&={\bar {R}}_{ab}+{\frac {f''f-f^{\prime 2}}{2f^{2}}}\left((2-D)\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial ^{c}\phi \partial _{c}\phi \right)+{\frac {f'}{2f}}\left((2-D){\bar {\nabla }}_{a}\partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}{\bar {\Box }}\phi \right)+{\frac {1}{4}}{\frac {f^{\prime 2}}{f^{2}}}(D-2)\left(\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \right)\\R&={\frac {1}{f}}{\bar {R}}+{\frac {1-D}{f}}\left({\frac {f''f-f^{\prime 2}}{f^{2}}}\partial ^{c}\phi \partial _{c}\phi +{\frac {f'}{f}}{\bar {\Box }}\phi \right)+{\frac {1}{4f}}{\frac {f^{\prime 2}}{f^{2}}}(D-2)(1-D)\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que el tensor de Weyl es invariante bajo un reescalamiento de Weyl.

Referencias

• Weyl, Hermann (1993) [1921]. Raum, Zeit, Materie [ Espacio, Tiempo, Materia ]. Conferencias sobre relatividad general (en alemán). Berlín: Springer. ISBN 3-540-56978-2.