Dimensión conforme

En matemáticas, la dimensión conforme de un espacio métrico X es el mínimo de la dimensión de Hausdorff sobre el calibre conforme de X , es decir, la clase de todos los espacios métricos cuasisimétricos a  X. ^[1]

Definicion formal

Sea X un espacio métrico y la colección de todos los espacios métricos que son cuasisimétricos  con X. La dimensión conforme de X se define como tal ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle \mathrm {Cdim} X=\inf _{Y\in {\mathcal {G}}}\dim _{H}Y}$

Propiedades

Tenemos las siguientes desigualdades , para un espacio métrico  X :

${\displaystyle \dim _{T}X\leq \mathrm {Cdim} X\leq \dim _{H}X}$

La segunda desigualdad es cierta por definición. La primera se deduce del hecho de que la dimensión topológica T es invariante por homeomorfismo , y por tanto puede definirse como el mínimo de la dimensión de Hausdorff en todos los espacios homeomorfos  a X.

Ejemplos

• La dimensión conforme de es N , ya que las dimensiones topológicas y de Hausdorff de los espacios euclidianos coinciden. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$
• El conjunto de Cantor K es de dimensión conforme nula. Sin embargo, no existe un espacio métrico cuasisimétrico a K con una dimensión de Hausdorff 0.

Ver también

• Dimensión de escala anómala

Referencias

1. John M. Mackay, Jeremy T. Tyson, Dimensión conforme: teoría y aplicación , Serie de conferencias universitarias, vol. 54, 2010, Isla de Rodas