Dimensión de escala

Número que especifica cómo cambia un operador cuántico bajo dilataciones.

En física teórica , la dimensión de escala , o simplemente dimensión , de un operador local en una teoría cuántica de campos caracteriza las propiedades de reescalamiento del operador bajo dilataciones del espacio-tiempo . Si la teoría cuántica de campos es invariante en la escala , las dimensiones de escala de los operadores son números fijos; de lo contrario, son funciones de la escala de distancia. ${\displaystyle x\to \lambda x}$

Teoría cuántica de campos invariante en escala

En una teoría cuántica de campos invariante de escala , por definición, cada operador adquiere bajo una dilatación un factor , donde es un número llamado dimensión de escala de . Esto implica en particular que la función de correlación de dos puntos depende de la distancia como . De manera más general, las funciones de correlación de varios operadores locales deben depender de las distancias de tal manera que ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle x\to \lambda x}$ ${\displaystyle \lambda ^{-\Delta }}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \langle O(x)O(0)\rangle }$ ${\displaystyle (x^{2})^{-\Delta }}$ ${\displaystyle \langle O_{1}(\lambda x_{1})O_{2}(\lambda x_{2})\ldots \rangle =\lambda ^{-\Delta _{1}-\Delta _{2}-\ldots }\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})\ldots \rangle }$

La mayoría de las teorías invariantes de escala también son invariantes conformemente , lo que impone restricciones adicionales a las funciones de correlación de los operadores locales. ^[1]

Teorías de campo libre

Las teorías libres son las teorías cuánticas de campos invariantes de escala más simples. En las teorías libres, se hace una distinción entre los operadores elementales, que son los campos que aparecen en el Lagrangiano , y los operadores compuestos que son productos de los elementales. La dimensión de escala de un operador elemental se determina mediante el análisis dimensional del Lagrangiano (en cuatro dimensiones del espacio-tiempo, es 1 para los campos bosónicos elementales que incluyen los potenciales vectoriales, 3/2 para los campos fermiónicos elementales, etc.). Esta dimensión de escala se llama dimensión clásica (también se utilizan los términos dimensión canónica y dimensión de ingeniería ). Un operador compuesto obtenido al tomar un producto de dos operadores de dimensiones y es un nuevo operador cuya dimensión es la suma . ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \Delta _{1}}$ ${\displaystyle \Delta _{2}}$ ${\displaystyle \Delta _{1}+\Delta _{2}}$

Cuando se activan las interacciones, la dimensión de escala recibe una corrección llamada dimensión anómala (ver a continuación).

Teorías de campos en interacción

Existen muchas teorías cuánticas de campos invariantes de escala que no son teorías libres; se las denomina interactuantes. Las dimensiones de escala de los operadores en dichas teorías no pueden leerse a partir de un lagrangiano ; tampoco son necesariamente enteros (semi)enteros. Por ejemplo, en la teoría invariante de escala (y conformemente) que describe los puntos críticos del modelo de Ising bidimensional hay un operador cuya dimensión es 1/8. ^{[2] [1]} ${\displaystyle \sigma }$

La multiplicación de operadores es sutil en las teorías de interacción en comparación con las teorías libres. La expansión del producto de operadores de dos operadores con dimensiones y generalmente no dará un operador único sino una cantidad infinita de operadores, y su dimensión generalmente no será igual a . En el ejemplo del modelo de Ising bidimensional anterior, el producto de operadores da un operador cuya dimensión es 1 y no el doble de la dimensión de . ^{[2] [1]} ${\displaystyle \Delta _{1}}$ ${\displaystyle \Delta _{2}}$ ${\displaystyle \Delta _{1}+\Delta _{2}}$ ${\displaystyle \sigma \times \sigma }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \sigma }$

Teoría cuántica de campos no invariante en escala

Hay muchas teorías cuánticas de campos que, si bien no son exactamente invariantes de escala, permanecen aproximadamente invariantes de escala en un amplio rango de distancias. Tales teorías cuánticas de campos pueden obtenerse agregando a las teorías de campo libre términos de interacción con pequeños acoplamientos adimensionales . Por ejemplo, en cuatro dimensiones del espacio-tiempo se pueden agregar acoplamientos escalares cuárticos, acoplamientos de Yukawa o acoplamientos de calibre. Las dimensiones de escala de los operadores en tales teorías pueden expresarse esquemáticamente como , donde es la dimensión cuando todos los acoplamientos se establecen en cero (es decir, la dimensión clásica), mientras que se llama dimensión anómala , y se expresa como una serie de potencias en los acoplamientos denotados colectivamente como . ^[3] Tal separación de las dimensiones de escala en la parte clásica y anómala solo tiene sentido cuando los acoplamientos son pequeños, por lo que es una pequeña corrección. ${\displaystyle \Delta =\Delta _{0}+\gamma (g)}$ ${\displaystyle \Delta _{0}}$ ${\displaystyle \gamma (g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \gamma (g)}$

En general, debido a los efectos de la mecánica cuántica, los acoplamientos no permanecen constantes, sino que varían (en la jerga de la teoría cuántica de campos , run ) con la escala de distancia de acuerdo con su función beta . Por lo tanto, la dimensión anómala también depende de la escala de distancia en tales teorías. En particular, las funciones de correlación de los operadores locales ya no son simples potencias sino que tienen una dependencia más complicada de las distancias, generalmente con correcciones logarítmicas. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \gamma (g)}$

Puede ocurrir que la evolución de los acoplamientos conduzca a un valor en el que la función beta desaparezca. Entonces, a grandes distancias, la teoría se vuelve invariante en escala y las dimensiones anómalas dejan de funcionar. Este comportamiento se denomina punto fijo infrarrojo . ${\displaystyle g=g_{*}}$

En casos muy especiales, puede ocurrir que los acoplamientos y las dimensiones anómalas no se cumplan en absoluto, de modo que la teoría sea invariante en escala a todas las distancias y para cualquier valor del acoplamiento. Por ejemplo, esto ocurre en la teoría supersimétrica de Yang-Mills N=4 .

Referencias

1. Philippe Di Francesco; Pedro Mathieu; David Sénéchal (1997). Teoría de campos conforme . Nueva York: Springer.
2. En la nomenclatura de la teoría de campos conforme , esta teoría es el modelo mínimo que contiene los operadores y . ${\displaystyle M_{3,4}}$ ${\displaystyle \sigma =\phi _{1,2}}$ ${\displaystyle \epsilon =\phi _{1,3}}$
3. Peskin, Michael E; Daniel V Schroeder (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos . Lectura [etc.]: Addison-Wesley.