Bosones escalares libres sin masa en dos dimensiones

Teorías de campos conformes 2D

Los bosones escalares libres sin masa son una familia de teorías de campos conformes bidimensionales , cuya simetría se describe mediante un álgebra de Lie afín abeliana .

Dado que son libres, es decir, no interactúan, los CFT bosónicos libres se resuelven con exactitud y con facilidad. A través del formalismo de los gases de Coulomb, conducen a resultados exactos en los CFT interactivos, como los modelos mínimos . Además, desempeñan un papel importante en el enfoque de la hoja del mundo para la teoría de cuerdas .

En una CFT bosónica libre, la carga central del álgebra de Virasoro puede tomar cualquier valor complejo. Sin embargo, a veces se asume el valor de manera implícita. Para , existen CFT bosónicas libres compactificadas con valores arbitrarios del radio de compactificación. ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle c=1}$

Formulación lagrangiana

La acción de una teoría bosónica libre en dos dimensiones es una funcional del bosón libre , ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle S[\phi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x{\sqrt {g}}(g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi +QR\phi )\ ,}$

donde es la métrica del espacio bidimensional en el que se formula la teoría, es el escalar de Ricci de ese espacio. El parámetro se denomina carga de fondo . ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Q\in \mathbb {C} }$

Lo especial de las dos dimensiones es que la dimensión de escala del bosón libre se anula, lo que permite la presencia de una carga de fondo que no se anula y es el origen de la simetría conforme de la teoría . ${\displaystyle \phi }$

En teoría de probabilidad , el bosón libre puede construirse como un campo libre gaussiano . Esto permite realizar funciones de correlación como valores esperados de variables aleatorias.

Simetrías

Álgebra de Lie afín abeliana

El álgebra de simetría se genera mediante dos corrientes quirales conservadas : una corriente que se mueve hacia la izquierda y una corriente que se mueve hacia la derecha, respectivamente.

${\displaystyle J=\partial \phi \quad {\text{and}}\quad {\bar {J}}={\bar {\partial }}\phi }$

que obedecen a . Cada corriente genera un álgebra de Lie afín abeliana . La estructura del álgebra de Lie afín que se mueve hacia la izquierda está codificada en el OPE propio de la corriente que se mueve hacia la izquierda , ${\displaystyle \partial {\bar {J}}={\bar {\partial }}J=0}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}}$

${\displaystyle J(y)J(z)={\frac {-{\frac {1}{2}}}{(y-z)^{2}}}+O(1)}$

De manera equivalente, si la corriente se escribe como una serie de Laurent alrededor del punto , el álgebra de Lie afín abeliana se caracteriza por el corchete de Lie ${\displaystyle J(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}z^{-n-1}}$ ${\displaystyle z=0}$

${\displaystyle [J_{m},J_{n}]={\frac {1}{2}}n\delta _{m+n,0}}$

El centro del álgebra se genera por , y el álgebra es una suma directa de subálgebras conmutativas entre sí de dimensión 1 o 2: ${\displaystyle J_{0}}$

${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}={\text{Span}}(J_{0})\oplus \bigoplus _{n=1}^{\infty }{\text{Span}}(J_{n},J_{-n})}$

Simetría conforme

Para cualquier valor de , el álgebra envolvente universal del álgebra de Lie afín abeliana tiene una subálgebra de Virasoro con los generadores ^[1] ${\displaystyle Q\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}&=-\sum _{m\in {\mathbb {Z} }}J_{n-m}J_{m}+Q(n+1)J_{n}\ ,\qquad (n\neq 0)\ ,\\L_{0}&=-2\sum _{m=1}^{\infty }J_{-m}J_{m}-J_{0}^{2}+QJ_{0}\ ,\end{aligned}}}$

La carga central de esta subálgebra de Virasoro es

${\displaystyle c=1+6Q^{2}}$

y las relaciones de conmutación de los generadores de Virasoro con los generadores del álgebra de Lie afines son

${\displaystyle [L_{m},J_{n}]=-nJ_{m+n}-{\frac {Q}{2}}m(m+1)\delta _{m+n,0}}$

Si el parámetro coincide con la carga de fondo del bosón libre, entonces el campo coincide con el tensor de energía-momento del bosón libre . Por lo tanto, el álgebra de Virasoro correspondiente tiene una interpretación geométrica como el álgebra de aplicaciones conformes infinitesimales y codifica la simetría conforme local de la teoría . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle T(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }L_{n}z^{-n-2}}$

Simetrías extra

Para valores especiales de la carga central y/o del radio de compactificación, las teorías bosónicas libres pueden tener no sólo su simetría, sino también simetrías adicionales. En particular, en , para valores especiales del radio de compactificación, pueden aparecer álgebras de Lie afines no abelianas, supersimetrías , etc. ^[2] ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}}$ ${\displaystyle c=1}$

Campos primarios afines

En una CFT bosónica libre, todos los campos son campos primarios afines o descendientes afines de ellos. Gracias a la simetría afín, las funciones de correlación de los campos descendientes afines pueden, en principio, deducirse a partir de las funciones de correlación de los campos primarios afines.

Definición

Un campo primario afín con las cargas izquierda y derecha se define por sus OPE con las corrientes, ^[1] ${\displaystyle V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}}$ ${\displaystyle \alpha ,{\bar {\alpha }}}$

${\displaystyle J(y)V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\frac {\alpha }{y-z}}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)+O(1)\quad ,\quad {\bar {J}}(y)V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\frac {\bar {\alpha }}{{\bar {y}}-{\bar {z}}}}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)+O(1)}$

Estos OPE son equivalentes a las relaciones

${\displaystyle J_{n>0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\bar {J}}_{n>0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)=0\quad ,\quad J_{0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)=\alpha V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)\quad ,\quad {\bar {J}}_{0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\bar {\alpha }}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)}$

Las cargas también se denominan momentos de movimiento hacia la izquierda y hacia la derecha . Si coinciden, el campo primario afín se denomina diagonal y se escribe como . ${\displaystyle \alpha ,{\bar {\alpha }}}$ ${\displaystyle V_{\alpha }(z)=V_{\alpha ,\alpha }(z)}$

Las exponenciales de orden normal del bosón libre son campos primarios afines. En particular, el campo es un campo primario afín diagonal con momento . Este campo, y los campos primarios afines en general, a veces se denominan operadores de vértice . ^[3] ${\displaystyle :e^{2\alpha \phi (z)}:}$ ${\displaystyle \alpha }$

Un campo primario afín es también un campo primario de Virasoro con la dimensión conforme

${\displaystyle \Delta (\alpha )=\alpha (Q-\alpha )}$

Los dos campos tienen las mismas dimensiones conformes izquierda y derecha, aunque sus momentos son diferentes. ${\displaystyle V_{\alpha }(z)}$ ${\displaystyle V_{Q-\alpha }(z)}$

OPE y conservación del momento

Debido a la simetría afín, el momento se conserva en los campos de campo de fusión bosónicos libres. A nivel de reglas de fusión, esto significa que solo puede aparecer un campo primario afín en la fusión de dos campos primarios afines cualesquiera.

${\displaystyle V_{\alpha _{1},{\bar {\alpha }}_{1}}\times V_{\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{2}}=V_{\alpha _{1}+\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{1}+{\bar {\alpha }}_{2}}}$

Por lo tanto, las expansiones del producto operador de campos primarios afines toman la forma

${\displaystyle V_{\alpha _{1},{\bar {\alpha }}_{1}}(z_{1})V_{\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{2}}(z_{2})=C(\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i})(z_{1}-z_{2})^{-2\alpha _{1}\alpha _{2}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{-2{\bar {\alpha }}_{1}{\bar {\alpha }}_{2}}\left(V_{\alpha _{1}+\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{1}+{\bar {\alpha }}_{2}}(z_{2})+O(z_{1}-z_{2})\right)}$

donde es el coeficiente OPE y el término es la contribución de los campos descendientes afines. Los OPE no tienen una dependencia manifiesta de la carga de fondo. ${\displaystyle C(\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i})}$ ${\displaystyle O(z_{1}-z_{2})}$

Funciones de correlación

De acuerdo con las identidades de Ward afines para funciones de punto en la esfera, ^[1] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i}}(z_{i})\right\rangle \neq 0\implies \sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\bar {\alpha }}_{i}=Q}$

Además, la simetría afín determina completamente la dependencia de las funciones esfera-punto de las posiciones, ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i}}(z_{i})\right\rangle \propto \prod _{i<j}(z_{i}-z_{j})^{-2\alpha _{i}\alpha _{j}}({\bar {z}}_{i}-{\bar {z}}_{j})^{-2{\bar {\alpha }}_{i}{\bar {\alpha }}_{j}}}$

El carácter univalente de las funciones de correlación genera restricciones en los momentos,

${\displaystyle \Delta (\alpha _{i})-\Delta ({\bar {\alpha }}_{i})\in {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} }$

Modelos

Bosones libres no compactos

Un CFT bosónico libre se denomina no compacto si el momento puede tomar valores continuos.

Las CFT bosónicas libres no compactas se utilizan para describir la teoría de cuerdas no crítica . En este contexto, una CFT bosónica libre no compacta se denomina teoría de dilatón lineal . ${\displaystyle Q\neq 0}$

Un CFT bosónico libre con ie es un modelo sigma con un espacio objetivo unidimensional. ${\displaystyle Q=0}$ ${\displaystyle c=1}$

• Si el espacio objetivo es la línea real euclidiana, entonces el momento es imaginario y la dimensión conforme es positiva . ${\displaystyle \alpha ={\bar {\alpha }}\in i\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Delta (\alpha )\geq 0}$
• Si el espacio objetivo es la línea real de Minkowski, entonces el momento es real y la dimensión conforme es negativa . ${\displaystyle \alpha ={\bar {\alpha }}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Delta (\alpha )\leq 0}$
• Si el espacio objetivo es un círculo, entonces el momento toma valores discretos y tenemos un bosón libre compactificado.

Bosones libres compactificados

El bosón libre compactificado con radio ${\displaystyle R}$ es el CFT bosónico libre donde los momentos izquierdo y derecho toman los valores

${\displaystyle (\alpha ,{\bar {\alpha }})=\left({\frac {i}{2}}\left[{\frac {n}{R}}+Rw\right],{\frac {i}{2}}\left[{\frac {n}{R}}-Rw\right]\right)\quad {\text{with}}\quad (n,w)\in \mathbb {Z} ^{2}}$

Los números enteros se denominan entonces número de momento y número de bobinado . Los valores permitidos del radio de compactación son if y else. ^[1] ${\displaystyle n,w}$ ${\displaystyle R\in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle Q=0}$ ${\displaystyle R\in {\frac {1}{iQ}}\mathbb {Z} }$

Si , los bosones libres con radios y describen la misma CFT. Desde el punto de vista del modelo sigma , esta equivalencia se denomina T-dualidad . ${\displaystyle Q=0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\frac {1}{R}}}$

Si , la CFT de bosón libre compactificado existe en cualquier superficie de Riemann . Su función de partición en el toro es ^[3] ${\displaystyle Q=0}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} }{\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} }}}$

${\displaystyle Z_{R}(\tau )=Z_{\frac {1}{R}}(\tau )={\frac {1}{|\eta (\tau )|^{2}}}\sum _{n,w\in \mathbb {Z} }q^{{\frac {1}{4}}\left[{\frac {n}{R}}+Rw\right]^{2}}{\bar {q}}^{{\frac {1}{4}}\left[{\frac {n}{R}}-Rw\right]^{2}}}$

donde , y es la función eta de Dedekind . Esta función de partición es la suma de caracteres del álgebra de Virasoro sobre el espectro de dimensiones conformes de la teoría. ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ ${\displaystyle \eta (\tau )}$

Como en todos los CFT bosónicos libres, las funciones de correlación de los campos primarios afines tienen una dependencia de las posiciones de los campos que está determinada por la simetría afín. Los factores constantes restantes son signos que dependen de los momentos y números de bobinado de los campos. ^[4]

Condiciones de contorno en el caso c=1

Condiciones de contorno de Neumann y Dirichlet

Debido al automorfismo del álgebra de Lie afín abeliana hay dos tipos de condiciones de contorno que preservan la simetría afín, a saber: ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle J\to -J}$

${\displaystyle J={\bar {J}}\quad {\text{or}}\quad J=-{\bar {J}}}$

Si el límite es la línea , estas condiciones corresponden respectivamente a la condición de límite de Neumann y a la condición de límite de Dirichlet para el bosón libre . ${\displaystyle z={\bar {z}}}$ ${\displaystyle \phi }$

Estados fronterizos

En el caso de un bosón libre compactificado, cada tipo de condición de contorno conduce a una familia de estados de contorno, parametrizados por . Las funciones de un punto correspondientes en el semiplano superior son ^[5] ${\displaystyle \theta \in {\frac {\mathbb {R} }{2\pi \mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \{\Im z>0\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle V_{(n,w)}(z)\right\rangle _{{\text{Dirichlet}},\theta }&={\frac {e^{in\theta }\delta _{w,0}}{|z-{\bar {z}}|^{\frac {n^{2}}{2R^{2}}}}}\\\left\langle V_{(n,w)}(z)\right\rangle _{{\text{Neumann}},\theta }&={\frac {e^{iw\theta }\delta _{n,0}}{|z-{\bar {z}}|^{\frac {R^{2}w^{2}}{2}}}}\end{aligned}}}$

En el caso de un bosón libre no compacto, sólo hay un estado límite de Neumann, mientras que los estados límite de Dirichlet están parametrizados por un parámetro real. Las funciones de un punto correspondientes son

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle V_{\alpha }(z)\right\rangle _{{\text{Dirichlet}},\theta }&={\frac {e^{\alpha \theta }}{|z-{\bar {z}}|^{2\Delta (\alpha )}}}\\\left\langle V_{\alpha }(z)\right\rangle _{\text{Neumann}}&=\delta (i\alpha )\end{aligned}}}$

donde y para un bosón euclidiano. ${\displaystyle \alpha \in i\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$

Condiciones de contorno conformes

Los límites de Neumann y Dirichlet son los únicos que preservan la simetría afín del bosón libre. Sin embargo, existen límites adicionales que preservan únicamente la simetría conforme.

Si el radio es irracional, los estados de contorno adicionales se parametrizan mediante un número . Las funciones de un punto de los campos primarios afines con se anulan. Sin embargo, los campos primarios de Virasoro que son descendientes afines del campo primario afín con tienen funciones de un punto no triviales. ^[5] ${\displaystyle x\in [-1,1]}$ ${\displaystyle (n,w)\neq (0,0)}$ ${\displaystyle (n,w)=(0,0)}$

Si el radio es racional , los estados límite adicionales están parametrizados por la variedad . ^[6] ${\displaystyle R={\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\frac {SU(2)}{\mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{q}}}}$

Las condiciones de contorno conformes en condiciones arbitrarias también se estudiaron bajo la denominación errónea de " teoría de Liouville de contorno ". ^[7] ${\displaystyle c}$

Teorías y generalizaciones relacionadas

Bosones múltiples y orbifolds

A partir de bosones escalares libres sin masa, es posible construir un producto CFT con el álgebra de simetría . Algunos o todos los bosones pueden compactificarse. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}^{N}}$

En particular, la compactificación de bosones sin carga de fondo en un toro de dimensión 1 (con campo B de Neveu–Schwarz ) da lugar a una familia de CFT llamadas compactificaciones de Narain . Estas CFT existen en cualquier superficie de Riemann y desempeñan un papel importante en la teoría de cuerdas perturbativa . ^{[8] [9]} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Debido a la existencia del automorfismo del álgebra de Lie afín , y de automorfismos más generales de , existen orbifolds de CFT bosónicos libres. ^[10] Por ejemplo, el orbifold del bosón libre compactificado con es el modelo crítico bidimensional de Ashkin-Teller . ^[4] ${\displaystyle J\to -J}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}^{N}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle Q=0}$

Formalismo de los gases de Coulomb

El formalismo de gas de Coulomb es una técnica para construir CFT interactuantes, o algunas de sus funciones de correlación, a partir de CFT bosónicos libres. La idea es perturbar el CFT libre utilizando operadores de cribado de la forma , donde es un campo primario afín de dimensiones conformes . A pesar de su definición perturbativa, la técnica conduce a resultados exactos, gracias a la conservación del momento. ^[3] ${\displaystyle \textstyle {\int }d^{2}z\,O(z)}$ ${\displaystyle O(z)}$ ${\displaystyle (\Delta ,{\bar {\Delta }})=(1,1)}$

En el caso de un único bosón libre con carga de fondo , existen dos operadores de apantallamiento diagonal , donde . Las funciones de correlación en modelos mínimos se pueden calcular utilizando estos operadores de apantallamiento, dando lugar a las integrales de Dotsenko-Fateev . ^[11] También se pueden calcular los residuos de las funciones de correlación en la teoría de Liouville , y esto condujo a la derivación original de la fórmula DOZZ para la constante de estructura de tres puntos. ^{[12] [13]} ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \textstyle {\int }V_{b},\textstyle {\int }V_{b^{-1}}}$ ${\displaystyle Q=b+b^{-1}}$

En el caso de los bosones libres, la introducción de cargas de apantallamiento se puede utilizar para definir CFT no triviales, incluida la teoría de Toda conforme . Las simetrías de estas CFT no triviales se describen mediante subálgebras del álgebra de Lie afín abeliana. Dependiendo de los apantallamientos, estas subálgebras pueden ser o no W-álgebras . ^[14] ${\displaystyle N}$

El formalismo del gas de Coulomb también se puede utilizar en CFT bidimensionales, como el modelo de Potts de estado q y el modelo. ^[15] ${\displaystyle O(n)}$

Varias generalizaciones

En dimensiones arbitrarias, existen teorías de campos conformes llamadas teorías libres generalizadas . Sin embargo, no son generalizaciones de las teorías de campos conformes bosónicas libres en dos dimensiones. En las primeras, es la dimensión conforme la que se conserva (módulo enteros). En las segundas, es el momento.

En dos dimensiones, las generalizaciones incluyen:

• Fermiones libres sin masa.
• CFT fantasma. ^[3]
• CFT libres supersimétricos.

Referencias

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