Campo primario

Tipo de operador local en la teoría de campos conforme

En física teórica , un campo primario , también llamado operador primario , o simplemente primario , es un operador local en una teoría de campos conforme que es aniquilado por la parte del álgebra conforme que consiste en los generadores descendentes. Desde el punto de vista de la teoría de la representación , un primario es el operador de dimensión más baja en una representación dada del álgebra conforme . Todos los demás operadores de una representación se denominan descendientes ; se pueden obtener actuando sobre el primario con los generadores elevadores.

Historia del concepto

Los campos primarios en una teoría de campos conformes D -dimensionales fueron introducidos en 1969 por Mack y Salam ^[1], donde se los llamó campos de interpolación . Luego fueron estudiados por Ferrara, Gatto y Grillo ^[2], quienes los llamaron tensores conformes irreducibles , y por Mack ^[3], quien los llamó pesos más bajos . Polyakov ^[4] utilizó una definición equivalente a la de campos que no pueden representarse como derivados de otros campos.

Los términos modernos campos primarios y descendientes fueron introducidos por Belavin, Polyakov y Zamolodchikov ^[5] en el contexto de la teoría de campos conformes bidimensionales . Esta terminología se utiliza ahora tanto para D =2 como para D >2.

Teoría de campos conforme en D >2 dimensiones espacio-temporales

Los generadores reductores del álgebra conforme en D >2 dimensiones son los generadores de transformación conforme especiales . Los operadores primarios insertados en son aniquilados por estos generadores: . Los descendientes se obtienen actuando sobre los primarios con los generadores de traducción ; estos son sólo los derivados de las primarias. ${\displaystyle K_{\mu }}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle [K_{\mu },{\mathcal {O}}(0)]=0}$ ${\displaystyle P_{\mu }}$

Teoría de campos conforme en D = 2 dimensiones

En dos dimensiones, las teorías de campos conformes son invariantes bajo un álgebra de Virasoro de dimensión infinita con generadores . Los primarios se definen como los operadores aniquilados por todos con n >0, que son los generadores decrecientes. Los descendientes se obtienen de los primarios actuando con n < 0. ${\displaystyle L_{n},{\bar {L}}_{n},-\infty <n<\infty }$ ${\displaystyle L_{n},{\bar {L}}_{n}}$ ${\displaystyle L_{n},{\bar {L}}_{n}}$

El álgebra de Virasoro tiene una subálgebra de dimensión finita generada por . Los operadores aniquilados por se denominan cuasiprimarios. Cada campo primario es cuasi primario, pero lo contrario no es cierto; de hecho, cada primario tiene infinitos descendientes cuasi primarios. Los campos cuasi primarios en la teoría de campos conformes bidimensionales son los análogos directos de los campos primarios en el caso D > 2 dimensiones. ${\displaystyle L_{n},{\bar {L}}_{n},-1\leq n\leq 1}$ ${\displaystyle L_{1},{\bar {L}}_{1}}$

Teoría de campos superconformales [6]

En dimensiones, el álgebra conforme permite extensiones graduadas que contienen generadores fermiónicos. Las teorías cuánticas de campos invariantes con respecto a tales álgebras extendidas se denominan superconformales. En las teorías de campos superconformes, se consideran operadores primarios superconformes. ${\displaystyle D\leq 6}$

En dimensiones, los primarios superconformes son aniquilados por y por los generadores fermiónicos (uno por cada generador de supersimetría). Generalmente, cada representación primaria superconforme incluirá varias primarias del álgebra conforme, que surgen al actuar con las supercargas sobre la primaria superconforme. También existen operadores primarios superconformales quirales especiales , que son operadores primarios aniquilados por alguna combinación de supercargas. ^[6] ${\displaystyle D>2}$ ${\displaystyle K_{\mu }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Q}$

En dimensiones, las teorías de campos superconformes son invariantes bajo las álgebras de super Virasoro , que incluyen una infinidad de operadores fermiónicos. Los primarios superconformales son aniquilados por todos los operadores reductores, bosónicos y fermiónicos. ${\displaystyle D=2}$

Límites de unitaridad

En las teorías de campos unitarios (super)conformes, las dimensiones de los operadores primarios satisfacen límites inferiores llamados límites de unitaridad. ^{[7] [8]} En términos generales, estos límites dicen que la dimensión de un operador no debe ser menor que la dimensión de un operador similar en la teoría de campo libre. En la teoría de campos conforme de cuatro dimensiones, los límites de unitaridad fueron derivados por primera vez por Ferrara, Gatto y Grillo ^[9] y por Mack. ^[3]

Referencias

1. G Mack; Abdus Salam (1969). "Representaciones de campos de componentes finitos del grupo conforme". Anales de Física . 53 (1): 174–202. Código bibliográfico : 1969AnPhy..53..174M. doi :10.1016/0003-4916(69)90278-4. ISSN  0003-4916.
2. Ferrara, Sergio; Raúl Gatto; AF Grillo (1973). Álgebra conforme en espacio-tiempo y expansión de productos de operadores . Springer-Verlag. ISBN 9783540062165.
3. G. Mack (1977). "Todas las representaciones de rayos unitarios del grupo conforme SU (2, 2) con energía positiva". Comunicaciones en Física Matemática . 55 (1): 1–28. doi :10.1007/bf01613145. S2CID  119941999 . Consultado el 5 de diciembre de 2013 .
4. Poliakov, AM (1974). "Enfoque no hamiltoniano de la teoría cuántica de campos conforme". Revista soviética de física experimental y teórica . 39 : 10. Código Bib : 1974JETP...39...10P. ISSN  1063-7761.
5. Belavín, AA; AM Poliakov; AB Zamolodchikov (1984). "Simetría conforme infinita en la teoría cuántica de campos bidimensional". Física Nuclear B. 241 (2): 333–380. Código bibliográfico : 1984NuPhB.241..333B. doi :10.1016/0550-3213(84)90052-X. ISSN  0550-3213.
6. Aharony, Ofer; Steven S. Gubser; Juan Maldacena; Hirosi Ooguri; Yarón Oz (2000). "Teorías de campos de N grandes, teoría de cuerdas y gravedad". Informes de Física . 323 (3–4): 183–386. arXiv : hep-th/9905111 . Código Bib : 2000PhR...323..183A. doi :10.1016/S0370-1573(99)00083-6. ISSN  0370-1573. S2CID  119101855 . Consultado el 5 de diciembre de 2013 .
7. Minwalla, Shiraz (1997). "Restricciones impuestas por la invariancia superconformal en las teorías cuánticas de campos". Adv. Teor. Matemáticas. Física . 2 : 781–846. arXiv : hep-th/9712074 . Consultado el 5 de diciembre de 2013 .
8. Grinstein, Benjamín; Kenneth Intriligador; Ira Z. Rothstein (2008). "Comentarios sobre despartículas". Letras de Física B. 662 (4): 367–374. arXiv : 0801.1140 . Código Bib : 2008PhLB..662..367G. doi :10.1016/j.physletb.2008.03.020. ISSN  0370-2693. S2CID  5240874 . Consultado el 5 de diciembre de 2013 .
9. Ferrara, S.; R. Gatto; A. Grillo (1974). "Restricción de positividad en dimensiones anómalas". Revisión física D. 9 (12): 3564–3565. Código bibliográfico : 1974PhRvD...9.3564F. doi : 10.1103/PhysRevD.9.3564. ISSN  0556-2821 . Consultado el 5 de diciembre de 2013 .