En física matemática , la simetría conforme del espaciotiempo se expresa mediante una extensión del grupo de Poincaré , conocido como grupo conforme . La extensión incluye transformaciones conformes especiales y dilataciones . En tres dimensiones espaciales más una temporal, la simetría conforme tiene 15 grados de libertad : diez para el grupo de Poincaré, cuatro para transformaciones conformes especiales y uno para una dilatación.
Harry Bateman y Ebenezer Cunningham fueron los primeros en estudiar la simetría conforme de las ecuaciones de Maxwell . Llamaron a una expresión genérica de simetría conforme transformación de onda esférica . La relatividad general en dos dimensiones espacio-temporales también disfruta de simetría conforme. [1]
El álgebra de Lie del grupo conforme tiene la siguiente representación : [2]
donde están los generadores de Lorentz , genera traslaciones , genera transformaciones de escala (también conocidas como dilataciones o dilataciones) y genera las transformaciones conformes especiales .
Las relaciones de conmutación son las siguientes: [2]
otros conmutadores desaparecen. Aquí está el tensor métrico de Minkowski .
Además, es un escalar y un vector covariante según las transformaciones de Lorentz .
Las transformaciones conformes especiales vienen dadas por [3]
donde es un parámetro que describe la transformación. Esta transformación conforme especial también se puede escribir como , donde
lo que muestra que consta de una inversión, seguida de una traducción, seguida de una segunda inversión.
En el espacio-tiempo bidimensional , las transformaciones del grupo conforme son las transformaciones conformes . Hay infinitos de ellos.
En más de dos dimensiones, las transformaciones conformes euclidianas asignan círculos a círculos y hiperesferas a hiperesferas; una línea recta se considera un círculo degenerado y un hiperplano, un hipercírculo degenerado.
En más de dos dimensiones de Lorentz , las transformaciones conformes asignan rayos nulos a rayos nulos y conos de luz a conos de luz, siendo un hiperplano nulo un cono de luz degenerado.
En las teorías relativistas de campos cuánticos, la posibilidad de simetrías está estrictamente restringida por el teorema de Coleman-Mandula bajo supuestos físicamente razonables. El grupo de simetría global más grande posible de una teoría de campos interactuantes no supersimétricos es un producto directo del grupo conforme con un grupo interno . [4] Estas teorías se conocen como teorías de campos conformes .
Una aplicación particular es a fenómenos críticos en sistemas con interacciones locales. Las fluctuaciones [ se necesita aclaración ] en tales sistemas son conformemente invariantes en el punto crítico. Eso permite la clasificación de clases de universalidad de transiciones de fase en términos de teorías de campo conformes.
La invariancia conforme también está presente en la turbulencia bidimensional con un número de Reynolds alto . [ cita necesaria ]
Muchas teorías estudiadas en física de altas energías admiten simetría conforme debido a que normalmente está implícita en la invariancia de escala local (ver aquí para motivación y contraejemplos). Un ejemplo famoso es la teoría supersimétrica de Yang-Mills d = 4, N = 4 debido a su relevancia para la correspondencia AdS/CFT . Además, la hoja del mundo en la teoría de cuerdas se describe mediante una teoría de campos conforme bidimensional acoplada a una gravedad bidimensional.
Los físicos han descubierto que muchos modelos reticulares se vuelven conformemente invariantes en el límite crítico. Sin embargo, las demostraciones matemáticas de estos resultados no aparecieron hasta mucho más tarde y sólo en algunos casos.
En 2010, el matemático Stanislav Smirnov recibió la medalla Fields "por la prueba de la invariancia conforme de la percolación y el modelo plano de Ising en física estadística". [5]
En 2020, el matemático Hugo Duminil-Copin y sus colaboradores demostraron que existe invariancia rotacional en el límite entre fases en muchos sistemas físicos. [6] [7]
![{\displaystyle {\begin{alineado}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,, \\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu } ,M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_ {\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\ \&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{ \nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c1cebad87b5e53e8458678669adeec3e825296d)
