Transformación conforme especial

Clase especial de transformaciones fraccionarias lineales.

Una cuadrícula de coordenadas antes de una transformación conforme especial.

La misma cuadrícula después de una transformación conforme especial.

En geometría proyectiva , una transformación conforme especial es una transformación fraccionaria lineal que no es una transformación afín . Por lo tanto, la generación de una transformación conforme especial implica el uso de inversión multiplicativa , que es el generador de transformaciones fraccionarias lineales que no son afines.

En física matemática , ciertos mapas conformes conocidos como transformaciones de ondas esféricas son transformaciones conformes especiales .

Presentación vectorial

Se puede escribir una transformación conforme especial ^[1]

${\displaystyle x'^{\mu }={\frac {x^{\mu }-b^{\mu }x^{2}}{1-2b\cdot x+b^{2}x^{2}}}={\frac {x^{2}}{|x-bx^{2}|^{2}}}(x^{\mu }-b^{\mu }x^{2})\,.}$

Es una composición de una inversión ( x ^μ  →  x ^μ /x ² = y ^μ ), una traslación ( y ^μ  →  y ^μ  −  b ^μ = z ^μ ) y otra inversión ( z ^μ  →  z ^μ /z ² = x ′ ^μ )

${\displaystyle {\frac {x'^{\mu }}{x'^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-b^{\mu }\,.}$

Su generador infinitesimal es

${\displaystyle K_{\mu }=-i(2x_{\mu }x^{\nu }\partial _{\nu }-x^{2}\partial _{\mu })\,.}$

Se han utilizado transformaciones conformes especiales para estudiar el campo de fuerza de una carga eléctrica en movimiento hiperbólico . ^[2]

presentación proyectiva

La inversión también se puede considerar ^[3] como una inversión multiplicativa de bicuaterniones B. El álgebra compleja B se puede extender a P( B ) a través de la recta proyectiva sobre un anillo . Las homografías de P ( B ) incluyen traducciones:

${\displaystyle U(q:1){\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}=U(q+t:1).}$

El grupo de homografía G( B ) incluye traslaciones en el infinito con respecto a la incrustación q → U( q :1);

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}.}$

La matriz describe la acción de una transformación conforme especial. ^[4]

Propiedad del grupo

Las traslaciones forman un subgrupo del grupo fraccionario lineal que actúa sobre una línea proyectiva. Hay dos incrustaciones en la línea proyectiva de coordenadas homogéneas : z → [ z :1] y z → [1: z ]. Una operación de suma corresponde a una traducción en la primera incrustación. Las traslaciones a la segunda incrustación son transformaciones conformes especiales, que forman traslaciones en el infinito. La suma mediante estas transformaciones corresponde a los términos antes de la suma y luego devuelve el resultado mediante otra reciprocidad. Esta operación se llama operación paralela . En el caso del plano complejo, el operador paralelo forma una operación de suma en un campo alternativo usando el infinito pero excluyendo el cero. Las traslaciones en el infinito forman así otro subgrupo del grupo de homografía en la línea proyectiva.

Historia

El término transformación conforme especial ("speziellen konformen Transformationen" en alemán) fue utilizado por primera vez en 1962 por Hans Kastrup. ^{[5] [6]}

Referencias

1. Di Francesco; Mathieu, Sénéchal (1997). Teoría de campos conforme . Textos de posgrado en física contemporánea. Saltador. págs. 97–98. ISBN 978-0-387-94785-3.
2. Galeriu, Cǎlin (2019) "Carga eléctrica en movimiento hiperbólico: la solución conforme especial", European Journal of Physics 40(6) doi :10.1088/1361-6404/ab3df6
3. Arthur Conway (1911) "Sobre la aplicación de cuaterniones a algunos desarrollos recientes de la teoría eléctrica", Actas de la Real Academia Irlandesa 29:1–9, en particular la página 9
4. Álgebra de composición asociativa / Homografías en Wikilibros
5. Kastrup, HA (1962). "Zur physikalischen Deutung und darstellungstheoretischen Analyse der konformen Transformationen von Raum und Zeit". Annalen der Physik . 464 (7–8): 388–428. doi : 10.1002/andp.19624640706. ISSN  0003-3804.
6. Kastrup, HA (18 de septiembre de 2008). "Sobre los avances de las transformaciones conformes y sus simetrías asociadas en geometría y física teórica *". Annalen der Physik . 520 (9–10): 631–690. doi :10.1002/andp.200852009-1005. ISSN  0003-3804.