Álgebra W

Álgebra asociativa que generaliza el álgebra de Virasoro

En la teoría de campos conformes y la teoría de representaciones , una W-álgebra es un álgebra asociativa que generaliza el álgebra de Virasoro . Las W-álgebras fueron introducidas por Alexander Zamolodchikov , ^[1] y el nombre "W-álgebra" proviene del hecho de que Zamolodchikov usó la letra W para uno de los elementos de uno de sus ejemplos.

Definición

Un álgebra W es un álgebra asociativa que se genera por los modos de un número finito de campos meromórficos , incluido el tensor de energía-momento . Para , es un campo primario de dimensión conforme . ^[2] Los generadores del álgebra están relacionados con los campos meromórficos por las expansiones de los modos ${\displaystyle W^{(h)}(z)}$ ${\displaystyle T(z)=W^{(2)}(z)}$ ${\displaystyle h\neq 2}$ ${\displaystyle W^{(h)}(z)}$ ${\displaystyle h\in {\frac {1}{2}}\mathbb {N} ^{*}}$ ${\displaystyle (W_{n}^{(h)})_{n\in \mathbb {Z} }}$

${\displaystyle W^{(h)}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }W_{n}^{(h)}z^{-n-h}}$

Las relaciones de conmutación de están dadas por el álgebra de Virasoro , que está parametrizada por una carga central . Este número también se denomina carga central del álgebra W. Las relaciones de conmutación ${\displaystyle L_{n}=W_{n}^{(2)}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle [L_{m},W_{n}^{(h)}]=((h-1)m-n)W_{m+n}^{(h)}}$

son equivalentes a la suposición de que es un campo primario de dimensión . El resto de las relaciones de conmutación pueden determinarse en principio resolviendo las identidades de Jacobi . ${\displaystyle W^{(h)}(z)}$ ${\displaystyle h}$

Dado un conjunto finito de dimensiones conformes (no necesariamente todas distintas), el número de W-álgebras generadas por puede ser cero, uno o más. Las W-álgebras resultantes pueden existir para todos los , o solo para algunos valores específicos de la carga central. ^[2] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (W^{(h)})_{h\in H}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$

Una W-álgebra se denomina de generación libre si sus generadores no obedecen a otras relaciones que las de conmutación. Las W-álgebras estudiadas con mayor frecuencia son las de generación libre, incluidas las W(N). ^[3] En este artículo, las secciones sobre teoría de representación y funciones de correlación se aplican a las W-álgebras de generación libre.

Construcciones

Si bien es posible construir W-álgebras asumiendo la existencia de varios campos meromórficos y resolviendo las identidades de Jacobi , también existen construcciones sistemáticas de familias de W-álgebras. ${\displaystyle W^{(h)}(z)}$

Reducción de Drinfeld-Sokolov

A partir de un álgebra de Lie de dimensión finita , junto con una incrustación , se puede construir un álgebra W a partir del álgebra envolvente universal del álgebra de Lie afín mediante un tipo de construcción BRST . ^[2] Entonces, la carga central del álgebra W es una función del nivel del álgebra de Lie afín. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$

Construcción de coset

Dada un álgebra de Lie de dimensión finita , junto con un subálgebra , se puede construir un W-álgebra a partir de las álgebras de Lie afines correspondientes . Los campos que generan son los polinomios en las corrientes de y sus derivadas que conmutan con las corrientes de . ^[2] La carga central de es la diferencia de las cargas centrales de y , que están dadas en términos de su nivel por la construcción de Sugawara . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle W({\hat {\mathfrak {g}}}/{\hat {\mathfrak {h}}})}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {h}}}\hookrightarrow {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle W({\hat {\mathfrak {g}}}/{\hat {\mathfrak {h}}})}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {h}}}}$ ${\displaystyle W({\hat {\mathfrak {g}}}/{\hat {\mathfrak {h}}})}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {h}}}}$

Conmutador de un conjunto de apantallamientos

Dado un campo holomorfo con valores en , y un conjunto de vectores , una W-álgebra puede definirse como el conjunto de polinomios de y sus derivadas que conmutan con las cargas de apantallamiento . Si los vectores son las raíces simples de un álgebra de Lie , la W-álgebra resultante coincide con un álgebra que se obtiene a partir de mediante la reducción de Drinfeld-Sokolov. ^[4] ${\displaystyle \phi (z)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \oint e^{(a_{i},\phi (z))}dz}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Las álgebras W(N)

Para cualquier entero , el álgebra W(N) es un álgebra W que se genera a partir de cuerpos meromórficos de dimensiones . El álgebra W(2) coincide con el álgebra de Virasoro . ${\displaystyle N\geq 2}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle 2,3,\dots ,N}$

Construcción

El álgebra W(N) se obtiene por reducción de Drinfeld-Sokolov del álgebra de Lie afín . ${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N}}$

Las incrustaciones están parametrizadas por las particiones enteras de , interpretadas como descomposiciones de la representación fundamental de en representaciones de . El conjunto de dimensiones de los generadores del W-álgebra resultante es tal que donde es la representación irreducible -dimensional de . ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\hookrightarrow {\mathfrak {sl}}_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{N}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F\otimes F=R_{1}\oplus \bigoplus _{h\in H}R_{2h-1}}$ ${\displaystyle R_{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

La partición trivial corresponde al álgebra W(N), mientras que corresponde a sí misma. En el caso , la partición conduce al álgebra de Bershadsky-Polyakov, cuyos campos generadores tienen las dimensiones . ${\displaystyle N=N}$ ${\displaystyle N=1+1+\dots +1}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N}}$ ${\displaystyle N=3}$ ${\displaystyle 3=2+1}$ ${\displaystyle 2,{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}},1}$

Propiedades

La carga central del álgebra W(N) se da en términos del nivel del álgebra de Lie afín por ${\displaystyle k}$

${\displaystyle c_{W(N)}=(N-1)\left(1-N(N+1)\left({\frac {1}{k+N}}+k+N-2\right)\right)}$

en notaciones donde la carga central del álgebra de Lie afín es

${\displaystyle c_{{\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N}}=(N-1)(N+1)-{\frac {N(N-1)(N+1)}{k+N}}}$

Es posible elegir una base tal que las relaciones de conmutación sean invariantes bajo . ${\displaystyle W^{(h)}\to (-1)^{h}W^{(h)}}$

Mientras que el álgebra de Virasoro es una subálgebra del álgebra envolvente universal de , el álgebra W(N) con no es una subálgebra del álgebra envolvente universal de . ^[6] ${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {sl}}}_{2}}$ ${\displaystyle N\geq 3}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N}}$

Ejemplo del álgebra W(3)

El álgebra W(3) se genera a partir de los generadores del álgebra de Virasoro , más otra familia infinita de generadores . Las relaciones de conmutación son ^[2] ${\displaystyle (L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle (W_{n})_{n\in \mathbb {Z} }=(W_{n}^{(3)})_{n\in \mathbb {Z} }}$

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}m(m^{2}-1)\delta _{m+n,0}}$

${\displaystyle [L_{m},W_{n}]=(2m-n)W_{m+n}}$

${\displaystyle [W_{m},W_{n}]={\frac {c}{360}}m(m^{2}-1)(m^{2}-4)\delta _{m+n,0}+{\frac {16}{22+5c}}\Lambda _{m+n}+{\frac {(m-n)(2m^{2}-mn+2n^{2}-8)}{30}}L_{m+n}}$

¿Dónde está la carga central y definimos? ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \Lambda _{n}=\sum _{m=-\infty }^{-2}L_{m}L_{n-m}+\sum _{m=-1}^{\infty }L_{n-m}L_{m}-{\frac {3}{10}}(n+2)(n+3)L_{n}}$

El campo es tal que . ${\displaystyle \Lambda (z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\Lambda _{n}z^{-n-4}}$ ${\displaystyle \Lambda =(TT)-{\frac {3}{10}}T''}$

Teoría de la representación

Representaciones de mayor peso

Una representación de mayor peso de un álgebra W es una representación generada por un estado primario: un vector tal que ${\displaystyle v}$

${\displaystyle W_{n>0}^{(h)}v=0\quad ,\quad W_{0}^{(h)}v=q^{(h)}v}$

para algunos números llamados cargas, incluida la dimensión conforme . ${\displaystyle q^{(h)}}$ ${\displaystyle q^{(2)}=\Delta }$

Dado un conjunto de cargas, el módulo de Verma correspondiente es la representación más grande y de mayor peso que genera un estado primario con estas cargas. Una base del módulo de Verma es ${\displaystyle {\vec {q}}=(q^{(h)})_{h\in H}}$

${\displaystyle \left\{\prod _{h\in H}W_{-{\vec {N}}_{h}}^{(h)}v\right\}_{{\vec {N}}_{h}\in {\mathcal {V}}}}$

donde es el conjunto de tuplas ordenadas de números enteros estrictamente positivos del tipo con , y . Excepto él mismo, los elementos de esta base se denominan estados descendientes, y sus combinaciones lineales también se denominan estados descendientes. ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\vec {N}}=(n_{1},n_{2},\dots ,n_{p})}$ ${\displaystyle 0<n_{1}\leq n_{2}\leq \dots \leq n_{p}}$ ${\displaystyle W_{-{\vec {N}}}=W_{-n_{1}}W_{-n_{2}}\dots W_{-n_{p}}}$ ${\displaystyle v}$

Para valores genéricos de las cargas, el módulo de Verma es la única representación de mayor peso. Para valores especiales de las cargas que dependen de la carga central del álgebra, existen otras representaciones de mayor peso, llamadas representaciones degeneradas. Las representaciones degeneradas existen si el módulo de Verma es reducible y son cocientes del módulo de Verma por sus submódulos no triviales.

Representaciones degeneradas

Si un módulo de Verma es reducible, cualquier submódulo indecomponible es en sí mismo una representación de mayor peso y se genera mediante un estado que es a la vez descendiente y primario, llamado estado nulo o vector nulo. Una representación degenerada se obtiene estableciendo uno o más vectores nulos en cero. Establecer todos los vectores nulos en cero conduce a una representación irreducible.

Las estructuras y caracteres de las representaciones irreducibles se pueden deducir mediante la reducción de Drinfeld-Sokolov a partir de representaciones de álgebras de Lie afines. ^[7]

La existencia de vectores nulos es posible solo bajo restricciones dependientes de la carga . Un módulo de Verma puede tener solo un número finito de vectores nulos que no sean descendientes de otros vectores nulos. Si partimos de un módulo de Verma que tiene un número máximo de vectores nulos y fijamos todos estos vectores nulos en cero, obtenemos una representación irreducible llamada representación completamente degenerada. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\vec {q}}}$

Por ejemplo, en el caso del álgebra W(3), el módulo de Verma con cargas que se desvanecen tiene los tres vectores nulos en los niveles 1, 1 y 2. Fijando estos vectores nulos a cero se obtiene una representación completamente degenerada llamada módulo de vacío. La representación completamente degenerada no trivial más simple de W(3) tiene vectores nulos que se desvanecen en los niveles 1, 2 y 3, cuyas expresiones se conocen explícitamente. ^[8] ${\displaystyle q^{(2)}=q^{(3)}=0}$ ${\displaystyle L_{-1}v,W_{-1}v,W_{-2}v}$

Una caracterización alternativa de una representación completamente degenerada es que su producto de fusión con cualquier módulo de Verma es una suma de un número finito de representaciones indecomponibles. ^[8]

Caso de W(N)

Es conveniente parametrizar las representaciones de mayor peso no por el conjunto de cargas , sino por un elemento del espacio de pesos de , llamado momento. ${\displaystyle {\vec {q}}=(q^{(2)},\dots ,q^{(N)})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{N}}$

Sean las raíces simples de , con un producto escalar dado por la matriz de Cartan de , cuyos elementos distintos de cero son . Las raíces simples positivas son sumas de cualquier número de raíces simples consecutivas, y el vector de Weyl es su semisuma , que obedece a . Los pesos fundamentales están definidos por . Entonces el momento es un vector ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{N-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{N}}$ ${\displaystyle K_{ij}=(e_{i},e_{j})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{N}}$ ${\displaystyle K_{ii}=2,K_{i,i+1}=K_{i,i-1}=-1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}N(N-1)}$ ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\sum _{e>0}e}$ ${\displaystyle (\rho ,\rho )={\frac {1}{12}}N(N^{2}-1)}$ ${\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{N-1}}$ ${\displaystyle (\omega _{i},e_{j})=\delta _{ij}}$

${\displaystyle P=\sum _{i=1}^{N-1}P_{i}\omega _{i}\quad i.e.\quad (e_{i},P)=P_{i}}$

Las cargas son funciones del momento y de la carga central, invariantes bajo la acción del grupo de Weyl . En particular, es un polinomio del momento de grado , que bajo el automorfismo del diagrama de Dynkin se comporta como . La dimensión conforme es ^[9] ${\displaystyle q^{(h)}}$ ${\displaystyle q^{(h)}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle e_{i}^{*}=e_{N-i}}$ ${\displaystyle q^{(h)}(P^{*})=(-1)^{h}q^{(h)}(P)}$

${\displaystyle q^{(2)}={\frac {c+1-N}{24}}-(P,P)}$

Parametricemos la carga central en términos de un número tal que ${\displaystyle b}$

${\displaystyle c=(N-1){\big (}1+N(N+1)\left(b+b^{-1}\right)^{2}{\big )}}$

Si hay una raíz positiva y dos números enteros tales que ^[9] ${\displaystyle e>0}$ ${\displaystyle r,s\in \mathbb {N} ^{*}}$

${\displaystyle (e,P)=rb+sb^{-1}}$

entonces el módulo de Verma del momento tiene un vector nulo en el nivel . Este vector nulo es en sí mismo un estado primario del momento o equivalentemente (por una reflexión de Weyl) . El número de vectores nulos independientes es el número de raíces positivas tales que (hasta una reflexión de Weyl). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle rs}$ ${\displaystyle P-rbe}$ ${\displaystyle P-sb^{-1}e}$ ${\displaystyle (e,P)\in \mathbb {N} ^{*}b+\mathbb {N} ^{*}b^{-1}}$

El número máximo de vectores nulos es el número de raíces positivas . Los momentos correspondientes son del tipo ^[9] ${\displaystyle {\frac {1}{2}}N(N-1)}$

${\displaystyle P=(b+b^{-1})\rho +b\Omega ^{+}+b^{-1}\Omega ^{-}}$

donde son pesos dominantes integrales , es decir, elementos de , que son los pesos más altos de las representaciones de dimensión finita irreducibles de . Llamemos a la representación completamente degenerada correspondiente del álgebra W(N). ${\displaystyle \Omega ^{+},\Omega ^{-}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N-1}\mathbb {N} \omega _{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\Omega _{+},\Omega _{-}}}$

La representación finito-dimensional irreducible de de mayor peso tiene un conjunto finito de pesos , con . Su producto tensorial con un módulo Verma de peso es . El producto de fusión de la representación completamente degenerada de W(N) con un módulo Verma de momento es entonces ${\displaystyle R_{\Omega }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{N}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Lambda _{\Omega }}$ ${\displaystyle |\Lambda _{\Omega }|=\dim(R_{\Omega })}$ ${\displaystyle V_{p}}$ ${\displaystyle p\in \sum _{i=1}^{N-1}\mathbb {R} \omega _{i}}$ ${\displaystyle R_{\Omega }\otimes V_{p}=\bigoplus _{\lambda \in \Lambda _{\Omega }}V_{p+\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\Omega _{+},\Omega _{-}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{P}}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\Omega _{+},\Omega _{-}}\times {\mathcal {V}}_{P}=\sum _{\lambda _{+}\in \Lambda _{\Omega _{+}}}\sum _{\lambda _{-}\in \Lambda _{\Omega _{-}}}{\mathcal {V}}_{P+b\lambda _{+}+b^{-1}\lambda _{-}}}$

Funciones de correlación

Campos primarios

A un estado primario de carga , la correspondencia estado-campo asocia un campo primario , cuyas expansiones del producto del operador con los campos son ${\displaystyle {\vec {q}}=(q^{(h)})_{h\in H}}$ ${\displaystyle V_{\vec {q}}(z)}$ ${\displaystyle W^{(h)}(z)}$

${\displaystyle W^{(h)}(y)V_{\vec {q}}(z)=\left({\frac {q^{(h)}}{(y-z)^{h}}}+\sum _{n=1}^{h-1}{\frac {W_{-n}^{(h)}}{(y-z)^{h-n}}}\right)V_{\vec {q}}(z)+O(1)}$

En cualquier campo , el modo del tensor de energía-momento actúa como una derivada, . ${\displaystyle V(z)}$ ${\displaystyle L_{-1}}$ ${\displaystyle L_{-1}V(z)={\frac {\partial }{\partial z}}V(z)}$

Identidades de los barrios

En la esfera de Riemann, si no hay cuerpo en el infinito, tenemos . Para , la identidad puede insertarse en cualquier función de correlación. Por lo tanto, el cuerpo da lugar a identidades globales de Ward. ${\displaystyle W^{(h)}(y){\underset {y\to \infty }{=}}O\left(y^{-2h}\right)}$ ${\displaystyle n=0,1,\dots ,2h-2}$ ${\displaystyle \oint _{\infty }dy\ y^{n}W^{(h)}(y)=0}$ ${\displaystyle W^{(h)}(y)}$ ${\displaystyle 2h-1}$

Las identidades de Ward locales se obtienen insertando , donde es una función meromórfica tal que . En una función de correlación de campos primarios, las identidades de Ward locales determinan la acción de con en términos de la acción de con . ${\displaystyle \oint _{\infty }dy\ \varphi (y)W^{(h)}(y)=0}$ ${\displaystyle \varphi (y)}$ ${\displaystyle \varphi (y){\underset {y\to \infty }{=}}O\left(y^{2h-2}\right)}$ ${\displaystyle W_{-n}^{(h)}}$ ${\displaystyle n\geq h}$ ${\displaystyle W_{-n}^{(h)}}$ ${\displaystyle n\leq h-1}$

Por ejemplo, en el caso de una función de tres puntos en la esfera de cuerpos primarios W(3), las identidades de Ward locales determinan todas las funciones de tres puntos descendientes como combinaciones lineales de funciones de tres puntos descendientes que involucran solo . Las identidades de Ward globales reducen aún más el problema a la determinación de funciones de tres puntos del tipo para . ${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{3}V_{{\vec {q}}_{i}}(z_{i})\right\rangle }$ ${\displaystyle L_{-1},W_{-1},W_{-2}}$ ${\displaystyle \left\langle V_{{\vec {q}}_{1}}(z_{1})V_{{\vec {q}}_{2}}(z_{2})W_{-1}^{k}V_{{\vec {q}}_{3}}(z_{3})\right\rangle }$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

En el álgebra W(3), al igual que en las W-álgebras genéricas, las funciones de correlación de los cuerpos descendientes no pueden, por lo tanto, deducirse a partir de las funciones de correlación de los cuerpos primarios utilizando identidades de Ward, como era el caso del álgebra de Virasoro. Un módulo W(3)-Verma aparece en el producto de fusión de otros dos módulos W(3)-Verma con una multiplicidad que, en general, es infinita.

Ecuaciones diferenciales

Una función de correlación puede obedecer a una ecuación diferencial que generaliza las ecuaciones BPZ si los campos tienen suficientes vectores nulos que se desvanecen.

Una función de cuatro puntos de campos W(N)-primarios en la esfera con un campo completamente degenerado obedece a una ecuación diferencial si pero no si . En el último caso, para que exista una ecuación diferencial, uno de los otros campos debe tener vectores nulos que se anulen. Por ejemplo, una función de cuatro puntos con dos campos de momentos (completamente degenerados) y con (casi completamente degenerados) obedece a una ecuación diferencial cuyas soluciones son funciones hipergeométricas generalizadas de tipo . ^[10] ${\displaystyle N=2}$ ${\displaystyle N\geq 3}$ ${\displaystyle P_{1}=(b+b^{-1})\rho +b\omega _{1}}$ ${\displaystyle P_{2}=(b+b^{-1})\rho +x\omega _{N-1}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {}_{N}F_{N-1}}$

Aplicaciones a la teoría de campos conforme

Modelos W-minimalistas

Los modelos W-minimal son generalizaciones de los modelos mínimos de Virasoro basados ​​en un álgebra W. Sus espacios de estados están formados por un número finito de representaciones completamente degeneradas. Existen para ciertos valores racionales de la carga central: en el caso del álgebra W(N), valores del tipo

${\displaystyle c_{p,q}^{(N)}=N-1-N(N^{2}-1){\frac {(p-q)^{2}}{pq}}\quad {\text{with}}\quad p,q\in \mathbb {N} ^{*}}$

El modelo AW(N)-mínimo con carga central se puede construir como un conjunto de modelos de Wess-Zumino-Witten . ^[11] ${\displaystyle c_{k+N,k+N+1}}$ ${\displaystyle {\frac {SU(N)_{k}\times SU(N)_{1}}{SU(N)_{k+1}}}}$

Por ejemplo, el modelo crítico bidimensional de tres estados de Potts tiene carga central . Los observables de espín del modelo pueden describirse en términos del modelo mínimo no diagonal de Virasoro de la serie D con , o en términos del modelo mínimo diagonal W(3) con . ${\displaystyle c_{5,6}^{(2)}=c_{4,5}^{(3)}={\frac {4}{5}}}$ ${\displaystyle (p,q)=(5,6)}$ ${\displaystyle (p,q)=(4,5)}$

Teoría de Toda conforme

La teoría de Toda conforme es una generalización de la teoría de Liouville que se basa en un álgebra W. Dada un álgebra de Lie simple , el lagrangiano es una función de un cuerpo que pertenece al espacio raíz de , con un término de interacción para cada raíz simple: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle L[\phi ]={\frac {1}{2\pi }}(\partial \phi ,{\bar {\partial }}\phi )+\mu \sum _{e\in \{{\text{simple roots of }}{\mathfrak {g}}\}}\exp \left(b(e,\phi )\right)}$

Esto depende de la constante cosmológica , que no desempeña ningún papel significativo, y del parámetro , que está relacionado con la carga central. La teoría de campos resultante es una teoría de campos conforme, cuya álgebra de simetría quiral es un álgebra W construida a partir de la reducción de Drinfeld-Sokolov. Para la preservación de la simetría conforme en la teoría cuántica, es crucial que no haya más términos de interacción que componentes del vector . ^[4] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \phi }$

Los métodos que conducen a la solución de la teoría de Liouville se pueden aplicar a la teoría de Toda W(N)-conforme, pero sólo conducen a la determinación analítica de una clase particular de constantes de estructura de tres puntos, ^[10] y la teoría de Toda W(N)-conforme no ha sido resuelta. ${\displaystyle N\geq 3}$

Teoría de campos conformes logarítmicos

En carga central , el álgebra de Virasoro puede extenderse mediante un triplete de generadores de dimensión , formando así un W-álgebra con el conjunto de dimensiones . Entonces es posible construir una teoría de campo conforme racional basada en esta W-álgebra, que es logarítmica. ^[12] El caso más simple se obtiene para , tiene carga central , y ha sido particularmente bien estudiado, incluso en presencia de un límite. ^[13] ${\displaystyle c=c_{1,q}^{(2)}}$ ${\displaystyle 2q-1}$ ${\displaystyle H=\{2,2q-1,2q-1,2q-1\}}$ ${\displaystyle q=2}$ ${\displaystyle c=-2}$

Conceptos relacionados

Álgebras W clásicas

Álgebras W finitas

Las W-álgebras finitas son ciertas álgebras asociativas asociadas a elementos nilpotentes de álgebras de Lie semisimples . ^[14]

La definición original, proporcionada por Alexander Premet, comienza con un par que consiste en un álgebra de Lie reductiva sobre los números complejos y un elemento nilpotente e . Por el teorema de Jacobson-Morozov , e es parte de una terna sl _{2 (} e , h , f ). La descomposición en el espacio propio de ad( h ) induce una -graduación en : ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},e)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus {\mathfrak {g}}(i).}$

Definamos un carácter (es decir, un homomorfismo de al álgebra de Lie unidimensional trivial) mediante la regla , donde denota la forma Killing . Esto induce una forma bilineal antisimétrica no degenerada en la pieza graduada −1 mediante la regla: ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \chi (x)=\kappa (e,x)}$ ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \omega _{\chi }(x,y)=\chi ([x,y]).}$

Después de elegir cualquier subespacio lagrangiano , podemos definir la siguiente subálgebra nilpotente que actúa sobre el álgebra envolvente universal mediante la acción adjunta . ${\displaystyle l}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}=l+\bigoplus _{i\leq -2}{\mathfrak {g}}(i).}$

El ideal izquierdo del álgebra envolvente universal generado por es invariante bajo esta acción. De un cálculo breve se deduce que los invariantes en bajo ad heredan la estructura del álgebra asociativa de . El subespacio invariante se denomina álgebra W finita construida a partir de , y se suele denotar como . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \{x-\chi (x):x\in {\mathfrak {m}}\}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})/I}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {m}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle (U({\mathfrak {g}})/I)^{{\text{ad}}({\mathfrak {m}})}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},e)}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}},e)}$

Referencias

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11. Chang, Chi-Ming; Yin, Xi (2012). "Correladores en el modelo mínimo de WN revisados". Journal of High Energy Physics . 2012 (10). arXiv : 1112.5459 . doi :10.1007/jhep10(2012)050. ISSN  1029-8479. S2CID  119114132.
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13. Gaberdiel, Matthias R; Runkel, Ingo (8 de noviembre de 2006). "La teoría del triplete logarítmico con límite". Journal of Physics A: Mathematical and General . 39 (47): 14745–14779. arXiv : hep-th/0608184 . Bibcode :2006JPhA...3914745G. doi :10.1088/0305-4470/39/47/016. ISSN  0305-4470. S2CID  10719319.
14. Wang, Weiqiang (2011). "Órbitas nilpotentes y álgebras W finitas". En Neher, Erhard; Savage, Alistair; Wang, Weiqiang (eds.). Teoría de la representación geométrica y álgebras de Lie afines extendidas . Fields Institute Communications Series. Vol. 59. Providence RI. págs. 71–105. arXiv : 0912.0689 . Código Bibliográfico :2009arXiv0912.0689W. ISBN . 978-082185237-8.Señor 2777648  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Lectura adicional

• de Boer, Jan; Tjin, Tjark (1993), "Teoría de la cuantificación y la representación de álgebras finitas de W", Communications in Mathematical Physics , 158 (3): 485–516, arXiv : hep-th/9211109 , Bibcode :1993CMaPh.158..485D, doi :10.1007/bf02096800, ISSN  0010-3616, MR  1255424, S2CID  204933347
• Bouwknegt, P.; Schoutens, K., eds. (1995), W-symmetry, Serie avanzada en física matemática, vol. 22, River Edge, Nueva Jersey: World Scientific Publishing Co., doi : 10.1142/2354, ISBN 978-981021762-4, Sr.  1338864
• Brown, Jonathan, Álgebras W finitas de tipo clásico (PDF)
• Dickey, LA (1997), "Conferencias sobre álgebras W clásicas", Acta Applicandae Mathematicae , 47 (3): 243–321, doi :10.1023/A:1017903416906, ISSN  0167-8019, S2CID  118573600
• Gan, Wee Liang; Ginzburg, Victor (2002), "Cuantización de cortes de Slodowy", International Mathematics Research Notices , 2002 (5): 243–255, arXiv : math/0105225 , doi : 10.1155/S107379280210609X , ISSN  1073-7928, MR  1876934, S2CID  13895488
• Losev, Ivan (2010), "Acciones simplécticas cuantificadas y álgebras W", Journal of the American Mathematical Society , 23 (1): 35–59, arXiv : 0707.3108 , Bibcode :2010JAMS...23...35L, doi :10.1090/S0894-0347-09-00648-1, ISSN  0894-0347, MR  2552248, S2CID  16211165
• Pope, CN (1991), Lecciones sobre álgebras W y gravedad W , Lecciones dictadas en la Escuela de Verano de Física de Altas Energías de Trieste, agosto de 1991, arXiv : hep-th/9112076 , Bibcode :1991hep.th...12076P