Modelo mínimo (física)

Familia de teorías de campos conformes 2D resueltas

En física teórica , un modelo mínimo o modelo mínimo de Virasoro es una teoría de campos conforme bidimensional cuyo espectro se construye a partir de un número finito de representaciones irreducibles del álgebra de Virasoro . Se han clasificado y resuelto modelos mínimos, y se ha descubierto que obedecen a una clasificación ADE . ^[1] El término modelo mínimo también puede referirse a una CFT racional basada en un álgebra que es más grande que el álgebra de Virasoro , como un álgebra W.

Representaciones relevantes del álgebra de Virasoro

Representaciones

En los modelos mínimos, la carga central del álgebra de Virasoro toma valores del tipo

${\displaystyle c_{p,q}=1-6{(p-q)^{2} \over pq}\ .}$

donde son números enteros coprimos tales que . Entonces las dimensiones conformes de las representaciones degeneradas son ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle p,q\geq 2}$

${\displaystyle h_{r,s}={\frac {(pr-qs)^{2}-(p-q)^{2}}{4pq}}\ ,\quad {\text{with}}\ r,s\in \mathbb {N} ^{*}\ ,}$

y obedecen las identidades

${\displaystyle h_{r,s}=h_{q-r,p-s}=h_{r+q,s+p}\ .}$

Los espectros de los modelos mínimos están hechos de representaciones irreducibles y degeneradas de menor peso del álgebra de Virasoro, cuyas dimensiones conformes son del tipo con ${\displaystyle h_{r,s}}$

${\displaystyle 1\leq r\leq q-1\quad ,\quad 1\leq s\leq p-1\ .}$

Una representación de este tipo es un conjunto de un módulo de Verma por sus infinitos submódulos no triviales. Es unitaria si y solo si . En una carga central dada, hay representaciones distintas de este tipo. El conjunto de estas representaciones, o de sus dimensiones conformes, se denomina tabla Kac con parámetros . La tabla Kac se suele dibujar como un rectángulo de tamaño , donde cada representación aparece dos veces debido a la relación ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{r,s}}$ ${\displaystyle |p-q|=1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(p-1)(q-1)}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (q-1)\times (p-1)}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{r,s}={\mathcal {R}}_{q-r,p-s}\ .}$

Reglas de fusión

Las reglas de fusión de las representaciones degeneradas múltiples codifican restricciones de todos sus vectores nulos. Por lo tanto, pueden deducirse de las reglas de fusión de representaciones simplemente degeneradas, que codifican restricciones de vectores nulos individuales. ^[2] Explícitamente, las reglas de fusión son ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{r,s}}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{r_{1},s_{1}}\times {\mathcal {R}}_{r_{2},s_{2}}=\sum _{r_{3}{\overset {2}{=}}|r_{1}-r_{2}|+1}^{\min(r_{1}+r_{2},2q-r_{1}-r_{2})-1}\ \sum _{s_{3}{\overset {2}{=}}|s_{1}-s_{2}|+1}^{\min(s_{1}+s_{2},2p-s_{1}-s_{2})-1}{\mathcal {R}}_{r_{3},s_{3}}\ ,}$

donde las sumas se realizan en incrementos de dos.

Clasificación

Modelos minimalistas de la serie A: la caja diagonal

Para cualquier número entero coprimo tal que , existe un modelo diagonal mínimo cuyo espectro contiene una copia de cada representación distinta en la tabla Kac: ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle p,q\geq 2}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{A-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{r=1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\ .}$

Los modelos y son los mismos. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (q,p)}$

La OPE de dos campos involucra todos los campos que están permitidos por las reglas de fusión de las representaciones correspondientes.

Modelos minimalistas de la serie D

Existe un modelo mínimo de la serie D con la carga central si o es par y al menos . Usando la simetría asumimos que es par, entonces es impar. El espectro es ${\displaystyle c_{p,q}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 0\operatorname {mod} 4,\ q\geq 8}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}2}^{q-2}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 2\operatorname {mod} 4,\ q\geq 6}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,}$

donde las sumas se multiplican por incrementos de dos. En cualquier espectro dado, cada representación tiene multiplicidad uno, excepto las representaciones del tipo if , que tienen multiplicidad dos. Estas representaciones aparecen de hecho en ambos términos en nuestra fórmula para el espectro. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}}$ ${\displaystyle q\equiv 2\ \mathrm {mod} \ 4}$

La OPE de dos campos involucra todos los campos que están permitidos por las reglas de fusión de las representaciones correspondientes, y que respetan la conservación de la diagonalidad : la OPE de un campo diagonal y uno no diagonal produce solo campos no diagonales, y la OPE de dos campos del mismo tipo produce solo campos diagonales. ^[3] Para esta regla, una copia de la representación cuenta como diagonal y la otra copia como no diagonal. ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}}$

Modelos minimalistas de la serie E

Hay tres series de modelos mínimos de la serie E. Cada serie existe para un valor dado de para cualquier número que sea coprimo con . (Esto en realidad implica ). Usando la notación , los espectros se leen: ${\displaystyle q\in \{12,18,30\},}$ ${\displaystyle p\geq 2}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\geq 5}$ ${\displaystyle |{\mathcal {R}}|^{2}={\mathcal {R}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,12}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{1,s}\oplus {\mathcal {R}}_{7,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{4,s}\oplus {\mathcal {R}}_{8,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{5,s}\oplus {\mathcal {R}}_{11,s}\right|^{2}\right\}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,18}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{9,s}\oplus 2{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\ominus 4\left|{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\oplus \bigoplus _{r\in \{1,5,7\}}\left|{\mathcal {R}}_{r,s}\oplus {\mathcal {R}}_{18-r,s}\right|^{2}\right\}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,30}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|\bigoplus _{r\in \{1,11,19,29\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\oplus \left|\bigoplus _{r\in \{7,13,17,23\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\right\}\ .}$

Ejemplos

Los siguientes modelos mínimos de la serie A están relacionados con sistemas físicos bien conocidos: ^[2]

• ${\displaystyle (p,q)=(3,2)}$ :CFT trivial,
• ${\displaystyle (p,q)=(5,2)}$ :Singularidad de borde de Yang-Lee,
• ${\displaystyle (p,q)=(4,3)}$ : modelo crítico de Ising ,
• ${\displaystyle (p,q)=(5,4)}$ :modelo de Ising tricrítico,
• ${\displaystyle (p,q)=(6,5)}$ :modelo de Ising tetracrítico.

Los siguientes modelos mínimos de la serie D están relacionados con sistemas físicos bien conocidos:

• ${\displaystyle (p,q)=(6,5)}$: Modelo de Potts  de 3 estados en criticidad,
• ${\displaystyle (p,q)=(7,6)}$ :modelo de Potts tricrítico de 3 estados.

Las tablas Kac de estos modelos, junto con algunas otras tablas Kac con , son: ${\displaystyle 2\leq q\leq 6}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cc}1&0&0\\\hline &1&2\end{array}}\\c_{3,2}=0\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}1&0&-{\frac {1}{5}}&-{\frac {1}{5}}&0\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,2}=-{\frac {22}{5}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|ccc}2&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{16}}&0\\1&0&{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &1&2&3\end{array}}\\c_{4,3}={\frac {1}{2}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}2&{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{5}}&-{\frac {1}{20}}&0\\1&0&-{\frac {1}{20}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {3}{4}}\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,3}=-{\frac {3}{5}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}3&{\frac {3}{2}}&{\frac {3}{5}}&{\frac {1}{10}}&0\\2&{\frac {7}{16}}&{\frac {3}{80}}&{\frac {3}{80}}&{\frac {7}{16}}\\1&0&{\frac {1}{10}}&{\frac {3}{5}}&{\frac {3}{2}}\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,4}={\frac {7}{10}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}3&{\frac {5}{2}}&{\frac {10}{7}}&{\frac {9}{14}}&{\frac {1}{7}}&-{\frac {1}{14}}&0\\2&{\frac {13}{16}}&{\frac {27}{112}}&-{\frac {5}{112}}&-{\frac {5}{112}}&{\frac {27}{112}}&{\frac {13}{16}}\\1&0&-{\frac {1}{14}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {9}{14}}&{\frac {10}{7}}&{\frac {5}{2}}\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,4}=-{\frac {13}{14}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|ccccc}4&3&{\frac {13}{8}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{8}}&0\\3&{\frac {7}{5}}&{\frac {21}{40}}&{\frac {1}{15}}&{\frac {1}{40}}&{\frac {2}{5}}\\2&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{40}}&{\frac {1}{15}}&{\frac {21}{40}}&{\frac {7}{5}}\\1&0&{\frac {1}{8}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {13}{8}}&3\\\hline &1&2&3&4&5\end{array}}\\c_{6,5}={\frac {4}{5}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}4&{\frac {15}{4}}&{\frac {16}{7}}&{\frac {33}{28}}&{\frac {3}{7}}&{\frac {1}{28}}&0\\3&{\frac {9}{5}}&{\frac {117}{140}}&{\frac {8}{35}}&-{\frac {3}{140}}&{\frac {3}{35}}&{\frac {11}{20}}\\2&{\frac {11}{20}}&{\frac {3}{35}}&-{\frac {3}{140}}&{\frac {8}{35}}&{\frac {117}{140}}&{\frac {9}{5}}\\1&0&{\frac {1}{28}}&{\frac {3}{7}}&{\frac {33}{28}}&{\frac {16}{7}}&{\frac {15}{4}}\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,5}={\frac {11}{35}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}5&5&{\frac {22}{7}}&{\frac {12}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {1}{7}}&0\\4&{\frac {23}{8}}&{\frac {85}{56}}&{\frac {33}{56}}&{\frac {5}{56}}&{\frac {1}{56}}&{\frac {3}{8}}\\3&{\frac {4}{3}}&{\frac {10}{21}}&{\frac {1}{21}}&{\frac {1}{21}}&{\frac {10}{21}}&{\frac {4}{3}}\\2&{\frac {3}{8}}&{\frac {1}{56}}&{\frac {5}{56}}&{\frac {33}{56}}&{\frac {85}{56}}&{\frac {23}{8}}\\1&0&{\frac {1}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {12}{7}}&{\frac {22}{7}}&5\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,6}={\frac {6}{7}}\end{array}}}$

Teorías de campos conformes relacionadas

Realizaciones de coset

El modelo mínimo de la serie A con índices coincide con el siguiente conjunto de modelos WZW : ^[2] ${\displaystyle (p,q)}$

${\displaystyle {\frac {SU(2)_{k}\times SU(2)_{1}}{SU(2)_{k+1}}}\ ,\quad {\text{where}}\quad k={\frac {q}{p-q}}-2\ .}$

Suponiendo que el nivel es entero si y solo si, es decir, si y solo si el modelo mínimo es unitario. ${\displaystyle p>q}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p=q+1}$

Existen otras realizaciones de ciertos modelos mínimos, diagonales o no, como clases laterales de modelos WZW, no necesariamente basados ​​en el grupo . ^[2] ${\displaystyle SU(2)}$

Modelos mínimos generalizados

Para cualquier carga central , existe una CFT diagonal cuyo espectro está formado por todas las representaciones degeneradas, ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\bigoplus _{r,s=1}^{\infty }{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\ .}$

Cuando la carga central tiende a , los modelos mínimos generalizados tienden al modelo mínimo de la serie A correspondiente. ^[4] Esto significa en particular que las representaciones degeneradas que no están en la tabla Kac se desacoplan. ${\displaystyle c_{p,q}}$

Teoría de Liouville

Dado que la teoría de Liouville se reduce a un modelo mínimo generalizado cuando se considera que los campos están degenerados, ^[4] se reduce aún más a un modelo mínimo de la serie A cuando la carga central se envía a . ${\displaystyle c_{p,q}}$

Además, los modelos mínimos de la serie A tienen un límite bien definido como : una CFT diagonal con un espectro continuo llamada teoría de Runkel-Watts, ^[5] que coincide con el límite de la teoría de Liouville cuando . ^[6] ${\displaystyle c\to 1}$ ${\displaystyle c\to 1^{+}}$

Productos de modelos mínimos

Hay tres casos de modelos mínimos que son productos de dos modelos mínimos. ^[7] A nivel de sus espectros, las relaciones son:

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{3,10}^{\text{D-series}}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{3,4}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{5,12}^{\text{E-series}}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{2,7}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{7,30}^{\text{E-series}}\ .}$

Extensiones fermiónicas de modelos mínimos

Si , los modelos mínimos de las series A y D tienen cada uno una extensión fermiónica. Estas dos extensiones fermiónicas involucran campos con espines semienteros y están relacionados entre sí mediante una operación de desplazamiento de paridad. ^[8] ${\displaystyle q\equiv 0{\bmod {4}}}$ ${\displaystyle (p,q)}$

Referencias

1. A. Cappelli, JB. Zuber, "Clasificación ADE de teorías de campos conformes", Scholarpedia
2. P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, Teoría de campos conforme , 1997, ISBN  0-387-94785-X
3. I. Runkel, "Constantes estructurales para los modelos mínimos de Virasoro de la serie D", hep-th/9908046
4. S. Ribault, "Teoría de campos conformes en el plano", arXiv:1406.4290
5. I. Runkel, G. Watts, "Una CFT no racional con c = 1 como límite de modelos mínimos", arXiv:hep-th/0107118
6. V. Schomerus, "Taquiones rodantes de la teoría de Liouville", arXiv:hep-th/0306026
7. T. Quella, I. Runkel, G. Watts, "Reflexión y transmisión para defectos conformes", arxiv:hep-th/0611296
8. Runkel, Ingo; Watts, Gerard (2020). "CFT fermiónicos y álgebras de clasificación". Journal of High Energy Physics . 2020 (6): 25. arXiv : 2001.05055 . Código Bibliográfico :2020JHEP...06..025R. doi :10.1007/JHEP06(2020)025. S2CID  210718696.