Módulo Verma

Los objetos en la teoría de la presentación

Los módulos Verma , llamados así en honor a Daya-Nand Verma , son objetos de la teoría de representación de las álgebras de Lie , una rama de las matemáticas .

Los módulos de Verma se pueden utilizar en la clasificación de representaciones irreducibles de un álgebra de Lie semisimple compleja. Específicamente, aunque los módulos de Verma en sí mismos son de dimensión infinita, los cocientes de ellos se pueden utilizar para construir representaciones de dimensión finita con el mayor peso , donde es dominante e integral. ^[1] Sus homomorfismos corresponden a operadores diferenciales invariantes sobre variedades de banderas . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Construcción informal

Pesos del módulo Verma con el peso más alto ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \lambda }$

Podemos explicar la idea de un módulo de Verma de la siguiente manera. ^[2] Sea un álgebra de Lie semisimple (sobre , para simplificar). Sea un subálgebra de Cartan fija de y sea el sistema raíz asociado. Sea un conjunto fijo de raíces positivas. Para cada , elija un elemento distinto de cero para el espacio raíz correspondiente y un elemento distinto de cero en el espacio raíz . Pensamos en los como "operadores de elevación" y en los como "operadores de reducción". ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{+}}$ ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$

Sea ahora un funcional lineal arbitrario, no necesariamente dominante o integral. Nuestro objetivo es construir una representación de con el mayor peso que se genera por un único vector distinto de cero con peso . El módulo de Verma es uno de esos módulos de mayor peso en particular, uno que es máximo en el sentido de que cualquier otro módulo de mayor peso con el mayor peso es un cociente del módulo de Verma. Resultará que los módulos de Verma son siempre de dimensión infinita; sin embargo, si es integral dominante, se puede construir un módulo cociente de dimensión finita del módulo de Verma. Por lo tanto, los módulos de Verma juegan un papel importante en la clasificación de representaciones de dimensión finita de . Específicamente, son una herramienta importante en la parte difícil del teorema del mayor peso , es decir, mostrar que cada elemento integral dominante surge en realidad como el mayor peso de una representación irreducible de dimensión finita de . ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ahora intentamos entender intuitivamente cómo debería ser el módulo Verma con el peso más alto. Dado que debe ser un vector de peso más alto con peso , ciertamente queremos ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle H\cdot v=\lambda (H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$

y

${\displaystyle X_{\alpha }\cdot v=0,\quad \alpha \in R^{+}}$.

Luego debe estar abarcado por los elementos obtenidos al bajar por la acción de los 's: ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$

${\displaystyle Y_{\alpha _{i_{1}}}\cdots Y_{\alpha _{i_{M}}}\cdot v}$.

Ahora imponemos sólo aquellas relaciones entre vectores de la forma anterior requeridas por las relaciones de conmutación entre los . En particular, el módulo de Verma es siempre de dimensión infinita. Los pesos del módulo de Verma con el peso más alto consistirán en todos los elementos que se pueden obtener de restando combinaciones enteras de raíces positivas. La figura muestra los pesos de un módulo de Verma para . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$

Un argumento de reordenamiento simple muestra que solo hay una forma posible en que el álgebra de Lie completa Failed to parse (SVG (MathML se puede habilitar a través del complemento del navegador): respuesta no válida ("La extensión Math no puede conectarse a Restbase") del servidor "http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \mathfrak{g}} puede actuar en este espacio. Específicamente, si es cualquier elemento de , entonces por la parte fácil del teorema de Poincaré–Birkhoff–Witt , podemos reescribir ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle ZY_{\alpha _{i_{1}}}\cdots Y_{\alpha _{i_{M}}}}$

como una combinación lineal de productos de elementos del álgebra de Lie con los operadores de elevación actuando primero, los elementos del subálgebra de Cartan y por último los operadores de reducción . Aplicando esta suma de términos a , cualquier término con un operador de elevación es cero, todos los factores en el subálgebra de Cartan actúan como escalares y, por lo tanto, terminamos con un elemento de la forma original. ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$ ${\displaystyle v}$

Para entender un poco mejor la estructura del módulo de Verma, podemos elegir un orden de las raíces positivas como y denotamos los operadores de reducción correspondientes como . Luego, mediante un argumento de reordenación simple, cada elemento de la forma anterior se puede reescribir como una combinación lineal de elementos con los en un orden específico: ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$ ${\displaystyle Y_{1},\ldots Y_{n}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y_{1}^{k_{1}}\cdots Y_{n}^{k_{n}}v}$,

donde los son números enteros no negativos. En realidad, resulta que dichos vectores forman una base para el módulo de Verma. ${\displaystyle k_{j}}$

Aunque esta descripción del módulo de Verma da una idea intuitiva de cómo se ve, todavía queda por dar una construcción rigurosa del mismo. En cualquier caso, el módulo de Verma da, para cualquier , no necesariamente dominante o integral, una representación con el mayor peso . El precio que pagamos por esta construcción relativamente simple es que siempre es de dimensión infinita. En el caso donde es dominante e integral, se puede construir un cociente irreducible de dimensión finita del módulo de Verma. ^[3] ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

El caso de sl(2; C)

Sea la base habitual para : ${\displaystyle {X,Y,H}}$ ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~,}$

donde la subálgebra de Cartan es el lapso de . Sea definida por para un número complejo arbitrario . Entonces el módulo de Verma con el mayor peso está lapso de vectores linealmente independientes y la acción de los elementos base es la siguiente: ^[4] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (H)=m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2},\dots }$

${\displaystyle Y\cdot v_{j}=v_{j+1};\quad X\cdot v_{j}=j(m-(j-1))v_{j-1};\quad H\cdot v_{j}=(m-2j)v_{j}}$.

(Esto significa en particular que y que .) Estas fórmulas están motivadas por la forma en que los elementos base actúan en las representaciones de dimensión finita de , excepto que ya no requerimos que la "cadena" de vectores propios para tenga que terminar. ${\displaystyle H\cdot v_{0}=mv_{0}}$ ${\displaystyle X\cdot v_{0}=0}$ ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H}$

En esta construcción, es un número complejo arbitrario, no necesariamente real o positivo o un entero. Sin embargo, el caso en el que es un entero no negativo es especial. En ese caso, se ve fácilmente que el espacio de los vectores es invariante, porque . El módulo del cociente es entonces la representación irreducible de dimensión finita de de dimensión ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$ ${\displaystyle X\cdot v_{m+1}=0}$ ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle m+1.}$

Definición de módulos Verma

Existen dos construcciones estándar del módulo de Verma, ambas implican el concepto de álgebra envolvente universal . Continuamos con la notación de la sección anterior: es un álgebra de Lie semisimple compleja, es un subálgebra de Cartan fija, es el sistema de raíces asociado con un conjunto fijo de raíces positivas. Para cada , elegimos elementos distintos de cero y . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{+}}$ ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$

Como cociente del álgebra envolvente

La primera construcción ^[5] del módulo de Verma es un cociente del álgebra envolvente universal de . Dado que se supone que el módulo de Verma es un módulo, también será un módulo, por la propiedad universal del álgebra envolvente. Por lo tanto, si tenemos un módulo de Verma con el vector de peso más alto , habrá una función lineal de en dada por ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle \Phi (x)=x\cdot v,\quad x\in U({\mathfrak {g}})}$.

Dado que se supone que se genera por , el mapa debe ser sobreyectivo. Dado que se supone que es un vector de peso más alto, el núcleo de debe incluir todos los vectores raíz para en . Dado que, también, se supone que es un vector de peso con peso , el núcleo de debe incluir todos los vectores de la forma ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R^{+}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle H-\lambda (H)1,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$.

Finalmente, el núcleo de debería ser un ideal izquierdo en ; después de todo, si entonces para todo . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle x\cdot v=0}$ ${\displaystyle (yx)\cdot v=y\cdot (x\cdot v)=0}$ ${\displaystyle y\in U({\mathfrak {g}})}$

La discusión anterior motiva la siguiente construcción del módulo de Verma. Lo definimos como el espacio vectorial cociente ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle W_{\lambda }=U({\mathfrak {g}})/I_{\lambda }}$,

¿Dónde está el ideal izquierdo generado por todos los elementos de la forma? ${\displaystyle I_{\lambda }}$

${\displaystyle X_{\alpha },\quad \alpha \in R^{+},}$

y

${\displaystyle H-\lambda (H)1,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$.

Como es un ideal izquierdo, la acción izquierda natural de sobre sí mismo se traslada al cociente. Por lo tanto, es un módulo y, por lo tanto, también un módulo. ${\displaystyle I_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Por extensión de escalares

El procedimiento de " extensión de escalares " es un método para transformar un módulo izquierdo sobre un álgebra (no necesariamente conmutativo) en un módulo izquierdo sobre un álgebra mayor que contiene como subálgebra. Podemos pensar en como un módulo derecho, donde actúa sobre por multiplicación por la derecha. Como es un módulo izquierdo y es un módulo derecho , podemos formar el producto tensorial de los dos sobre el álgebra : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$

${\displaystyle A_{2}\otimes _{A_{1}}V}$.

Ahora bien, dado que es un módulo izquierdo sobre sí mismo, el producto tensorial anterior tiene una estructura de módulo izquierdo sobre el álgebra más grande , determinada únicamente por el requisito de que ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$

${\displaystyle a_{1}\cdot (a_{2}\otimes v)=(a_{1}a_{2})\otimes v}$

para todos y en . Por lo tanto, a partir del módulo izquierdo , hemos producido un módulo izquierdo . ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}\otimes _{A_{1}}V}$

Ahora aplicamos esta construcción en el contexto de un álgebra de Lie semisimple. Dejamos que sea la subálgebra de generada por y los vectores raíz con . (Por lo tanto, es una "subálgebra de Borel" de .) Podemos formar un módulo izquierdo sobre el álgebra envolvente universal de la siguiente manera: ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$

• ${\displaystyle F_{\lambda }}$es el espacio vectorial unidimensional abarcado por un único vector junto con una estructura de módulo tal que actúa como multiplicación por y los espacios de raíces positivas actúan trivialmente: ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \quad H\cdot v=\lambda (H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}};\quad X_{\alpha }\cdot v=0,\quad \alpha \in R^{+}}$.

La motivación de esta fórmula es que describe cómo se supone que debe actuar sobre el vector de peso más alto en un módulo Verma. ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$

Ahora bien, del teorema de Poincaré–Birkhoff–Witt se deduce que es una subálgebra de . Por lo tanto, podemos aplicar la técnica de extensión de escalares para convertir de un módulo izquierdo a un módulo izquierdo de la siguiente manera: ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle F_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle W_{\lambda }:=U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {b}})}F_{\lambda }}$.

Dado que es un módulo izquierdo , es, en particular, un módulo (representación) para . ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La estructura del módulo Verma

Cualquiera que sea la construcción del módulo de Verma que se utilice, hay que demostrar que no es trivial, es decir, que no es el módulo cero. En realidad, es posible utilizar el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt para demostrar que el espacio vectorial subyacente de es isomorfo a ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$

donde es la subálgebra de Lie generada por los espacios raíz negativos de (es decir, los 's). ^[6] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$

Propiedades básicas

Los módulos Verma, considerados como módulos - , son módulos de mayor peso , es decir, son generados por un vector de mayor peso . Este vector de mayor peso es (el primero es la unidad en y el segundo es la unidad en el campo , considerado como el módulo - ) y tiene peso . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 1\otimes 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle F_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Multiplicidades

Los módulos de Verma son módulos de peso , es decir, es una suma directa de todos sus espacios de peso . Cada espacio de peso en es de dimensión finita y la dimensión del espacio de peso es el número de formas de expresar como una suma de raíces positivas (esto está estrechamente relacionado con la llamada función de partición de Kostant ). Esta afirmación se desprende de la afirmación anterior de que el módulo de Verma es isomorfo como espacio vectorial a , junto con el teorema de Poincaré–Birkhoff–Witt para . ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle W_{\mu }}$ ${\displaystyle \lambda -\mu }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$

Propiedad universal

Los módulos de Verma tienen una propiedad muy importante: si cualquier representación es generada por un vector de mayor peso de peso , existe un sobreyectivo - homomorfismo. Es decir, todas las representaciones con mayor peso que son generadas por el vector de mayor peso (los llamados módulos de mayor peso ) son cocientes de ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle W_{\lambda }\to V.}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W_{\lambda }.}$

Módulo de cociente irreducible

${\displaystyle W_{\lambda }}$contiene un submódulo máximo único, y su cociente es la única representación irreducible (hasta el isomorfismo ) con el mayor peso ^[7] Si el mayor peso es dominante e integral, entonces se demuestra que este cociente irreducible es en realidad de dimensión finita. ^[8] ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle \lambda }$

Como ejemplo, considere el caso discutido anteriormente. Si el peso más alto es "integral dominante", es decir, simplemente que es un entero no negativo, entonces y la amplitud de los elementos es invariante. La representación del cociente es entonces irreducible con dimensión . La representación del cociente está abarcada por vectores linealmente independientes . La acción de es la misma que en el módulo de Verma, excepto que en el cociente, en comparación con en el módulo de Verma. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle Xv_{m+1}=0}$ ${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots ,v_{m}}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle Yv_{m}=0}$ ${\displaystyle Yv_{m}=v_{m+1}}$

El propio módulo de Verma es irreducible si y sólo si es antidominante. ^[9] En consecuencia, cuando es integral, es irreducible si y sólo si ninguna de las coordenadas de en la base de pesos fundamentales es del conjunto , mientras que en general, esta condición es necesaria pero insuficiente para para ser irreducible. ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

Otras propiedades

El módulo de Verma se denomina regular si su peso máximo λ está en la órbita afín de Weyl de un peso dominante . En otras palabras, existe un elemento w del grupo de Weyl W tal que ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}}$

¿Dónde está la acción afín del grupo de Weyl ? ${\displaystyle \cdot }$

El módulo de Verma se denomina singular si no hay un peso dominante en la órbita afín de λ. En este caso, existe un peso tal que está en la pared de la cámara de Weyl fundamental (δ es la suma de todos los pesos fundamentales ). ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}+\delta }$

Homomorfismos de módulos de Verma

Para dos pesos cualesquiera, un homomorfismo no trivial ${\displaystyle \lambda ,\mu }$

${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$

pueden existir sólo si y están vinculados con una acción afín del grupo de Weyl del álgebra de Lie . Esto se deduce fácilmente del teorema de Harish-Chandra sobre caracteres centrales infinitesimales . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Cada homomorfismo de módulos de Verma es inyectivo y la dimensión

${\displaystyle \dim(\operatorname {Hom} (W_{\mu },W_{\lambda }))\leq 1}$

para cualquier . Por lo tanto, existe un distinto de cero si y solo si es isomorfo a un submódulo (único) de . ${\displaystyle \mu ,\lambda }$ ${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$ ${\displaystyle W_{\mu }}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

La clasificación completa de los homomorfismos del módulo Verma fue realizada por Bernstein–Gelfand–Gelfand ^[10] y Verma ^[11] y se puede resumir en la siguiente afirmación:

Existe un homomorfismo distinto de cero si y sólo si existe ${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$

una secuencia de pesos

${\displaystyle \mu =\nu _{0}\leq \nu _{1}\leq \ldots \leq \nu _{k}=\lambda }$

de modo que para algunas raíces positivas (y es la reflexión de la raíz correspondiente y es la suma de todos los pesos fundamentales ) y para cada uno es un número natural ( es la cororraíz asociada a la raíz ). ${\displaystyle \nu _{i-1}+\delta =s_{\gamma _{i}}(\nu _{i}+\delta )}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle s_{\gamma _{i}}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle 1\leq i\leq k,(\nu _{i}+\delta )(H_{\gamma _{i}})}$ ${\displaystyle H_{\gamma _{i}}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$

Si los módulos de Verma y son regulares, entonces existe un peso dominante único y elementos únicos w , w ′ del grupo de Weyl W tales que ${\displaystyle M_{\mu }}$ ${\displaystyle M_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

${\displaystyle \mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}}$

y

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }},}$

donde es la acción afín del grupo de Weyl. Si los pesos son además enteros , entonces existe un homomorfismo distinto de cero. ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

Si y sólo si

${\displaystyle w\leq w'}$

en el ordenamiento Bruhat del grupo Weyl.

Serie Jordan-Hölder

Dejar

${\displaystyle 0\subset A\subset B\subset W_{\lambda }}$

sea ​​una secuencia de -módulos tal que el cociente B/A sea irreducible con el mayor peso μ. Entonces existe un homomorfismo distinto de cero . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

Una consecuencia fácil de esto es que, para cualquier módulo de mayor peso tal que ${\displaystyle V_{\mu },V_{\lambda }}$

${\displaystyle V_{\mu }\subset V_{\lambda }}$

Existe un homomorfismo distinto de cero . ${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

Resolución de Bernstein-Gelfand-Gelfand

Sea una representación irreducible de dimensión finita del álgebra de Lie con el mayor peso λ. Sabemos por la sección sobre homomorfismos de módulos de Verma que existe un homomorfismo ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle W_{w'\cdot \lambda }\to W_{w\cdot \lambda }}$

Si y sólo si

${\displaystyle w\leq w'}$

en el ordenamiento de Bruhat del grupo de Weyl . El siguiente teorema describe una resolución proyectiva de en términos de módulos de Verma (fue demostrado por Bernstein – Gelfand –Gelfand en 1975 ^[12] ): ${\displaystyle V_{\lambda }}$

Existe una secuencia exacta de -homomorfismos ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=n}W_{w\cdot \lambda }\to \cdots \to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=2}W_{w\cdot \lambda }\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=1}W_{w\cdot \lambda }\to W_{\lambda }\to V_{\lambda }\to 0}$

donde n es la longitud del elemento más grande del grupo de Weyl.

Existe también una resolución similar para los módulos Verma generalizados . Se la denomina de forma abreviada resolución BGG .

Véase también

• Clasificación de representaciones de álgebras de Lie en dimensión finita
• Teorema del mayor peso
• Módulo Verma generalizado
• Módulo de Weyl

Notas

1. Por ejemplo, Hall 2015 Capítulo 9
2. Sala 2015 Sección 9.2
3. Hall 2015 Secciones 9.6 y 9.7
4. Hall 2015 Secciones 9.2
5. Sala 2015 Sección 9.5
6. Hall 2015 Teorema 9.14
7. Sala 2015 Sección 9.6
8. Sala 2015 Sección 9.7
9. Humphreys, James (22 de julio de 2008). Representaciones de álgebras de Lie semisimples en la categoría BGG 𝒪. Estudios de posgrado en matemáticas. Vol. 94. American Mathematical Society. doi :10.1090/gsm/094. ISBN 978-0-8218-4678-0.
10. Bernstein IN, Gelfand IM, Gelfand SI, Estructura de representaciones generadas por vectores de mayor peso, Functional Anal Appl. 5 (1971)
11. Verma N., Estructura de ciertas representaciones inducidas de álgebras de Lie semisimples complejas, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968)
12. Bernstein IN, Gelfand IM, Gelfand SI, Operadores diferenciales en el espacio afín base y un estudio de g-módulos, grupos de Lie y sus representaciones , IM Gelfand, Ed., Adam Hilger, Londres, 1975.

Referencias

• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA; ten Kroode, APE (1997). A. van Groesen; EM de Jager (eds.). Álgebras de Lie de dimensión finita e infinita y su aplicación en física . Estudios en física matemática. Vol. 7. Holanda Septentrional. Capítulo 20. ISBN 978-0-444-82836-1– vía ScienceDirect .
• Carter, R. (2005), Álgebras de Lie de tipo finito y afín , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-85138-1.
• Dixmier, J. (1977), Álgebras envolventes , Ámsterdam, Nueva York, Oxford: Holanda Septentrional, ISBN 978-0-444-11077-0.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, J. (1980), Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación , Springer Verlag, ISBN 978-3-540-90052-8.
• Knapp, AW (2002), Grupos de Lie: más allá de una introducción (2.ª ed.), Birkhäuser, pág. 285, ISBN 978-0-8176-3926-6.
• Rocha, Alvany (2001) [1994], "Resolución BGG", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Roggenkamp, ​​K.; Stefanescu, M. (2002), Álgebra - Teoría de la representación , Springer, ISBN 978-0-7923-7114-4.

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