cambio de anillos

En álgebra , un cambio de anillos es una operación de cambiar un anillo de coeficientes por otro.

Construcciones

Dado un homomorfismo de anillo , hay tres formas de cambiar el anillo de coeficientes de un módulo ; es decir, para un módulo R derecho M y un módulo S derecho N , se puede formar ${\displaystyle f:R\to S}$

• ${\displaystyle f_{!}M=M\otimes _{R}S}$, el módulo inducido, formado por extensión de escalares,
• ${\displaystyle f_{*}M=\operatorname {Hom} _{R}(S,M)}$, el módulo coinducido, formado por coextensión de escalares, y
• ${\displaystyle f^{*}N=N_{R}}$, formado por restricción de escalares.

Están relacionados como funtores adjuntos :

${\displaystyle f_{!}:{\text{Mod}}_{R}\leftrightarrows {\text{Mod}}_{S}:f^{*}}$

y

${\displaystyle f^{*}:{\text{Mod}}_{S}\leftrightarrows {\text{Mod}}_{R}:f_{*}.}$

Esto está relacionado con el lema de Shapiro .

Operaciones

Restricción de escalares

A lo largo de esta sección, sean y dos anillos (pueden ser conmutativos o no , o contener una identidad ), y sea un homomorfismo. La restricción de escalares cambia los módulos S en módulos R. En geometría algebraica , el término "restricción de escalares" se utiliza a menudo como sinónimo de restricción de Weil . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:R\to S}$

Definición

Supongamos que es un módulo terminado . Entonces puede considerarse como un módulo donde la acción de se da a través de ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M\times R&\longrightarrow M\\(m,r)&\longmapsto m\cdot f(r)\end{aligned}}}$

donde denota la acción definida por la estructura del módulo en . ^[1] ${\displaystyle m\cdot f(r)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$

Interpretación como functor

La restricción de escalares puede verse como un funtor de -módulos a -módulos. Un -homomorfismo se convierte automáticamente en un -homomorfismo entre las restricciones de y . De hecho, si y , entonces ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle u:M\to N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle r\in R}$

${\displaystyle u(m\cdot r)=u(m\cdot f(r))=u(m)\cdot f(r)=u(m)\cdot r\,}$.

Como funtor, la restricción de escalares es el adjunto derecho del funtor de extensión de escalares.

Si es el anillo de números enteros, entonces este es solo el functor olvidadizo de módulos a grupos abelianos. ${\displaystyle R}$

Extensión de escalares

La extensión de escalares convierte los módulos R en módulos S.

Definición

Sea un homomorfismo entre dos anillos y sea un módulo sobre . Considere el producto tensor , donde se considera un módulo izquierdo vía . Dado que también es un módulo derecho sobre sí mismo y las dos acciones se conmutan, es decir , para (en un lenguaje más formal, es un bimódulo ) , hereda una acción correcta de . Está dado por para , . Se dice que este módulo se obtiene mediante extensión de escalares . ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M^{S}=M\otimes _{R}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r\cdot (s\cdot s')=(r\cdot s)\cdot s'}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle s,s'\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (R,S)}$ ${\displaystyle M^{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (m\otimes s)\cdot s'=m\otimes ss'}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle s,s'\in S}$ ${\displaystyle M}$

Informalmente, la extensión de escalares es "el producto tensorial de un anillo y un módulo"; más formalmente, es un caso especial de un producto tensorial de un bimódulo y un módulo: el producto tensorial de un R -módulo con un -bimódulo es un S -módulo. ${\displaystyle (R,S)}$

Ejemplos

Uno de los ejemplos más simples es la complejización , que es la extensión de escalares de números reales a números complejos . De manera más general, dada cualquier extensión de campo K  <  L, se pueden extender escalares de K a L. En el lenguaje de campos, un módulo sobre un campo se llama espacio vectorial y, por lo tanto, la extensión de escalares convierte un espacio vectorial sobre K en un espacio vectorial sobre L. Esto también se puede hacer para álgebras de división , como se hace en cuaternionificación (extensión de los reales a los cuaterniones ).

De manera más general, dado un homomorfismo de un campo o anillo conmutativo R a un anillo S, el anillo S puede considerarse como un álgebra asociativa sobre R y, por lo tanto, cuando se extienden escalares en un módulo R , se puede pensar en el módulo resultante. alternativamente como un S -módulo, o como un R -módulo con una representación algebraica de S (como un R -álgebra). Por ejemplo, el resultado de complejizar un espacio vectorial real ( R = R , S = C ) se puede interpretar como un espacio vectorial complejo ( módulo S ) o como un espacio vectorial real con una estructura lineal compleja (representación algebraica de S como un módulo R ).

Aplicaciones

Esta generalización es útil incluso para el estudio de campos; en particular, muchos objetos algebraicos asociados a un campo no son campos en sí mismos, sino anillos, como las álgebras sobre un campo, como en la teoría de la representación . Así como se pueden extender escalares en espacios vectoriales, también se pueden extender escalares en álgebras de grupo y también en módulos sobre álgebras de grupo, es decir, representaciones de grupo . Particularmente útil es relacionar cómo las representaciones irreducibles cambian bajo la extensión de escalares; por ejemplo, la representación del grupo cíclico de orden 4, dada por la rotación del plano 90°, es una representación real bidimensional irreducible , pero en extensión de escalares. para los números complejos, se divide en 2 representaciones complejas de dimensión 1. Esto corresponde a que el polinomio característico de este operador, es irreducible de grado 2 sobre los reales, pero se factoriza en 2 factores de grado 1 sobre los números complejos – no tiene valores propios reales, sino 2 valores propios complejos. ${\displaystyle x^{2}+1,}$

Interpretación como functor

La extensión de escalares se puede interpretar como un funtor de -módulos a -módulos. Envía a , como arriba, y un -homomorfismo al -homomorfismo definido por . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{S}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle u:M\to N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle u^{S}:M^{S}\to N^{S}}$ ${\displaystyle u^{S}=u\otimes _{R}{\text{id}}_{S}}$

Relación entre la extensión de escalares y la restricción de escalares

Considere un módulo y un módulo . Dado un homomorfismo , defina como la composición ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle u\in {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})}$ ${\displaystyle Fu:M^{S}\to N}$

${\displaystyle M^{S}=M\otimes _{R}S{\xrightarrow {u\otimes {\text{id}}_{S}}}N_{R}\otimes _{R}S\to N}$,

donde está el último mapa . Este es un homomorfismo y, por lo tanto , está bien definido y es un homomorfismo (de grupos abelianos ). ${\displaystyle n\otimes s\mapsto n\cdot s}$ ${\displaystyle Fu}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F:{\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})\to {\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)}$

En caso de que ambos y tengan identidad, existe un homomorfismo inverso , que se define de la siguiente manera. Dejar . Entonces es la composición ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G:{\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)\to {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})}$ ${\displaystyle v\in {\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)}$ ${\displaystyle Gv}$

${\displaystyle M\to M\otimes _{R}R{\xrightarrow {{\text{id}}_{M}\otimes f}}M\otimes _{R}S{\xrightarrow {v}}N}$,

donde el primer mapa es el isomorfismo canónico . ${\displaystyle m\mapsto m\otimes 1}$

Esta construcción establece una correspondencia uno a uno entre los conjuntos y . En realidad, esta correspondencia depende sólo del homomorfismo , por lo que es funcional . En el lenguaje de la teoría de categorías , la extensión del funtor escalar se deja adjunta a la restricción del functor escalar. ${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})}$ ${\displaystyle f}$

Ver también

• Seis operaciones
• Producto tensorial de campos
• Adjunción tensorial-hom

Referencias

• Tonto, David (2004). Álgebra abstracta . Foote, Richard M. (3 ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. págs. 359–377. ISBN 0471452343. OCLC  248917264.
• J. Peter May , Notas sobre Tor y Ext
• Nicolás Bourbaki . Álgebra I, Capítulo II. ÁLGEBRA LINEAL.§5. Extensión del anillo de escalares;§7. Espacios vectoriales. 1974 por Hermann.

Otras lecturas

• Inducción y Coinducción de Representaciones

1. Tonto 2004, pag. 359.