Modelo de Wess-Zumino-Witten

Tipo de teoría de campos conforme 2D

En física teórica y matemáticas , un modelo de Wess–Zumino–Witten ( WZW ) , también llamado modelo de Wess–Zumino–Novikov–Witten , es un tipo de teoría de campos conforme bidimensional que lleva el nombre de Julius Wess , Bruno Zumino , Sergei Novikov y Edward Witten . ^{[1] [2] [3] [4]} Un modelo WZW está asociado a un grupo de Lie (o supergrupo ), y su álgebra de simetría es el álgebra de Lie afín construida a partir del álgebra de Lie correspondiente (o superálgebra de Lie ). Por extensión, el nombre de modelo WZW a veces se usa para cualquier teoría de campos conforme cuyo álgebra de simetría es un álgebra de Lie afín. ^[5]

Acción

Definición

Para una superficie de Riemann , un grupo de Lie y un número (generalmente complejo), definamos el modelo -WZW en el nivel . El modelo es un modelo sigma no lineal cuya acción es una función de un cuerpo : ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma :\Sigma \to G}$

${\displaystyle S_{k}(\gamma )=-{\frac {k}{8\pi }}\int _{\Sigma }d^{2}x\,{\mathcal {K}}\left(\gamma ^{-1}\partial ^{\mu }\gamma ,\gamma ^{-1}\partial _{\mu }\gamma \right)+2\pi kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma ).}$

Aquí, está equipado con una métrica euclidiana plana , es la derivada parcial y es la forma de Killing en el álgebra de Lie de . El término de Wess-Zumino de la acción es ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=-{\frac {1}{48\pi ^{2}}}\int _{\mathbf {B} ^{3}}d^{3}y\,\epsilon ^{ijk}{\mathcal {K}}\left(\gamma ^{-1}\partial _{i}\gamma ,\left[\gamma ^{-1}\partial _{j}\gamma ,\gamma ^{-1}\partial _{k}\gamma \right]\right).}$

Aquí está el tensor completamente antisimétrico , y es el corchete de Lie . El término de Wess-Zumino es una integral sobre una variedad tridimensional cuyo límite es . ${\displaystyle \epsilon ^{ijk}}$ ${\displaystyle [.,.]}$ ${\displaystyle \mathbf {B} ^{3}}$ ${\displaystyle \partial \mathbf {B} ^{3}=\Sigma }$

Propiedades topológicas del término de Wess-Zumino

Para que el término de Wess-Zumino tenga sentido, necesitamos que el cuerpo tenga una extensión hasta . Esto requiere que el grupo de homotopía sea trivial, lo que es el caso en particular para cualquier grupo de Lie compacto . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {B} ^{3}}$ ${\displaystyle \pi _{2}(G)}$ ${\displaystyle G}$

La extensión de un determinado a no es, en general, única. Para que el modelo WZW esté bien definido, no debería depender de la elección de la extensión. El término de Wess-Zumino es invariante bajo pequeñas deformaciones de , y solo depende de su clase de homotopía . Las posibles clases de homotopía están controladas por el grupo de homotopía . ${\displaystyle \gamma :\Sigma \to G}$ ${\displaystyle \mathbf {B} ^{3}}$ ${\displaystyle e^{iS_{k}(\gamma )}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \pi _{3}(G)}$

Para cualquier grupo de Lie simple, compacto y conexo , tenemos , y diferentes extensiones de conducen a valores de que difieren en números enteros. Por lo tanto, conducen al mismo valor de siempre que el nivel obedezca ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi _{3}(G)=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )}$ ${\displaystyle e^{iS_{k}(\gamma )}}$

${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

Los valores enteros del nivel también juegan un papel importante en la teoría de representación del álgebra de simetría del modelo, que es un álgebra de Lie afín . Si el nivel es un entero positivo, el álgebra de Lie afín tiene representaciones de peso máximo unitario con pesos máximos que son integrales dominantes. Tales representaciones se descomponen en subrepresentaciones de dimensión finita con respecto a las subálgebras abarcadas por cada raíz simple , la raíz negativa correspondiente y su conmutador, que es un generador de Cartan .

En el caso del grupo de Lie simple no compacto , el grupo de homotopía es trivial y el nivel no está restringido a ser un número entero. ^[6] ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \pi _{3}(\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} ))}$

Interpretación geométrica del término Wess-Zumino

Si e _a son los vectores base del álgebra de Lie , entonces son las constantes de estructura del álgebra de Lie. Las constantes de estructura son completamente antisimétricas y, por lo tanto, definen una 3-forma en la variedad de grupo de G. Por lo tanto, el integrando anterior es simplemente el pullback de la 3-forma armónica a la bola. Denotando la 3-forma armónica por c y el pullback por uno, entonces se tiene ${\displaystyle {\mathcal {K}}(e_{a},[e_{b},e_{c}])}$ ${\displaystyle \mathbf {B} ^{3}.}$ ${\displaystyle \gamma ^{*},}$

${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=\int _{\mathbf {B} ^{3}}\gamma ^{*}c.}$

Esta forma conduce directamente a un análisis topológico del término WZ.

Geométricamente, este término describe la torsión de la respectiva variedad. ^[7] La ​​presencia de esta torsión obliga al teleparalelismo de la variedad, y por lo tanto a la trivialización del tensor de curvatura torsional ; y por lo tanto a la detención del flujo de renormalización, un punto fijo infrarrojo del grupo de renormalización , un fenómeno denominado geometrostasis .

Álgebra de simetría

Simetría de grupo generalizada

El modelo de Wess–Zumino–Witten no solo es simétrico bajo transformaciones globales por un elemento de grupo en , sino que también tiene una simetría mucho más rica. Esta simetría a menudo se denomina simetría . ^[8] Es decir, dada cualquier función de valor holomorfo , y cualquier otra función de valor antiholomorfo (completamente independiente de ) , donde hemos identificado y en términos de las coordenadas del espacio euclidiano , se cumple la siguiente simetría: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(z)\times G({\bar {z}})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Omega (z)}$ ${\displaystyle \Omega (z)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\bar {\Omega }}({\bar {z}})}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$ ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle S_{k}(\gamma )=S_{k}(\Omega \gamma {\bar {\Omega }}^{-1})}$

Una forma de demostrar la existencia de esta simetría es mediante la aplicación repetida de la identidad de Polyakov-Wiegmann respecto de los productos de campos con valores : ${\displaystyle G}$

${\displaystyle S_{k}(\alpha \beta ^{-1})=S_{k}(\alpha )+S_{k}(\beta ^{-1})+{\frac {k}{16\pi ^{2}}}\int d^{2}x{\textrm {Tr}}(\alpha ^{-1}\partial _{\bar {z}}\alpha \beta ^{-1}\partial _{z}\beta )}$

Las corrientes holomorfas y antiholomorfas son las corrientes conservadas asociadas a esta simetría. El comportamiento singular de los productos de estas corrientes con otros campos cuánticos determina cómo se transforman esos campos bajo acciones infinitesimales del grupo. ${\displaystyle J(z)=-{\frac {1}{2}}k(\partial _{z}\gamma )\gamma ^{-1}}$ ${\displaystyle {\bar {J}}({\bar {z}})=-{\frac {1}{2}}k\gamma ^{-1}\partial _{\bar {z}}\gamma }$ ${\displaystyle G(z)\times G({\bar {z}})}$

Álgebra de Lie afín

Sea una coordenada compleja local en , una base ortonormal (con respecto a la forma de Killing ) del álgebra de Lie de , y la cuantificación del cuerpo . Tenemos la siguiente expansión del producto de operadores : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \{t^{a}\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle J^{a}(z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(t^{a},\partial _{z}gg^{-1})}$

${\displaystyle J^{a}(z)J^{b}(w)={\frac {k\delta ^{ab}}{(z-w)^{2}}}+{\frac {if_{c}^{ab}J^{c}(w)}{z-w}}+{\mathcal {O}}(1),}$

donde son los coeficientes tales que . Equivalentemente, si se expande en modos ${\displaystyle f_{c}^{ab}}$ ${\displaystyle [t^{a},t^{b}]=f_{c}^{ab}t^{c}}$ ${\displaystyle J^{a}(z)}$

${\displaystyle J^{a}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}^{a}z^{-n-1},}$

entonces el álgebra actual generada por es el álgebra de Lie afín asociada al álgebra de Lie de , con un nivel que coincide con el nivel del modelo WZW. ^[5] Si , la notación para el álgebra de Lie afín es . Las relaciones de conmutación del álgebra de Lie afín son ${\displaystyle \{J_{n}^{a}\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {Lie} (G)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}_{k}}$

${\displaystyle [J_{n}^{a},J_{m}^{b}]=f_{c}^{ab}J_{m+n}^{c}+kn\delta ^{ab}\delta _{n+m,0}.}$

Esta álgebra de Lie afín es el álgebra de simetría quiral asociada a las corrientes que se mueven hacia la izquierda . Una segunda copia de la misma álgebra de Lie afín está asociada a las corrientes que se mueven hacia la derecha . Los generadores de esa segunda copia son antiholomórficos. El álgebra de simetría completa del modelo WZW es el producto de las dos copias del álgebra de Lie afín. ${\displaystyle {\mathcal {K}}(t^{a},\partial _{z}gg^{-1})}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(t^{a},g^{-1}\partial _{\bar {z}}g)}$ ${\displaystyle {\bar {J}}^{a}(z)}$

Construcción de Sugawara

La construcción de Sugawara es una incrustación del álgebra de Virasoro en el álgebra envolvente universal del álgebra de Lie afín. La existencia de la incrustación muestra que los modelos WZW son teorías de campos conformes. Además, conduce a ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov para funciones de correlación.

La construcción de Sugawara está escrita de manera más concisa en el nivel de las corrientes: para el álgebra de Lie afín, y el tensor de energía-momento para el álgebra de Virasoro: ${\displaystyle J^{a}(z)}$ ${\displaystyle T(z)}$

${\displaystyle T(z)={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}:J^{a}J^{a}:(z),}$

donde denota ordenamiento normal y es el número dual de Coxeter . Al utilizar la OPE de las corrientes y una versión del teorema de Wick se puede deducir que la OPE de consigo misma está dada por ^[5] ${\displaystyle :}$ ${\displaystyle h^{\vee }}$ ${\displaystyle T(z)}$

${\displaystyle T(y)T(z)={\frac {\frac {c}{2}}{(y-z)^{4}}}+{\frac {2T(z)}{(y-z)^{2}}}+{\frac {\partial T(z)}{y-z}}+{\mathcal {O}}(1),}$

que es equivalente a las relaciones de conmutación del álgebra de Virasoro. La carga central del álgebra de Virasoro se da en términos del nivel del álgebra de Lie afín por ${\displaystyle k}$

${\displaystyle c={\frac {k\mathrm {dim} ({\mathfrak {g}})}{k+h^{\vee }}}.}$

A nivel de los generadores del álgebra de Lie afín, la construcción de Sugawara se lee

${\displaystyle L_{n\neq 0}={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}\sum _{m\in \mathbb {Z} }J_{n-m}^{a}J_{m}^{a},}$

${\displaystyle L_{0}={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\left(2\sum _{a}\sum _{m=1}^{\infty }J_{-m}^{a}J_{m}^{a}+J_{a}^{0}J_{a}^{0}\right).}$

donde los generadores del álgebra de Virasoro son los modos del tensor de energía-momento, . ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle T(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }L_{n}z^{-n-2}}$

Espectro

Modelos WZW con grupos compactos y de fácil conexión

Si el grupo de Lie es compacto y simplemente conexo, entonces el modelo WZW es racional y diagonal: racional porque el espectro se construye a partir de un conjunto finito (dependiente del nivel) de representaciones irreducibles del álgebra de Lie afín llamadas representaciones integrables de mayor peso , y diagonal porque una representación del álgebra que se mueve hacia la izquierda está acoplada con la misma representación del álgebra que se mueve hacia la derecha. ^[5] ${\displaystyle G}$

Por ejemplo, el espectro del modelo WZW en el nivel es ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{k}=\bigoplus _{j=0,{\frac {1}{2}},1,\dots ,{\frac {k}{2}}}{\mathcal {R}}_{j}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{j}\ ,}$

¿Dónde está la representación afín de mayor peso del espín ?: una representación generada por un estado tal que ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle |v\rangle }$

${\displaystyle J_{n<0}^{a}|v\rangle =J_{0}^{-}|v\rangle =0\ ,}$

donde es la corriente que corresponde a un generador del álgebra de Lie de . ${\displaystyle J^{-}}$ ${\displaystyle t^{-}}$ ${\displaystyle SU(2)}$

Modelos WZW con otros tipos de grupos

Si el grupo es compacto pero no simplemente conexo, el modelo WZW es racional pero no necesariamente diagonal. Por ejemplo, el modelo WZW existe para niveles enteros pares y su espectro es una combinación no diagonal de un número finito de representaciones integrables de mayor peso. ^[5] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle SO(3)}$ ${\displaystyle k\in 2\mathbb {N} }$

Si el grupo no es compacto, el modelo WZW no es racional. Además, su espectro puede incluir representaciones que no sean las de mayor peso. Por ejemplo, el espectro del modelo WZW se construye a partir de representaciones de mayor peso, más sus imágenes bajo los automorfismos de flujo espectral del álgebra de Lie afín. ^[6] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$

Si es un supergrupo , el espectro puede involucrar representaciones que no se factorizan como productos tensoriales de representaciones de las álgebras de simetría que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha. Esto ocurre, por ejemplo, en el caso , ^[9] y también en supergrupos más complicados como . ^[10] Las representaciones no factorizables son responsables del hecho de que los modelos WZW correspondientes sean teorías de campos conformes logarítmicos . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=GL(1|1)}$ ${\displaystyle G=PSU(1,1|2)}$

Otras teorías basadas en álgebras de Lie afines

Las teorías de campos conformes conocidas basadas en álgebras de Lie afines no se limitan a los modelos WZW. Por ejemplo, en el caso del álgebra de Lie afín del modelo WZW, las funciones de partición de toro invariantes modulares obedecen a una clasificación ADE, donde el modelo WZW solo tiene en cuenta la serie A. ^[11] La serie D corresponde al modelo WZW y la serie E no corresponde a ningún modelo WZW. ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle SO(3)}$

Otro ejemplo es el modelo . Este modelo se basa en la misma álgebra de simetría que el modelo WZW, con el que está relacionado mediante la rotación de Wick. Sin embargo, no es estrictamente un modelo WZW, ya que no es un grupo, sino una clase lateral. ^[12] ${\displaystyle H_{3}^{+}}$ ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H_{3}^{+}}$ ${\displaystyle H_{3}^{+}=SL(2,\mathbb {C} )/SU(2)}$

Campos y funciones de correlación

Campos

Dada una representación simple del álgebra de Lie de , un campo primario afín es un campo que toma valores en el espacio de representación de , tales que ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Phi ^{\rho }(z)}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle J^{a}(y)\Phi ^{\rho }(z)=-{\frac {\rho (t^{a})\Phi ^{\rho }(z)}{y-z}}+O(1)\ .}$

Un cuerpo primario afín es también un cuerpo primario para el álgebra de Virasoro que resulta de la construcción de Sugawara. La dimensión conforme del cuerpo primario afín se da en términos del Casimir cuadrático de la representación (es decir, el valor propio del elemento Casimir cuadrático donde es la inversa de la matriz de la forma de Killing) por ${\displaystyle C_{2}(\rho )}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle K_{ab}t^{a}t^{b}}$ ${\displaystyle K_{ab}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(t^{a},t^{b})}$

${\displaystyle \Delta _{\rho }={\frac {C_{2}(\rho )}{2(k+h^{\vee })}}\ .}$

Por ejemplo, en el modelo WZW, la dimensión conforme de un campo primario de espín es ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \Delta _{j}={\frac {j(j+1)}{k+2}}\ .}$

Por la correspondencia estado-campo, los campos primarios afines corresponden a estados primarios afines , que son los estados de mayor peso de las representaciones de mayor peso del álgebra de Lie afín.

Funciones de correlación

Si el grupo es compacto, el espectro del modelo WZW está formado por representaciones de mayor peso y todas las funciones de correlación se pueden deducir de las funciones de correlación de los campos primarios afines a través de las identidades de Ward . ${\displaystyle G}$

Si la superficie de Riemann es la esfera de Riemann, las funciones de correlación de los campos primarios afines obedecen a las ecuaciones de Knizhnik–Zamolodchikov . En superficies de Riemann de género superior, las funciones de correlación obedecen a las ecuaciones de Knizhnik–Zamolodchikov–Bernard , que involucran derivadas no solo de las posiciones de los campos, sino también de los módulos de la superficie. ^[13] ${\displaystyle \Sigma }$

Modelos WZW calibrados

Dado un subgrupo de Lie , el modelo WZW calibrado (o modelo de coset ) es un modelo sigma no lineal cuyo espacio objetivo es el cociente para la acción adjunta de en . Este modelo WZW calibrado es una teoría de campos conforme, cuya álgebra de simetría es un cociente de las dos álgebras de Lie afines de los modelos WZW y , y cuya carga central es la diferencia de sus cargas centrales. ${\displaystyle H\subset G}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Aplicaciones

El modelo WZW cuyo grupo de Lie es la cubierta universal del grupo ha sido utilizado por Juan Maldacena e Hirosi Ooguri para describir la teoría de cuerdas bosónicas en el espacio anti-de Sitter tridimensional . ^[6] Las supercuerdas en se describen mediante el modelo WZW en el supergrupo , o una deformación del mismo si se activa el flujo de Ramond-Ramond. ^{[14] [10]} ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle AdS_{3}}$ ${\displaystyle AdS_{3}\times S^{3}}$ ${\displaystyle PSU(1,1|2)}$

Se han propuesto modelos WZW y sus deformaciones para describir la transición de meseta en el efecto Hall cuántico entero . ^[15]

El modelo WZW calibrado tiene una interpretación en la teoría de cuerdas como el agujero negro euclidiano bidimensional de Witten . ^[16] El mismo modelo también describe ciertos sistemas estadísticos bidimensionales en criticidad, como el modelo antiferromagnético crítico de Potts . ^[17] ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )/U(1)}$

Referencias

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5. Francesco, P.; Mathieu, P.; Sénéchal, D. (1997), Teoría de campos conforme , Springer-Verlag, ISBN 0-387-94785-X
6. Maldacena, J.; Ooguri, H. (2001). "Cuerdas en AdS ₃ y el modelo SL(2,R) WZW. I: El espectro". Journal of Mathematical Physics . 42 (7): 2929–2960. arXiv : hep-th/0001053 . Código Bibliográfico :2001JMP....42.2929M. doi :10.1063/1.1377273. S2CID  8841465.
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8. Zamolodchikov, AB; Knizhnik, BG (1984). "Algebra токов и двумерная модель Весса-Зумино". Física Nuclear B. 247 : 83-103.
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16. Witten, Edward (1991). "Teoría de cuerdas y agujeros negros". Physical Review D . 44 (2): 314–324. Bibcode :1991PhRvD..44..314W. doi :10.1103/PhysRevD.44.314. ISSN  0556-2821. PMID  10013884.
17. N. Robertson, J. Jacobsen, H. Saleur, "Condiciones de contorno invariantes conformes en el modelo antiferromagnético de Potts y el modelo sigma", arXiv:1906.07565 ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )/U(1)}$